这是一份人教A版 (2019)必修第一册3.3 幂函数精品导学案，共4页。学案主要包含了利用函数的奇偶性，利用奇函数，抽象函数的性质应用，函数性质的综合应用等内容，欢迎下载使用。

一、利用函数的奇偶性、单调性比较大小

例1 已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(－4)

A．f(－1)

C．f(－3)f(1)

答案 D

解析由题意可得，函数f(x)在[－5,0]上也是单调函数，再根据f(－4)f(1)．

二、利用奇函数、偶函数的图象解不等式

例2 设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为( )

A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)

答案 C

解析利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，

所以不等式xf(x)<0可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,fx<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0，,fx>0，))

由图可知x>2或x<－2，故选C.

三、利用函数的奇偶性、单调性解不等式

例3 奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．

解原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．

因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)

因为f(x)是减函数，

所以m－1>2m－3，所以m<2.

又f(x)的定义域为(－1,1)，

所以－1

所以0

综上得1

故实数m的取值范围是(1,2)．

反思感悟解决此类不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)

四、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值

例4 已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2，0

解如图，画出f(x)在(0，＋∞)上的图象，

由图知，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))时，

f(x)min＝f(1)＝－1，

又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝2，f(4)＝5，

所以f(x)max＝f(4)＝5.

又f(x)为奇函数，所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，－\f(1,4)))时，

f(x)max＝f(－1)＝－f(1)＝1，

f(x)min＝f(－4)＝－f(4)＝－5.

所以m＝1，n＝－5，故m＋n＝1－5＝－4.

反思感悟解决此类求最值问题应充分利用：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性且图象关于原点对称；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性且图象关于y轴对称．

五、抽象函数的性质应用

例5 函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.

(1)证明设x1，x2∈R，且x1

则x2－x1>0，f(x2－x1)>1.

∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)

＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)

＝f(x2－x1)－1>0.

∴f(x2)>f(x1)．故f(x)在R上是增函数．

(2)解 ∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3.

∴原不等式可化为f(3m－2)

∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2<2，解得m

故不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3))).

六、函数性质的综合应用

例6 已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x2＋1)，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝eq \f(1,2).

(1)求a，b；

(2)判断f(x)在[1，＋∞)上单调性并证明；

(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．

解 (1)f(x)为R上的奇函数，

∴f(0)＝0，得b＝0，

又f(1)＝eq \f(a＋b,2)＝eq \f(1,2)，∴a＝1，

∴f(x)＝eq \f(x,x2＋1).

(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：

设x2>x1≥1，

∴f(x2)－f(x1)＝eq \f(x2,x\\al(2,2)＋1)－eq \f(x1,x\\al(2,1)＋1)

＝eq \f(x\\al(2,1)＋1x2－x\\al(2,2)＋1x1,x\\al(2,1)＋1x\\al(2,2)＋1)

＝eq \f(x\\al(2,1)x2－x\\al(2,2)x1＋x2－x1,x\\al(2,1)＋1x\\al(2,2)＋1)

＝eq \f(x1－x2x1x2－1,x\\al(2,1)＋1x\\al(2,2)＋1).

∵x2>x1≥1，∴x1x2－1>0，x1－x2<0，

∴f(x2)－f(x1)<0，

即f(x2)

∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数．

(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，

∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，

又x∈[－4，－1]，

∴f(x)max＝f(－4)＝－eq \f(4,17)，f(x)min＝f(－1)＝－eq \f(1,2).

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