高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试优秀导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试优秀导学案及答案，共8页。学案主要包含了求函数的定义域，分段函数，函数性质的综合应用，函数图象的画法及应用等内容，欢迎下载使用。










一、求函数的定义域


1．求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是各部分定义域的交集．


2．掌握基本的集合交并补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养．


例1 (1)函数y＝eq \r(2x＋1)＋eq \r(3－4x)的定义域为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4)))


C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)


答案 B


解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1≥0，,3－4x≥0，))解得－eq \f(1,2)≤x≤eq \f(3,4)，


所以函数y＝eq \r(2x＋1)＋eq \r(3－4x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4))).


(2)若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(－x)的定义域是( )


A．[－4,4] B．[－4,2]


C．[－4，－2] D．[2,4]


答案 B


解析 －2≤－x≤4，得－4≤x≤2.


所以函数g(x)＝f(－x)的定义域是[－4,2]．


反思感悟 求函数定义域的类型与方法


(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．


(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．


(3)复合函数问题：


①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；


②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．


注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．


跟踪训练1 函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋(2x－1)0的定义域为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


答案 D


解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,2x－1≠0，))解得x<1且x≠eq \f(1,2).


二、分段函数


1．分段函数主要考查求值、画图、解不等式等，利用分段函数的图象能解决单调性、值域问题，画图时各部分图象合在一起才组成整个函数的图象，解不等式时要分类讨论，各部分取并集．


2．掌握基本函数求值运算，会画简单函数的图象，提升数学运算和直观想象素养．


例2 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x，0

(1)求f(x)的定义域，值域；


(2)求f(f(1))；


(3)解不等式f(x＋1)>eq \f(1,4).


考点 分段函数


题点 分段函数的综合应用


解 (1)f(x)的定义域为


(0,1)∪[1,2)∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2))).


易知f(x)在(0,1)上为增函数，∴0

f(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))上为减函数，∴0

∴值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).


(2)f(1)＝eq \f(3,4)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2).


f(f(1))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).


(3)f(x＋1)>eq \f(1,4)等价于


①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0\f(1,4)，))或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≤x＋1<2，,\f(3,4)－\f(1,4)x＋1>\f(1,4)，))


或③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2≤x＋1<\f(5,2)，,\f(5,4)－\f(1,2)x＋1>\f(1,4).))


解①得－eq \f(1,2)

解②得0≤x<1，


解③得x∈∅.


∴f(x＋1)>eq \f(1,4)的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).


反思感悟 分段函数也是对应关系f的一种，在此对应f上，仍整体上构成一个函数，故分段函数的定义域、值域分别只有一个集合，但在具体对应层面不论是由x求y，还是由y求x，都要按分段标准对号入座分别求解．


跟踪训练2 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝________.


答案 1


解析 因为f(x＋2)＝f(x)，


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))


＝－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋2＝1.


三、函数性质的综合应用


1．函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响．


2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养．


例3 已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]，m＋n≠0，有eq \f(fm＋fn,m＋n)>0.


(1)判断函数的单调性(不要求证明)；


(2)解不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))

(3)若f(x)≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．


考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用


题点 奇偶性、单调性及最值的综合问题


解 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．


(2)由(1)知函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，


由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))

得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x＋\f(1,2)≤1，,－1≤1－x≤1，,x＋\f(1,2)<1－x，))


解得0≤x

所以不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))

(3)因为函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，


要使得对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都有f(x)≤－2at＋2恒成立，


只需对任意的a∈[－1,1]，－2at＋2≥1恒成立．


令y＝－2at＋1，当t≠0时y可以看作a的一次函数，且在a∈[－1,1]时，y≥0恒成立．


因此只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2t＋1≥0，,2t＋1≥0，))


解得－eq \f(1,2)≤t≤eq \f(1,2)，且t≠0.


当t＝0时，y＝1，满足y≥0恒成立．


所以实数t的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).


反思感悟 (1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．


(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值．


跟踪训练3 已知函数f(x)＝eq \f(mx2＋2,3x＋n)是奇函数，且f(2)＝eq \f(5,3).


(1)求实数m和n的值；


(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．


解 (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，


∴eq \f(mx2＋2,－3x＋n)＝－eq \f(mx2＋2,3x＋n)＝eq \f(mx2＋2,－3x－n).


比较得n＝－n，n＝0.


又f(2)＝eq \f(5,3)，


∴eq \f(4m＋2,6)＝eq \f(5,3)，解得m＝2.


∴实数m和n的值分别是2和0.


(2)由(1)知f(x)＝eq \f(2x2＋2,3x)＝eq \f(2x,3)＋eq \f(2,3x).


任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1

则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2,3)(x1－x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x1x2)))


＝eq \f(2,3)(x1－x2)·eq \f(x1x2－1,x1x2).


∵－2≤x1

∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，


∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数．


∴f(x)max＝f(－1)＝－eq \f(4,3)，f(x)min＝f(－2)＝－eq \f(5,3).


四、函数图象的画法及应用


1．利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象．


2．掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养．


例4 已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|.


(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；


(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．


解 (1)当－x2＋2x＋3≥0时，得－1≤x≤3，函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，


当－x2＋2x＋3<0时，得x<－1或x>3，函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，


即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－12＋4，－1≤x≤3，,x－12－4，x<－1或x>3))的图象如图所示，单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1,3)．





(2)由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0＜m＜4.


故集合M＝{m|0

反思感悟 画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．


跟踪训练4 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≤0，,－x2＋2x，x>0，))方程f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0,1)，则方程的根的个数是( )


A．2 B．3 C．4 D．5


答案 D


解析 因为f2(x)－bf(x)＝0，


所以f(x)＝0或f(x)＝b，


作函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≤0，,－x2＋2x，x>0))的图象如图，





结合图象可知，


f(x)＝0有2个不同的根，f(x)＝b(0




1．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，0

A．2 B．4 C．6 D．8


答案 C


解析 由x≥1时，函数f(x)为一次函数，得0

由f(a)＝f(a＋1)得eq \r(a)＝2(a＋1－1)，解得a＝eq \f(1,4)，


则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(4)＝2(4－1)＝6.


2．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它是减函数，若实数a，b满足f(a)＋f(b)>0，则a与b的关系是( )


A．a＋b>0 B．a＋b<0


C．a＋b＝0 D．不确定


答案 B


解析 因为f(x)是奇函数，


所以－f(b)＝f(－b)．


因为f(a)＋f(b)>0，


所以f(a)>－f(b)＝f(－b)．


因为f(x)在R上是减函数，


所以a<－b，即a＋b<0.


3．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝m，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋2a＋\f(5,2)))＝n，则m，n的大小关系是________．


考点 单调性与奇偶性的综合应用


题点 综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小


答案 m≥n


解析 因为a2＋2a＋eq \f(5,2)＝(a＋1)2＋eq \f(3,2)≥eq \f(3,2)，


又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋2a＋\f(5,2)))≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))).


4．奇函数f(x)是定义域为(－1,1)上的减函数，且f(2a－1)＋f(a－1)>0，则a的取值范围是________．


答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))


解析 f(x)为奇函数，f(2a－1)>－f(a－1)，


∴f(2a－1)>f(1－a)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<1－a<1，,－1<2a－1<1，,1－a>2a－1，))解得0

5．设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．





(1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；


(2)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；


(3)写出函数的单调区间及值域．


解 (1)函数的图象如图所示：





(2)当x≥2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4，代入点(2,2)，


所以a(2－3)2＋4＝2，解得a＝－2，


故f(x)＝－2(x－3)2＋4，


设x∈(－∞，－2)，则－x∈(2，＋∞)，


所以f(－x)＝－2(－x－3)2＋4＝－2(x＋3)2＋4，


又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，


所以f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．


(3)由图象观察可知f(x)的值域为{y|y≤4}，


单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]，


单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．