数学人教A版 (2019)4.1 指数优质导学案

这是一份数学人教A版 (2019)4.1 指数优质导学案，共10页。学案主要包含了指数函数的概念，求指数函数的解析式等内容，欢迎下载使用。

4．2.1 指数函数的概念


学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用．








知识点一 指数函数的定义


一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.


思考 为什么底数应满足a>0且a≠1?


答案 ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.


知识点二 两类指数模型


1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型．


2．y＝kax(k>0)，当0




1．y＝xx(x>0)是指数函数．( × )


2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．( × )


3．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x是指数衰减型函数模型．( √ )


4．若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.( × )





一、指数函数的概念


例1 (1)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)


①y＝2·(eq \r(2))x；②y＝2x－1；③y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))x；④⑤


(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a＝________.


答案 (1)③ (2)2


解析 (1)①中指数式(eq \r(2))x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数，故填③.


(2)由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋3＝1，,a>0且a≠1，))解得a＝2.


反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法


(1)底数的值是否符合要求；


(2)ax前的系数是否为1；


(3)指数是否符合要求．


跟踪训练1 (1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )


A．a＝1或－1 B．a＝1


C．a＝－1 D．a>0且a≠1


答案 C


解析 因为函数y＝a2(2－a)x是指数函数，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,2－a>0，,2－a≠1，))解得a＝－1.


(2)若函数y＝(2a－3)x是指数函数，则实数a的取值范围是________________．


答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)


解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－3>0，,2a－3≠1，))解得a>eq \f(3,2)且a≠2.


二、求指数函数的解析式、函数值


例2 (1)已知函数f(x)是指数函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(5),25)，则f(3)＝________.


答案 125


解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，


由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(5),25)得





所以a＝5，即f(x)＝5x，所以f(3)＝53＝125.


(2)已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝3，eq \f(f1,f0)＝eq \f(1,2)，eq \f(f2,f1)＝eq \f(1,2)，…，eq \f(fn,fn－1)＝eq \f(1,2)，n∈N*，求函数y＝f(x)的一个解析式．


解 当x增加1时函数值都以eq \f(1,2)的衰减率衰减，


∴函数f(x)为指数衰减型，


令f(x)＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(k≠0)，


又f(0)＝3，∴k＝3，


∴f(x)＝3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.


反思感悟 解决此类问题的关键是观察出函数是指数增长型还是指数衰减型，然后用待定系数法设出函数解析式，再代入已知条件求解．


跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．


答案 7


解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝3，))


所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋3，


所以f(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＋3＝4＋3＝7.


三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用


例3 甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万．试解答下面的问题：


(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；


(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；


(3)对两城市人口增长情况作出分析．


参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430.


解 (1)1年后甲城市人口总数为


y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；


2年后甲城市人口总数为


y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；


3年后甲城市人口总数为


y甲＝100×(1＋1.2%)3；


…；


x年后甲城市人口总数为y甲＝100×(1＋1.2%)x.


x年后乙城市人口总数为y乙＝100＋1.3x.


(2)10年、20年、30年后，甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如表所示.





(3)甲、乙两城市人口都逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型，乙城市人口增长缓慢，呈线性增长．从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．


反思感悟 解决有关增长率问题的关键和措施


(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．


(2)具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．


(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．


跟踪训练3 中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，到2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．


设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式：


①(1＋p%)×10＝2；


②(1＋p%)10＝2；


③10(1＋p%)＝2；


④1＋10×p%＝2.


其中正确的是( )


A．① B．② C．③ D．④


答案 B


解析 已知从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.


则由到2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番，可得：(1＋p%)10＝2；


正确的关系式为②.





1．下列函数：


①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.


其中，指数函数的个数是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


答案 B


解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；


②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；


③中，y＝3x，3x的系数是1，指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；


④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．


所以只有③是指数函数．故选B.


2．若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于( )


A．－1或2 B．－1


C．2 D.eq \f(1,2)


答案 C


解析 依题意，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－1＝1，,m>0且m≠1，))


解得m＝2(舍m＝－1)，故选C.


3．如表给出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为( )





A.一次函数模型 B．二次函数模型


C．指数函数模型 D．幂函数模型


答案 C


解析 观察数据可得y＝4x.


4．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是( )


A．y＝2x B．y＝2x－1


C．y＝2x D．y＝2x＋1


答案 D


解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后变成4×2＝23(个)，…，分裂x次后变成y＝2x＋1(个)．


5．f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.


答案 eq \f(1,4)


解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，


所以f(－2)＝4，a－2＝4，解得a＝eq \f(1,2)，


所以f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，


所以f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝2，


所以f(f(－1))＝f(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,4).





1．知识清单：


(1)指数函数的定义．


(2)指数增长型和指数衰减型函数模型．


2．方法归纳：待定系数法．


3．常见误区：易忽视底数a的限制条件：a>0且a≠1.








1．下列函数中，指数函数的个数为( )


①y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1；


②y＝ax(a>0，且a≠1)；


③y＝1x；


④y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1.


A．0 B．1 C．3 D．4


答案 B


解析 由指数函数的定义可判定，只有②正确．


2．若函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－3))·ax是指数函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )


A．2 B．－2 C．－2eq \r(2) D．2eq \r(2)


答案 D


解析 因为函数f(x)是指数函数，


所以eq \f(1,2)a－3＝1，所以a＝8，


所以f(x)＝8x，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝＝2eq \r(2).


3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )


A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)


B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系


C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系


D．信件的邮资与其重量间的函数关系


答案 B


解析 A中的函数模型是二次函数；


B中的函数模型是指数型函数；


C中的函数模型是反比例函数；


D中的函数模型是一次函数．故选B.


4．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2019年的湖水量为m，从2019年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )


A．y＝


B．y＝(1－)m


C．y＝m


D．y＝(1－0.150x)m


答案 C


解析 方法一 设每年的衰减率为q%，


则(q%)50＝0.9，


所以q%＝，


所以x年后的湖水量y＝m.


方法二 设每年的衰减率为q%，


则(1－q%)50＝0.9，所以q%＝1－，


所以y＝m·[1－(1－)]x＝m.


5．下列函数图象中，有可能表示指数函数的是( )





答案 C


解析 A为一次函数；B为反比例函数；D为二次函数；选项C的图象呈指数衰减，是指数衰减型函数模型，故选C.


6．已知函数f(x)＝eq \f(2,ax－1)＋3(a>0且a≠1)，若f(1)＝4，则f(－1)＝________.


答案 0


解析 由f(1)＝4得a＝3，把x＝－1代入f(x)＝eq \f(2,3x－1)＋3得到f(－1)＝0.


7．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.


答案 1


解析 由指数函数的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a＋2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝1.


8．已知某种放射性物质经过100年剩余质量是原来质量的95.76%，设质量为1的这种物质，经过x年后剩余质量为y，则x，y之间的关系式是________．


答案 y＝


解析 设质量为1的物质1年后剩余质量为a，


则a100＝0.957 6.


所以a＝，


所以y＝ax＝.


9．已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝eq \f(5,2)，f(2)＝eq \f(17,4).求a，b的值．


解 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＝2＋2a＋b，,\f(17,4)＝22＋22a＋b，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－1＝2a＋b，,2－2＝22a＋b，))


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝－1，,2a＋b＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0.))


10．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：


甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．


乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．


请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？


解 设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.


乙方案在10年后的木材产量为


y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.


y1－y2＝4.01a－4.98a<0，


因此，乙方案能获得更多的木材．





11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x，x>0，,2x，x≤0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))))等于( )


A．4 B.eq \f(1,4) C．－4 D．－eq \f(1,4)


答案 B


解析 ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))＝1－3＝－2，


∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))))＝f(－2)＝2－2＝eq \f(1,4).


12．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为( )


A．赚723元 B．赚145元


C．亏145元 D．亏723元


答案 D


解析 由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5


≈10×0.992 77＝9.927 7；


100 000－99 277＝723，


故股民亏723元，故选D.


13．若函数y＝(m2－5m＋5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(m,3)))x是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m＝________.


答案 1


解析 依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－5m＋5＝1，,2－\f(m,3)>1，))解得m＝1(舍m＝4)．


14．已知函数f(x)为指数函数且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)，则f(－2)＝________，f(f(－1))＝________.


答案 eq \f(1,9) eq \r(3,3)


解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，


∴＝eq \f(\r(3),9)＝，∴a＝3，


∵f(x)＝3x，∴f(－2)＝eq \f(1,9)，


f(f(－1))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝＝eq \r(3,3).





15．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )


A．甲食堂的营业额较高


B．乙食堂的营业额较高


C．甲、乙两食堂的营业额相等


D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高


答案 A


解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝eq \r(mm＋8a)，因为yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．


16．某公司拟投资100万元，有两种获利的情况可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？


解 ①本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本利和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．②本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本利和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由①②可见，按年利率9%每年复利一次计算的，要比按年利率10%单利计算的更有利，5年后可多得利息3.86万元．10年后
20年后
30年后
甲
112.7
126.9
143.0
乙
113
126
139
x
－2
－1
0
1
2
3
y
eq \f(1,16)
eq \f(1,4)
1
4
16
64