高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用练习题

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§4 一元二次函数与一元二次不等式


4.3 一元二次不等式的应用


知识点 三个二次的关系


1.☉%0*11*8*@%☉(2020·华师一附中月考)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是13,12,则不等式x2-bx-a<0的解集是( )。


A.(2,3)B.13,12


C.-∞,32∪32,+∞D.(-3,-2)


答案：D


解析：ax2-bx-1≥0的解集是13,12,则


a<0且13+12=ba,13×12=-1a,解得a=-6,b=-5,


则不等式x2-bx-a<0即x2+5x+6<0,求解一元二次不等式可得-3

2.☉%2*#600@#%☉(2020·合肥一中月考)若关于x的不等式mx2+8mx+28<0的解集是{x|-7

A.1B.2C.3D.4


答案：D


解析：由题意,关于x的不等式mx2+8mx+28<0的解集为{x|-7

3.☉%@#476*0*%☉(2020·太和一中检测)关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根,则实数m的取值范围是( )。


A.m<-2B.m<0


C.m<1D.m>0


答案：A


解析：方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根,则Δ=m2-4>0,-m>0,解得m<-2。


4.☉%2@*#40@8%☉(多选)(2020·六安一中期中)若y=x2-ax+1有负值,则a可取( )。


A.2B.-2C.3D.-3


答案：CD


解析：因为y有负值,所以必须满足二次函数的图像与x轴有两个不同的交点,其充要条件是Δ=(-a)2-4>0,a2>4,即a>2或a<-2,故选CD。


5.☉%#48*80@#%☉(2020·寿县一中月考)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B。


(1)求A∩B;


答案：解:由x2-2x-3<0得-1

由x2+x-6<0,得-3

∴A∩B=(-1,2)。


(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求不等式ax2+x+b<0的解集。


答案：由题意,得1-a+b=0,4+2a+b=0,解得a=-1,b=-2,∴ax2+x+b<0即-x2+x-2<0,


∴x2-x+2>0,此不等式恒成立,∴不等式的解集为R。


6.☉%#3*8￥*30%☉(2020·和县一中月考)已知函数y=ax2-bx+1。


(1)是否存在实数a,b使不等式y>0的解集是{x|3

答案：解:∵不等式ax2-bx+1>0的解集是{x|3

∴方程ax2-bx+1=0的两根是3和4,


∴1a=3×4=12,ba=3+4=7,解得a=112,b=712。


而当a=112>0时,不等式ax2-bx+1>0的解集不可能是{x|30的解集是{x|3

(2)若a为整数,b=a+2,且函数图像在(-2,-1)上与x轴恰有一个交点,求a的值。


答案：∵b=a+2,∴y=ax2-(a+2)x+1。


∵Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,


∴函数y=ax2-bx+1图像与x轴有两个交点。


又函数y的图像在(-2,-1)上与x轴恰有一个交点,


∴当x=-2和x=-1时,对应的函数值之积小于0,即


(6a+5)(2a+3)<0,解得-32

∵a∈Z,∴a=-1。


题型1 一元二次不等式中的恒成立问题


7.☉%**￥@8271%☉(2020·九江中学月考)已知函数y=kx2-6kx+k+8的定义域为R,则实数k的取值范围是( )。


A.0≤k≤1B.0

C.k<0或k>1D.k≤0或k≥1


答案：A


解析：因为定义域为R。所以kx2-6kx+k+8≥0恒成立,当k=0时显然成立;当k≠0时,k>0,Δ=36k2-4k(k+8)≤0,解得0

8.☉%29￥9#@￥8%☉(多选)(2020·合肥八中检测)在R上定义运算:ac bd=ad-bc。若不等式x-1a+1 a-2x≥1对任意实数x成立,则( )。


A.实数a可取最小值-32B.实数a可取最小值-12


C.实数a可取最大值12D.实数a可取最大值32


答案：BD


解析：由题意得x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1对任意实数x恒成立,∴(a-2)(a+1)≤x2-x-1对任意实数x恒成立。


设y=x2-x-1,则y=x-122-54≥-54,


∴(a-2)(a+1)≤-54,整理得4a2-4a-3≤0,


解得-12≤a≤32。


∴实数a可取最小值-12,可取最大值32。故选BD。


9.☉%￥￥*306￥0%☉(2020·广昌一中期中)已知集合A={t|t2-4≤0},则对于满足集合A的所有实数t,使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围是( )。


A.(3,+∞)∪(-∞,-1)B.(3,+∞)∪(-∞,1)


C.(-∞,-1)D.(3,+∞)


答案：A


解析：由t2-4≤0解得-2≤t≤2,即-2≤t≤2时,x2+(t-2)x-t+1>0恒成立,即(x+t-1)(x-1)>0恒成立,故只需x+t-1>0,x-1>0或x+t-1<0,x-1<0,即x>1-t,x>1或x<1-t,x<1恒成立,


因为-1≤1-t≤3,所以x>3或x<-1。


10.☉%7￥￥8￥4￥8%☉(2020·武汉中学月考)对任意a∈[-1,1],函数y=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是( )。


A.(1,3)B.(-∞,1)∪(3,+∞)


C.(1,2)D.(-∞,1)∪(2,+∞)


答案：B


解析：y=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4可看作关于a的一次函数,


∵对任意a∈[-1,1],上式的值恒大于零,


∴只需-(x-2)+x2-4x+4>0,x-2+x2-4x+4>0,


解得x<1或x>3。故答案为B。


11.☉%48*￥58#￥%☉(2020·江西师大附中检测)若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立,则实数m的取值范围是( )。


A.m≤-3B.m≥-3


C.-3≤m≤0D.m≤-3或m≥0


答案：A


解析：令y=x2-4x,x∈[0,1]。要使关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立,只要ymin≥m即可。


∵y的对称轴方程为x=2,∴当0≤x≤1时,y随x的增大而减小。


∴当x=1时取得最小值为-3,则实数m的取值范围是m≤-3。


12.☉%￥55**4*0%☉(2020·华师一附中月考)若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对任何实数x恒成立,则实数m的取值范围是 。


答案：-∞,-1311


解析：①当m=-1时,不等式的解集为x<3,不合题意;


②当m≠-1时,m+1<0,Δ<0,解得m<-1311。


所以实数m的取值范围是-∞,-1311。


13.☉%#*6*780@%☉(2020·武汉二中月考)当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是 。


答案：(-∞,-5]


解析：令y=x2+mx+4,则y的图像是开口向上的抛物线。


要当x∈(1,2)时,y<0恒成立,只需1+m+4≤0,4+2m+4≤0,解得m≤-5。


14.☉%22*6*@￥7%☉(2020·陕师大附中月考)若x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,则实数m的取值范围是 。


答案：(-∞,-1)


解析： x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,令y=x2-3x+1-m=x-322-54-m,其对称轴为直线x=32,∴y在区间[-1,1]上是减函数,∴ymin=1-3+1-m>0,∴m<-1,故答案为(-∞,-1)。


15.☉%@*#20@51%☉(2020·黄冈中学期中)已知y=3ax2+6x-1,a∈R。


(1)当a=-3时,求证:对任意x∈R,都有y≤0;


答案：证明:当a=-3时,y=-9x2+6x-1,


∵Δ=36-36=0,且函数y的图像的开口方向向下,


∴对任意x∈R都有y≤0。


(2)如果对任意x∈R,y≤4x恒成立,求实数a的取值范围。


答案：解:由y≤4x对任意x∈R恒成立,得3ax2+6x-1≤4x对任意x∈R恒成立,即3ax2+2x-1≤0对任意x∈R恒成立。


①当a=0时,不等式为2x-1≤0,故对任意x∈R不恒成立;


②当a≠0时,由题意得3a<0,Δ=4+12a≤0,解得a≤-13。


综上可得a≤-13。∴实数a的取值范围是-∞,-13。


16.☉%0@@4*1#9%☉(2020·沈阳模拟)已知函数y1=x2-2x-8,y2=2x2-4x-16。


(1)求不等式y2<0的解集;


答案：解:∵y2=2x2-4x-16<0,


∴(2x+4)(x-4)<0,∴-2

∴不等式y2<0的解集为{x|-2

(2)当x>2时,y1≥(m+2)x-m-15恒成立,求实数m的取值范围。


答案：∵y1=x2-2x-8,当x>2时,y1≥(m+2)x-m-15恒成立,


∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x2-4x+7≥m(x-1)。


∴对一切x≥2,不等式m≤x2-4x+7x-1恒成立。


而x2-4x+7x-1=(x-1)+4x-1-2≥2(x-1)×4x-1-2=2(当且仅当x=3时等号成立)。


∴实数m的取值范围是(-∞,2]。


题型2 一元二次不等式的应用


17.☉%￥0##5#32%☉(2020·合肥168中学月考)若关于x的不等式x2+ax-2<0在区间[1,4]上有解,则实数a的取值范围为( )。


A.(-∞,1)B.(-∞,1]


C.(1,+∞)D.[1,+∞)


答案：A


解析：关于x的不等式x2+ax-2<0在区间[1,4]上有解,等价于a<2x-xmax,x∈[1,4]。设y=2x-x,x∈[1,4],则函数y在x∈[1,4]单调递减,且当x=1时,函数y取得最大值,当x=1时,y=1,所以实数a的取值范围是(-∞,1)。


18.☉%*0@@175*%☉(2020·团风中学期中)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C(元),其中C=500+30x。若要求每日获利不少于1 300元,则日销售量x的取值范围是( )。


A.20≤x≤30B.20≤x≤45


C.15≤x≤30D.15≤x≤45


答案：B


解析：设该厂每日获得的利润为y元,


则y=(160-2x)·x-(500+30x)=-2x2+130x-500,0

19.☉%45*8@5#￥%☉(2020·石家庄中学检测)某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减少耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少52t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元,t变动的范围是 。


答案：[3,5]


解析：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-52t万亩,则税收收入为20-52t×24 000×t%。由题意20-52t×24 000×t%≥9 000,整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5,∴当耕地占用率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9 000万元,∴t的范围是[3,5],故答案为[3,5]。


20.☉%6*@331￥*%☉(2020·上饶二中月考)不等式x2-(a2+a)x+a3>0的解集为{x|xa},则实数a的取值范围 。


答案：[0,1]


解析：由题意可得a2和a是方程x2-(a2+a)x+a3=0的根,又Δ=(a2+a)2-4a3=a2(a-1)2≥0,所以a2-a≤0,故0≤a≤1。


21.☉%*581*￥5#%☉(2020·临川一中月考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0。


(1)求证:y1=-a或y2=-a;


答案：证明:∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,


∴(a+y1)(a+y2)=0,得y1=-a或y2=-a。


(2)求证:函数的图像必与x轴有两个交点;


答案：证明:当a>0时,二次函数y的图像开口向上,图像上的点A或点B的纵坐标为-a,小于零,∴图像与x轴有两个交点;当a<0时,二次函数y的图像开口向下,图像上的点A或点B的纵坐标为-a,大于零,∴图像与x轴有两个交点。


∴二次函数y的图像必与x轴有两个交点。


(3)若y>0的解集为{x|x>m或x0。


答案：解:∵ax2+bx+c>0的解集为{x|x>m或x0,b>0,c>0。从而方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=1m,x2=1n,则方程cx2-bx+a=0的两个根为x3=-1m,x4=-1n。∵n

∴不等式cx2-bx+a>0的解集为xx>-1m或x<-1n。


22.☉%1#652#*￥%☉(2020·武汉外校月考)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽、柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划。某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2 500万元,每生产x(百辆),需另投入成本C万元,且C=10x2+100x,0

(1)求出利润L(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)


答案：解:当0

∴L=-10x2+400x-2 500,0

(2)产量为多少时,企业所获利润最大?并求出最大利润。


答案：当0

∴当x=20时,L取得最大值1 500;


当x≥40时,L=2 000-x+10 000x≤2 000-2x·10 000x=1 800,当且仅当x=10 000x,即x=100时取等号。


∴当x=100时,L取得最大值1 800。


即产量为10 000辆时,企业所获利润最大,最大利润为1 800万元。