北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值练习题

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值练习题，共9页。

§3 函数的单调性和最值


课时1 函数的单调性


知识点1 函数单调性定义的理解


1.☉%￥*#234￥9%☉(2020·辽宁沈阳高一月考)如图2-3-1-1是函数y=f(x)的图像,则此函数的单调递减区间的个数是( )。





图2-3-1-1


A.1B.2C.3D.4


答案：B


解析：由图像,可知函数y=f(x)的单调递减区间有2个。故选B。


2.☉%3￥@6￥76*%☉(2020·湖北黄冈联考)若函数f(x)在R上是减函数,则下列关系式一定成立的是( )。


A.f(a)>f(2a)B.f(a2)

C.f(a2+a)

答案：D


解析：因为f(x)是R上的减函数,且a2+1>a2,所以f(a2+1)

3.☉%56**9#*7%☉(2020·武汉六中高一检测)已知函数f(x)是R上的增函数,对任意实数a,b,若a+b>0,则有( )。


A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)


B.f(a)+f(b)

C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)


D.f(a)-f(b)

答案：A


解析：因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,所以f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)。故选A。


4.☉%6#0￥8@#7%☉(2020·广东佛山高明区一中高一月考)设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1

A.f(x1)f(x2)


C.f(x1)=f(x2)D.不能确定


答案：D


解析：因为分别在两个区间,所以不能确定f(x1)与f(x2)的大小关系。故选D。


5.☉%9@1@0#@5%☉(多选)(2020·安徽太和中学高一检测)下列命题不正确的是( )。


A.定义在(a,b)上的函数f(x),若存在x1,x2∈(a,b),当x1

B.定义在(a,b)上的函数f(x),若有无穷多对x1,x2∈(a,b),当x1

C.若函数f(x)在区间I1上为减函数,在区间I2上也为减函数,那么f(x)在区间I1∪I2上一定是减函数


D.若函数f(x)是区间I上的增函数,且f(x1)

答案：ABC


解析：A项中,并不是对任意x1,x2都成立,故A错;B项中,虽然有无穷多对,但也不能代表“所有”“任意”,故B错;C项中,以f(x)=1x为例,虽然在(-∞,0)及(0,+∞)上均为减函数,但在整个定义域上却不具有单调性,故C错。故选ABC。


6.☉%￥22**65￥%☉(多选)(2020·浙江杭州四中高一月考)如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),那么下列结论中正确的是( )。


A.f(x1)-f(x2)x1-x2>0


B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0


C.f(a)≤f(x1)

D.f(x1)≠f(x2)


答案：ABD


解析：由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故C不正确。故选ABD。


知识点2 函数单调性的判断


7.☉%@637#￥@1%☉(2020·武汉二中高一检测)下列函数中,在(0,2)上是增函数的是( )。


A.y=1xB.y=2x-1


C.y=1-2xD.y=(2x-1)2


答案：B


解析：对于A,y=1x在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减;对于B,y=2x-1在R上单调递增;对于C,y=1-2x在R上单调递减;对于D,y=(2x-1)2在-∞,12上单调递减,在12,+∞上单调递增。故选B。


8.☉%6@7￥#￥59%☉(2020·永州一中高一检测)函数y=2--x2+4x的值域是( )。


A.[-2,2]B.[1,2]


C.[0,2]D.[-2,2]


答案：C


解析：要求函数y=2--x2+4x的值域,只需求t=-x2+4x,x∈[0,4]的值域即可。设二次函数f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,x∈[0,4],所以f(x)的值域是[0,4]。因为t=f(x),所以t的值域是[0,2],所以-t∈[-2,0],所以函数y=2--x2+4x的值域是[0,2]。


9.☉%#9###757%☉(2020·河北石家庄二中高一月考)下列结论中,正确的是( )。


A.函数y=kx(k为常数,且k<0)是R上的增函数


B.函数y=ax2(a>0)在R上是增函数


C.函数y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数


D.若函数f(x),g(x)都在区间M上单调递减,则f(x)+g(x)也在区间M上单调递减


答案：D


解析： A项,当k<0时,函数的图像从左向右看是下降的,故为减函数,该项错误;B项,函数y=ax2(a>0)的图像的对称轴为直线x=0,开口向上,故函数在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故该项错误;C项,函数y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,但两个单调区间不能用“∪”连接,故该项错误;D项,两个在共同区间上单调性相同的函数之和在该区间上单调性不变,该项正确,故选D。


10.☉%9##￥249*%☉(2020·长郡中学高一周测)若函数y=ax与y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,则函数y=ax2+bx在(0,+∞)上( )。


A.单调递增B.单调递减


C.先增后减D.先减后增


答案：B


解析：由于函数y=ax与y=-bx在(0,+∞)上均为减函数,故a<0,b<0,故二次函数f(x)=ax2+bx的图像开口向下,且对称轴为直线x=-b2a<0,故函数y=ax2+bx在(0,+∞)上单调递减。


11.☉%#*592#6￥%☉(2020·昆明一中高一周测)已知函数f(x)=4-x2,若0

A.f(x1)x1

C.f(x3)x3

答案：C


解析：由题意可得0

12.☉%#**8367#%☉(2020·中山调考)试讨论函数f(x)=axx2-1,x∈(-1,1)的单调性(其中a≠0)。


答案：解:任取x1,x2∈(-1,1),且x1

则f(x2)-f(x1)=ax2x22-1-ax1x12-1=a(x1-x2)(x1x2+1)(x22-1)(x12-1),


因为-1

所以x12-1<0,x22-1<0,|x1x2|<1,即-1

所以x1x2+1>0,所以(x1-x2)(x1x2+1)(x22-1)(x12-1)<0,


因此,当a>0时,f(x2)-f(x1)<0,


即f(x2)

当a<0时,f(x2)-f(x1)>0,


即f(x1)

题型1 求函数的单调区间


13.☉%#9￥745*#%☉(2020·山西榆社中学月考)函数y=f(x)的图像如图2-3-1-2,则函数f(x)的单调递增区间是 。





图2-3-1-2


答案：(-∞,1]和(1,+∞)


解析：由题图可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和(1,+∞)。


14.☉%*5509@￥*%☉(2020·河北衡水中学高一月考)已知函数y=f(x)在R上是单调递减函数,则函数y=f(|x-3|)的单调递减区间是( )。


A.(-∞,+∞)B.[3,+∞)


C.[-3,+∞)D.(-∞,3]


答案：B


解析：设t=|x-3|,当x≥3时,函数t=|x-3|单调递增,当x≤3时,函数t=|x-3|单调递减。因为函数y=f(x)在R上是单调递减函数,所以根据复合函数的单调性之间的关系,知y=f(|x-3|)的单调递减区间是[3,+∞)。


15.☉%8*#787￥*%☉(2020·辽宁鞍山一中高一月考)函数y=-(x-3)|x|的递增区间为 。


答案：0,32


解析： y=-(x-3)|x|=-x2+3x,x>0,x2-3x,x≤0,作出其图像如图所示,观察图像知递增区间为0,32。





16.☉%4@03￥￥9￥%☉(2020·衡阳一中高一月考)已知函数f(x)=x2-2x-3,g(x)=f(5-x2),求g(x)的单调区间。


答案：解:令u(x)=5-x2,则u(x)在(-∞,0]上为增函数,在[0,+∞)上为减函数,且u(0)=5,f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1]上为减函数,在[1,+∞)上为增函数,即函数u(x)的单调性是以0为界划分,函数f(x)的单调性是以1为界划分,令5-x2=1,解得x=±2,列表如下:


所以函数g(x)的单调递减区间为(-∞,-2],[0,2],单调递增区间为[-2,0],[2,+∞)。


题型2 函数单调性的应用


17.☉%658@*￥@5%☉(2020·福建厦门一中高一月考)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,那么实数a的取值范围是( )。


A.-14,+∞B.-14,+∞


C.-14,0D.-14,0


答案：D


解析：当a=0时,f(x)=2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的;当a>0时,由函数f(x)=ax2+2x-3的图像知,不可能在区间(-∞,4)上单调递增;当a<0时,只有-22a≥4,即-14≤x<0满足函数f(x)在区间(-∞,4)上是单调递增的。综上可知,实数a的取值范围是-14,0。故选D。


18.☉%@5*4*66#%☉(2020·河北枣强中学高一期末)已知函数f(x)=x2+2x,x≥0,-x2+2x,x<0,若f(2-a2)

A.(-1,2)


B.(-2,1)


C.(-∞,1)∪(2,+∞)


D.(-∞,-2)∪(1,+∞)


答案：D


解析：画出图像可得函数f(x)在实数集R上单调递增,故由f(2-a2)0,结合二次函数的图像解得a<-2或a>1。故实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞)。故选D。


19.☉%*@12@6@0%☉(2020·山西大同一中高一月考)已知函数f(x)=-x2-ax-5(x≤1),ax(x>1)是R上的增函数,则a的取值范围是( )。


A.-3≤a<0B.a≤-2


C.a<0D.-3≤a≤-2


答案：D


解析：函数f(x)=-x2-ax-5(x≤1),ax(x>1)是R上的增函数,则f(x)=-x2-ax-5(x≤1)单调递增,故-a2≥1,即a≤-2,此时f(x)=ax(x>1)也单调递增,要保证在R上是增函数,只需在x=1处满足-12-a×1-5≤a1,即a≥-3。综上所述,a的取值范围是-3≤a≤-2。故选D。


20.☉%￥8*24#7@%☉(2020·陕西子洲中学高一第一学期第一次月考)已知函数f(x)=ax2-x+1(a≠0),若对任意x1,x2∈[1,+∞)且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则实数a的取值范围是( )。


A.[1,+∞)B.(0,1]


C.(0,+∞)D.12,+∞


答案：D


解析：依题意可得a>0,--12a≤1,解得a≥12,故选D。


21.☉%@884@2**%☉(2020·合肥模拟)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a= 。


答案：-6


解析：函数f(x)=|2x+a|的图像关于直线x=-a2对称,故有-a2=3,所以a=-6。


22.☉%*￥4833￥￥%☉(2020·福建福州一中高一月考)已知函数g(x)在R上为增函数,且g(t)>g(1-2t),则t的取值范围是 。


答案：13,+∞


解析：因为g(x)在R上为增函数,且g(t)>g(1-2t),所以t>1-2t,所以t>13,即所求t的取值范围为13,+∞。


23.☉%#5379￥*￥%☉(2020·南宁模拟)已知函数f(x)=x2+1,x≥0,1,x<0,则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值范围是 。


答案：(-1,2-1)


解析：因为x2+1≥1,所以由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,1-x2>0⇒x∈(-1,2-1)。


24.☉%6*1*46@￥%☉(2020·北京丰台二中高一月考)设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1。


(1)求f(1);


答案：解:因为f(3)=f(1×3)=f(1)+f(3),所以f(1)=0。


(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。


答案：f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=2,从而有f(x)+f(x-8)≤f(9),即f(x(x-8))≤f(9),又因为f(x)是(0,+∞)上的增函数,所以x(x-8)≤9,x>0,x-8>0,结合二次函数的图像解得8

25.☉%#*221@5@%☉(2020·内蒙古巴彦淖尔一中高一月考)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0)。


(1)若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)≥0,求函数f(x)的表达式;


答案：解:因为f(-1)=0,所以b=a+1。①


因为f(x)=ax2+bx+1(a>0)的最小值为4a-b24a,f(x)对x∈R均有f(x)≥0,所以必有f(x)min=4a-b24a≥0。


因为a>0,所以4a-b2≥0,即b2-4a≤0。②


将①代入②,得b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,


所以a=1,b=2。所以f(x)=x2+2x+1。


(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。


答案：由(1),得g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1。因为x∈[-2,2]时,g(x)是单调函数,所以-2-k2≤-2或-2-k2≥2,解得k≤-2或k≥6。即k的取值范围为{k|k≤-2或k≥6}。


x
(-∞,-2]
[-2,0]
[0,2]
[2,+∞)
u(x)=5-x2
增
增
减
减
u(x)
(-∞,1]
[1,5]
[1,5]
(-∞,1]
f(u)
减
增
增
减
f(5-x2)
减
增
减
增