数学必修 第一册3 函数的单调性和最值当堂达标检测题

这是一份数学必修 第一册3 函数的单调性和最值当堂达标检测题，共8页。

§3 函数的单调性和最值


课时2 函数的最大(小)值


知识点 函数的最大(小)值


1.☉%￥#63#19*%☉(2020·河北石家庄二中高一月考)函数f(x)在[-2,+∞)上的图像如图2-3-2-1,则此函数的最大值、最小值分别为( )。





图2-3-2-1


A.3,0B.3,1


C.3,无最小值D.3,-2


答案：C


解析：观察题中图像可以知道,图像的最高点坐标是(0,3),从而其最大值是3;图像无最低点,即该函数不存在最小值。故选C。


2.☉%@*3#@971%☉(2020·江西抚州南城二中高一月考)设函数f(x)的定义域为R,以下三种说法:①若存在常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是f(x)的最大值;②若存在x0∈R,使得对任意x∈R,有f(x)≤f(x0),则f(x0)是f(x)的最大值;③若存在x0∈R,使得对任意x∈R,且x≠x0有f(x)≤f(x0),则f(x0)是f(x)的最大值。其中正确说法的个数为( )。


A.0B.1C.2D.3


答案：C


解析：由函数最大值的概念知②③正确。故选C。


3.☉%9**76#1*%☉(2020·河南洛阳一中检测)函数f(x)=2-3x在区间[1,3]上的最大值是( )。


A.2B.3C.-1D.1


答案：D


解析：容易判断函数f(x)在区间[1,3]上是增函数,所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)=1。故选D。


4.☉%￥￥9￥#765%☉(2020·吉林长春二中检测)函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为( )。


A.42,12B.42,-14


C.12,-14D.无最大值,-14


答案：D


解析：因为f(x)=x+322-14,x∈(-5,5),所以当x=-32时,f(x)有最小值-14,f(x)无最大值。故选D。


5.☉%￥4@19￥2*%☉(2020·河北衡水枣强中学检测)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )。


A.2B.-2C.2或-2D.0


答案：C


解析：依题意,当a>0时,2a+1-(a+1)=2,即a=2;当a<0时,a+1-(2a+1)=2,即a=-2。故选C。


6.☉%￥*4001￥￥%☉(2020·河南部分中学联考)函数f(x)=11-x(1-x)的最大值是( )。


A.45B.54C.34D.43


答案：D


解析： f(x)=1x-122+34≤43,所以f(x)的最大值为43。故选D。


7.☉%44@￥5￥@7%☉(2020·珠海一中检测)对任意实数a,b,函数F(a,b)=12(a+b-|a-b|),如果函数f(x)=-x2+2x+3,g(x)=x+1,那么函数G(x)=F(f(x),g(x))的最大值为 。


答案：3


解析：因为F(a,b)=12(a+b-|a-b|)=b,a≥b,a,a2时,G(x)=F(f(x),g(x))=f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4∈(-∞,3]。


综上可知,G(x)的值域为(-∞,3],所以G(x)的最大值为3。


题型1 由函数的最值求参数的取值范围


8.☉%￥￥2*844*%☉(2020·山西太原五中高一月考)用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )。


A.3 mB.4 mC.32 mD.52 m


答案：A


解析：设隔墙的长度为x m,场地面积为S m2,则S=x·24-4x2=12x-2x2=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,S有最大值,为18,故选A。


9.☉%8￥668*@@%☉(多选)(2020·镇安中学检测)已知函数y=f(x)的图像关于原点对称,且f(x)在区间[3,7]上是增函数,最小值为5,则函数y=f(x)在区间[-7,-3]上( )。


A.是增函数B.是减函数


C.有最小值-5D.有最大值-5


答案：AD


解析：作出满足题意的图像(图略),可知函数y=f(x)在区间[-7,-3]上是增函数,且最大值为-5。故选AD。


10.☉%6@*@@830%☉(2020·哈尔滨九中检测)设f(x)=-x+a,x≤0,x+1x,x>0,若f(0)是f(x)的最小值,则实数a的取值范围是( )。


A.(-∞,2]B.(-∞,2)


C.(2,+∞)D.[2,+∞)


答案：A


解析：由题意,当x>0时,f(x)的最小值为f(1)=2,当x≤0时,f(x)的最小值为f(0)=a。若f(0)是f(x)的最小值,则a≤2。故选A。


11.☉%@3792*@￥%☉(2020·河北衡水中学高一月考)设α,β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根,则(α-1)2+(β-1)2的最小值是( )。


A.-494B.8C.18D.不存在


答案：B


解析：利用一元二次方程根与系数的关系易得α+β=2k,αβ=k+6,所以(α-1)2+(β-1)2=α2-2α+1+β2-2β+1=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4k2-6k-10=4k-342-494。因为原方程有两个实数根α,β,所以Δ=4k2-4(k+6)≥0,结合二次函数图像解得k≤-2或k≥3。当k≥3时,(α-1)2+(β-1)2的最小值是8 ;当k≤-2时,(α-1)2+(β-1)2的最小值是18。故选B。


12.☉%469*#8**%☉(2020·中山一中周测)定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x2-x,则当x∈(-1,0]时,f(x)的最小值为( )。


A.-18B.-14C.0D.14


答案：A


解析：若x∈(-1,0],则x+1∈(0,1]。因为当x∈(0,1]时,f(x)=x2-x,所以f(x+1)=(x+1)2-(x+1)=x2+x。又f(x+1)=2f(x),则f(x)=12x2+12x=12x+122-18,所以当x=-12时,f(x)取得最小值-18。故选A。


13.☉%#@544#￥5%☉(2020·广东深圳中学月考)已知f(x)=5-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=g(x),f(x)≥g(x),f(x),g(x)>f(x),则F(x)( )。


A.有最大值3,最小值5-25


B.有最大值5+25,无最小值


C.有最大值3,无最小值


D.既无最大值,又无最小值


答案：C


解析：由f(x)=g(x)得5-2|x|=x2-2x,当x≥0时,5-2x=x2-2x,所以x2=5,所以x=5。当x<0时,5+2x=x2-2x,即x2-4x-5=0,解得x=-1或x=5(舍去)。


故当x≤-1时,F(x)=f(x)=5+2x;


当-1

当x≥5时,F(x)=f(x)=5-2x。


由图像可知,当x=-1时,F(x)取得最大值F(-1)=f(-1)=5-2=3,无最小值。故选C。





14.☉%@@95#7*1%☉(2020·巴蜀中学月考)已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是 。


答案：(1,3]


解析：因为函数f(x)=x2-6x+8的图像的对称轴为直线x=3,且在区间[1,a]上,f(x)min=f(a),所以a≤3。又a>1,所以1

题型2 函数最值的应用


15.☉%￥883###7%☉(2020·广东中山一中高一检测)对a,b∈R,记max{a,b}=a,a≥b,b,a

答案：32


解析：作出函数y=|x+1|和y=|x-2|的图像,如图,由图可知f(x)=2-x,x<12,x+1,x≥12,所以f(x)的最小值为f12=32。





16.☉%453##4￥@%☉(2020·启东中学月考)在区间12,2上,函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)与g(x)=x2+x+1x在同一个点取得相同的最小值,那么f(x)在区间12,2上的最大值为 。


答案：4


解析：由g(x)=x2+x+1x=x+1x+1,易知g(x)在12,1上单调递减,在(1,2]上单调递增,则g(x)min=g(1)=3。于是f(x)也在x=1处取得最小值3,则b=-2,c=4,即f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,所以f(x)在区间12,2上的最大值为f(2)=4。


17.☉%￥￥@5124*%☉(2020·南昌一中检测)函数f(x)=1x-1在区间[a,b](a>1)上的最大值是1,最小值是13,则b-a= 。


答案：2


解析：任取x1,x2,满足a≤x11,所以x2-x1>0,x1>1,x2>1,(x1-1)(x2-1)>0。于是f(x)在[a,b]上为减函数,所以f(a)=1,f(b)=13,即1a-1=1,1b-1=13,解得a=2,b=4,所以b-a=2。


18.☉%424￥@@8#%☉(2020·陕西西安高一联考)求函数f(x)=x-x+1的最值。


答案：


解:令x+1=t(t≥0),则x=t2-1,


所以y=t2-t-1(t≥0)。


又y=t2-t-1(t≥0)的图像是对称轴为直线t=12、开口向上的抛物线的一部分,所以ymin=122-12-1=-54,无最大值。


故函数f(x)的最小值为-54,无最大值。


19.☉%362￥*4￥￥%☉(2020·吉林长春二中月考)已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值。


答案：解:f(x)=(x-a)2+2-a2的图像开口向上,且对称轴为直线x=a。





当a≥1时,函数f(x)的大致图像如图(1)中的实线部分所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,最小值为f(1)=3-2a;


当-1

当a≤-1时,函数f(x)的大致图像如图(3)中的实线部分所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最小值为f(-1)=3+2a。


综上,f(x)min=3+2a,a≤-1,2-a2,-1

题型3 利用最值求参数的取值范围


20.☉%9145*￥#*%☉(多选)(2020·山东德州高一月考)当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a可取( )。


A.1B.0C.-1D.-2


答案：CD


解析：a<-(x-1)2+1,∵x∈[0,2],∴a<0。故选CD。


21.☉%5###68*6%☉(2020·河北衡水中学高一月考)函数f(x)=x2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5,最小值为1,则实数m的取值范围是( )。


A.[2,4]B.[2,+∞)


C.[0,4]D.(2,4]


答案：A


解析：函数f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,图像的对称轴为x=2,f(0)=f(4)=5,f(2)=1。根据题意,函数f(x)=x2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5,最小值为1,故实数m的取值范围是[2,4]。故选A。


22.☉%￥#68*11*%☉(2020·福建厦门一中高一检测)已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是 。


答案：[1,2]


解析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2,作出图像如图所示,由图像知1≤m≤2。





23.☉%5#56@￥*5%☉(2020·山东德州二中高一月考)当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是 。


答案：(-∞,-5]


解析：当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0可化为m<-x+4x,又函数f(x)=-x+4x在(1,2)上递增,则f(x)>-5,故m≤-5。


24.☉%*￥12*11￥%☉(2020·山东菏泽高一期中测试)已知f(x)=x2-2kx+k在区间[0,1]上的最小值是14,则k= 。


答案：12


解析：函数图像的对称轴为x=k。当k≥1时,函数的最小值为f(1)=1-2k+k=14,所以k=34(舍去); 当k≤0时,函数的最小值为f(0)=k=14(舍去);当0

25.☉%￥2#￥#135%☉(2020·黑龙江大庆铁人中学高一期中)已知二次函数g(x)=mx2-2mx+n+1(m>0)在区间[0,3]上有最大值4,最小值0。


(1)求函数g(x)的解析式;


答案：解:因为g(x)=m(x-1)2-m+1+n,


所以函数g(x)的图像的对称轴方程为x=1。


又因为m>0,所以依题意得g(1)=0,g(3)=4,即-m+1+n=0,3m+1+n=4,


解得m=1,n=0。所以g(x)=x2-2x+1。


(2)设f(x)=g(x)-2xx,若f(x)-kx≤0在x∈18,8时恒成立,求k的取值范围。


答案：因为f(x)=g(x)-2xx,所以f(x)=x+1x-4。


因为f(x)-kx≤0在x∈18,8时恒成立,即x+1x-4-kx≤0在x∈18,8时恒成立,所以k≥1x2-4x+1在x∈18,8时恒成立,只需k≥1x2-4x+1max。


令t=1x,由x∈18,8得t=1x∈18,8,


设h(t)=t2-4t+1=(t-2)2-3。


所以函数h(t)的图像的对称轴方程为t=2,


所以当t=8时,函数h(t)取得最大值33。


所以k≥h(t)max=h(8)=33,所以k的取值范围为[33,+∞)。