北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数4 函数的奇偶性与简单的幂函数4.2 简单幂函数的图像和性质当堂检测题

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§4 函数的奇偶性与简单的幂函数


课时3 函数性质的应用


知识点1 函数奇偶性的简单应用


1.☉%￥24@@*18%☉(2020·陕西西安中学月考)若函数y=(x+2)(x-a)为偶函数,则a=( )。


A.-2B.-1C.1D.2


答案：D


解析： y=(x+2)(x-a)=x2+(2-a)x-2a,由函数为偶函数可得2-a=0,解得a=2。故选D。


2.☉%2*6*6￥#0%☉(2020·东北育才学校月考)若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,则a=( )。


A.12B.23C.34D.1


答案：A


解析：要使函数式有意义,则x≠-12,x≠a,而函数为奇函数,所以其定义域应关于原点对称,由此得a=12。经验证,当a=12时,函数f(x)是奇函数。故选A。


3.☉%@2￥￥2￥77%☉(2020·合肥模拟)设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则x·f(x)<0的解集是( )。


A.{x|-33}


B.{x|x<-3或0

C.{x|x<-3或x>3}


D.{x|-3

答案：D


解析：由x·f(x)<0,得x<0,f(x)>0,或x>0,f(x)<0,而f(-3)=0,且f(x)为奇函数,故f(3)=0,即x<0,f(x)>f(-3)或x>0,f(x)

4.☉%*21#4@8*%☉(2020·湖南师大附中月考)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( )。


A.4B.3C.2D.1


答案：B


解析：由题意知f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4。两式相加,解得g(1)=3。故选B。


5.☉%@4#09*8￥%☉(2020·广安一中月考)已知f(x)=x5-ax3+bx+2且f(-5)=17,则f(5)的值为( )。


A.19B.13C.-19D.-13


答案：D


解析：令g(x)=x5-ax3+bx,则g(x)为奇函数,f(x)=g(x)+2。 因为f(-5)=17,所以g(-5)+2=17,所以g(-5)=15。所以f(5)=g(5)+2=-g(-5)+2=-15+2=-13。故选D。


6.☉%4@￥#62@1%☉(2020·扬州中学月考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f52的值是( )。


A.0B.12C.1D.52


答案：A


解析：令x=-12,则-12f12=12f-12=12f12,得f12=0。由xf(x+1)=(1+x)·f(x),得f(x+1)=x+1x·f(x)(x≠0),所以f52=5232·f32=53·f32=53·3212·f12=0,故f52=0,故选A。


7.☉%6@0#*￥63%☉(2020·福州模拟)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a= 。


答案：0


解析：显然x∈R,由已知得f(-x)=(-x)2-|-x+a|=x2-|x-a|,又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),即x2-|x+a|=x2-|x-a|,即|x+a|=|x-a|,又x∈R,所以a=0。


8.☉%@0#@47@6%☉(2020·安庆一中月考)若f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+1,那么当x<0时,f(x)的解析式为 。


答案：f(x)=-3-x+1


解析：当x<0时,-x>0,f(-x)=3-x+1,又f(x)为奇函数,故f(x)=-f(-x)=-3-x+1。


知识点2 函数单调性的简单应用


9.☉%45*@48#@%☉(2020·南昌模拟测试)已知偶函数f(x)在区间[-3,-1]上是单调减函数,则f(-3),f(1),f(2)的大小关系为 。


答案：f(1)

解析：因为函数f(x)在区间[-3,-1]上是单调减函数,所以f(-1)

10.☉%858#*#4*%☉(2020·衡水枣强中学模拟)已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图像如图2-4-3-1,则不等式f(x)g(x)<0的解集是 。





图2-4-3-1


答案：{x|-2

解析： y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数。根据函数图像的对称性画出y=f(x),y=g(x)在[-3,0]上的图像如图所示。





f(x)g(x)<0等价于f(x)>0,g(x)<0,或f(x)<0,g(x)>0,


可求得其解集是{x|-2

11.☉%46*#15￥￥%☉(2020·长沙模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式为 。


答案：f(x)=-2x2+4


解析：因为f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=bx2+(2a+ab)x+2a2,所以-(2a+ab)=2a+ab,即2a+ab=0,所以a=0或b=-2。当a=0时,f(x)=bx2,又因为f(x)的值域为(-∞,4],而f(x)=bx2的值域不可能为(-∞,4],所以a≠0。当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为(-∞,2a2],所以2a2=4。于是所求函数f(x)的解析式为f(x)=-2x2+4。


题型1 利用函数性质求最值


12.☉%774*#7**%☉(2020·郑州外国语学校调考)设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时f(x)是单调函数,则满足f(x)=fx+3x+4的所有x之和为 。


答案：-8


解析：因为f(x)是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,由偶函数的性质可知,若f(x)=fx+3x+4,则只有两种情况:①x=x+3x+4;②x+x+3x+4=0。由①知x2+3x-3=0,该方程有根,则两根之和x1+x2=-3;由②知x2+5x+3=0,该方程有根,则两根之和x3+x4=-5。所以满足条件的所有x之和为-8。


13.☉%577##*5￥%☉(2020·湖南师大附中高一期中)已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2。


(1)求函数f(x)的解析式;


答案：解:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2×(-x)+2=-x2-2x+2,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+2x-2。又f(x)是R上的奇函数,f(0)=0, 所以f(x)=x2+2x-2,x<0,0,x=0,-x2+2x+2,x>0。


(2)画出函数f(x)的图像,并指出f(x)的单调区间及f(x)在(-∞,0)上的最小值。


答案：先画出y=f(x)(x>0)的图像,然后利用奇函数图像的对称性,作出已知函数图像关于原点对称的图像即可得到相应函数的图像,并注意不要漏掉坐标原点,如图所示。由图可知,函数的单调增区间为(-1,0)和(0,1);单调减区间为(-∞,-1)和(1,+∞)。f(x)在(-∞,0)上的最小值为-3。





14.☉%6*94*@4#%☉(2020·河北邢台二中高一检测)已知函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数。


(1)求实数m的值;


答案：解:若函数f(x)=mx+11+x2是R上的偶函数,


则f(-x)=f(x),即m(-x)+11+(-x)2=mx+11+x2,解得m=0。


(2)判断函数f(x)在(-∞,0]上的单调性;


答案：由(1)知f(x)=11+x2,


设任意的x1,x2∈(-∞,0],且x1

则f(x1)-f(x2)=11+x12-11+x22=1+x22-1-x12(1+x12)(1+x22)=(x2+x1)(x2-x1)(1+x12)(1+x22),又因为x10,(1+x12)(1+x22)>0,所以f(x1)

所以函数f(x)在(-∞,0]上单调递增。


(3)求函数f(x)在[-3,2]上的最大值与最小值。


答案：由(2)知函数f(x)在(-∞,0]上是增函数。


又f(x)是偶函数,则y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,


又f(-3)=110,f(0)=1,f(2)=15,


所以f(x)在[-3,2]上的最大值为1,最小值为110。


题型2 利用函数性质求参数的取值范围


15.☉%*#2*4*60%☉(2020·九江调考)完成下列题目。


(1)已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数,若f(1-a2)+f(1-a)<0,求实数a的取值范围。


答案：解:由f(1-a2)+f(1-a)<0,


得f(1-a2)<-f(1-a)。


因为y=f(x)在[-1,1]上是奇函数,


所以-f(1-a)=f(a-1),所以f(1-a2)

又f(x)在[-1,1]上单调递减,


所以-1≤1-a2≤1,-1≤1-a≤1,-1≤a-1≤1,1-a2>a-1,解得0≤a2≤2,0≤a≤2,-2

所以0≤a<1。所以a的取值范围是[0,1)。


(2)定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)

答案：因为函数f(x)是偶函数,


所以f(x)=f(|x|)。


所以f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|)。


所以原不等式等价于-2≤1-m≤2,-2≤m≤2,|1-m|>|m|,


解得-1≤m<12。所以实数m的取值范围是-1,12。


16.☉%6#@@#011%☉(2020·广西玉林中学模拟)已知函数f(x)=ax2+1bx+c。


(1)若函数f(x)是奇函数,且f(1)=3,f(2)=5,求a,b,c的值;


答案：解:因为函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数,所以f(-x)=-f(x),


故a(-x)2+1b(-x)+c=-ax2+1bx+c,即ax2+1-bx+c=-ax2+1bx+c,


所以-bx+c=-(bx+c),即c=-c,解得c=0。


所以f(x)=ax2+1bx。


而f(1)=a×12+1b×1=a+1b=3,所以a+1=3b①。


又f(2)=5,所以a×22+1b×2=4a+12b=5,即4a+1=10b②,


解①②组成的方程组,得a=72,b=32。故a=72,b=32,c=0。


(2)若函数f(x)是偶函数,其图像过点A(1,2),B(2,6),求a,b,c的值。


答案：因为函数f(x)=ax2+1bx+c是偶函数,所以f(-x)=f(x),


故a(-x)2+1b(-x)+c=ax2+1bx+c,即ax2+1-bx+c=ax2+1bx+c。


所以-bx+c=bx+c,即b=-b,解得b=0。故f(x)=ax2+1c。


由题意知f(1)=2,f(2)=6,即a×12+1c=2,a×22+1c=6,整理得a+1=2c,4a+1=6c。


解得a=2,c=32。故a=2,b=0,c=32。


17.☉%7#2#13#￥%☉(2020·江苏南京一中月考)已知f(x)是偶函数,定义x≥0时,f(x)=x(3-x),0≤x≤3,(x-3)(a-x),x>3。


(1)求f(-2);


答案：解:由题意,得f(-2)=f(2)=2×(3-2)=2。


(2)当x<-3时,求f(x)的解析式;


答案：当x<-3时,-x>3,


所以f(-x)=(-x-3)(a+x)=-(x+3)·(a+x),又f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=-(x+3)(a+x)。


所以当x<-3时,f(x)的解析式为f(x)=-(x+3)(a+x)。


(3)设函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值为g(a),试求g(a)的表达式。


答案：因为f(x)是偶函数,所以它在区间[-5,5]上的最大值为它在区间[0,5]上的最大值。


当x≥0时,f(x)=-x2+3x,0≤x≤3,-x2+(a+3)x-3a,x>3。


①当a≤3时,易得f(x)在0,32上单调递增,在32,5上单调递减,所以g(a)=f32=94。


②当3

所以此时只需比较f32=94与f3+a2=(a-3)24的大小。


(ⅰ)当3

所以g(a)=f32=94;


(ⅱ)当6

所以g(a)=f3+a2=(a-3)24;


③当a≥7时,f(x)在0,32与[3,5]上单调递增,


在32,3上单调递减,且f32=94

所以g(a)=f(5)=2(a-5)。


综上所述,g(a)=94,a≤6,(a-3)24,6

18.☉%#6@#@724%☉(2020·山西大同一中高一月考)已知函数f(x)=2x+b,g(x)=x2+bx+c(b,c∈R),h(x)=g(x)f(x)。对任意的x∈R,恒有f(x)≤g(x)成立。


(1)如果h(x)为奇函数,求b,c满足的条件;


答案：解:设h(x)=g(x)f(x)的定义域为D,因为h(x)为奇函数,所以对任意x∈D,h(-x)=-h(x)成立,易解得b=0。


因为对任意的x∈R,恒有f(x)≤g(x)成立,


所以对任意的x∈R,恒有2x+b≤x2+bx+c,


即x2+(b-2)x+c-b≥0对任意的x∈R恒成立。


由(b-2)2-4(c-b)≤0,得c≥b24+1,即c≥1,


于是b,c满足的条件为b=0,c≥1。


(2)在(1)中条件下,若h(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数c的取值范围。


答案：当b=0时,h(x)=g(x)f(x)=x2+c2x=12x+c2x(c≥1)。


因为h(x)在[2,+∞)上为增函数,


所以任取x1,x2∈[2,+∞),且x1

h(x2)-h(x1)=12(x2-x1)1-cx1x2>0恒成立,


即任取x1,x2∈[2,+∞)且x10恒成立,也就是c

结合(1),得实数c的取值范围是[1,4]。