高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念达标测试

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念达标测试，共7页。

§3 对数函数


课时1 对数函数的概念与图像


知识点1 对数函数的概念


1.☉%#4#52##0%☉(2020·吉安一中月考)下列函数中是对数函数的是( )。


A.y=lg14x B.y=lg14(x+1)


C.y=2lg14x D.y=lg14x+1


答案：A


解析：形如y=lgax(a>0且a≠1)的函数才是对数函数,只有A是对数函数,故选A。


2.☉%524@￥#5￥%☉(2020·安庆一中检测)对数函数的图像过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( )。


A.y=lg4x B.y=lg14x


C.y=lg12x D.y=lg2x


答案：D


解析：设对数函数的解析式为y=lga x(a>0且a≠1),由于对数函数的图像过点M(16,4),所以 4=lga16,得a=2。所以对数函数的解析式为 y=lg2x。故选D。


3.☉%3@57*5#￥%☉(2020·白城一中月考)函数y=lg(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是 。


答案：(2,3)∪(3,5)


解析：由对数函数的定义可知a-2>0,a-2≠1,5-a>0,即a>2,a≠3,a<5。因此2

知识点2 反函数


4.☉%7*1**2@8%☉(2020·九江一中月考)函数y=lg3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是( )。


A.(0,+∞) B.R


C.(-∞,0) D.(0,1)


答案：A


解析：反函数的值域为原函数的定义域(0,+∞)。故选A。


5.☉%￥9*#6#70%☉(2020·石门一中月考)设函数f(x)=lg2x的反函数为y=g(x),且g(a)=14,则a= 。


答案：-2


解析：因为函数f(x)=lg2x的反函数为y=2x,即g(x)=2x。又因为g(a)=14,所以2a=14,所以a=-2。


6.☉%53￥@34￥#%☉(2020·银川一中检测)求函数y=3x-4(x≥2)的反函数。


答案：


解:因为y=3x-4,所以3x=y+4,所以x=lg3(y+4)。


又因为x≥2,所以3x-4≥5,


所以函数y=3x-4(x≥2)的反函数为y=lg3(x+4)(x≥5)。


7.☉%#*1@96￥7%☉(2020·南宁调考)设x≥0,y≥0且x+2y=12,求函数t=lg12(8xy+4y2+1)的最大值与最小值。


答案：解:因为x+2y=12,所以2y=12-x。


设p=8xy+4y2+1=4x12-x+12-x2+1=-3x2+x+54=-3x-162+43。


又因为x≥0,y≥0,x+2y=12,所以12-x=2y≥0,即x≤12,


所以0≤x≤12,在此范围内,p的最大值为43,p的最小值为1。


因为t=lg12p是关于p的单调减函数,因此,函数t=lg12(8xy+4y2+1)的最大值是lg121=0,最小值是lg1243。


题型1 对数函数的定义域、值域


8.☉%@187￥4#*%☉(2020·衡水高一月考)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )。


A.(0,1) B.[0,1]


C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)


答案：C


解析：由x2-x>0,解得x<0或x>1,则定义域为(-∞,0)∪(1,+∞),故选C。


9.☉%34*@06*￥%☉(2020·合肥56中月考)函数y=2+lg2x(x≥1)的值域为( )。


A.(2,+∞) B.(-∞,2)


C.[2,+∞) D.[3,+∞)


答案：C


解析：当x≥1时,lg2x≥0,所以y=2+lg2x≥2。故选C。


10.☉%#*9￥025*%☉(2020·芜湖高级中学月考)设集合M=yy=12x,x∈[0,+∞),N={y|y=lg2x,x∈(0,1]},则集合M∪N= 。


答案：(-∞,1]


解析：M=(0,1],N=(-∞,0],所以M∪N=(-∞,1]。


11.☉%4@3#4@*7%☉(2020·深圳外校检测)完成下列题目。


(1)函数f(x)=lg2[lg2(lg2x)]的定义域为 ;


答案：(2,+∞)


解析：由f(x)=lg2[lg2(lg2x)]知lg2(lg2x)>0,即lg2x>1,所以x>2。


(2)已知y=lg2(ax+1)(a≠0)的定义域为(-∞,1),则a的值是 。


答案：-1


解析：因为f(x)的定义域为(-∞,1),


所以ax+1>0的解集为(-∞,1)。


所以x=1是方程ax+1=0的根,所以a+1=0,即a=-1。


12.☉%￥37@#*69%☉(2020·菏泽高一联考)求下列函数的定义域。


(1)y=lg(2-x);


答案：解:lg(2-x)≥0,2-x>0,∴2-x≥1,∴x≤1。故定义域为(-∞,1]。


(2)y=1lg3(3x-2);


答案：3x-2>0,lg3(3x-2)≠0即3x>2,3x-2≠1,∴x>23,且x≠1。


故函数的定义域为23,1∪(1,+∞)。


(3)y=lg(2x-1)(-4x+8)。


答案：-4x+8>0,2x-1>0,2x-1≠1,∴x<2,x>12,x≠1。∴函数的定义域为12,1∪(1,2)。


题型2 对数函数的图像


13.☉%3￥3￥3#*2%☉(2020·锡山高级中学月考)如图4-3-1-1所示的图像对应的函数可能是( )。





图4-3-1-1


A.y=3x B.y=3x的反函数


C.y=3-x D.y=3-x的反函数


答案：D


解析： y=3-x的反函数为y=-lg3x,其为减函数与所给图像相似,故选D。


14.☉%5#99#@@6%☉(2020·九江一中高一期中)为了得到函数f(x)=lg2x的图像,只需将函数g(x)=lg2x8的图像( )。


A.向上平移3个单位长度 B.向下平移3个单位长度


C.向左平移3个单位长度 D.向右平移3个单位长度


答案：A


解析：由题意得,函数g(x)=lg2x8=lg2x-lg28=lg2x-3,所以只需将函数g(x)=lg2x8的图像向上平移3个单位长度,即可得到函数f(x)=lg2x的图像,故选A。


15.☉%1￥￥￥92*1%☉(2020·华师附中月考)如图4-3-1-2,曲线是对数函数y=lgax的图像,已知a取2,53,25,310,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为( )。





图4-3-1-2


A.2,53,25,310 B.2,53,310,25


C.53,2,25,310 D.53,2,310,25


答案：C


解析：方法一:C1,C2的底数都大于1,当x>1时图低的底数大,所以C1,C2对应的a分别为53,2。C3,C4的底数都小于1,当x<1时底数小的图低,C3,C4对应的a分别为25,310。综合以上分析,可得C1,C2,C3,C4对应的a值依次为53,2,25,310。故选C。





方法二:如图,作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=lgax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,所以C1,C2,C3,C4对应的a值分别为53,2,25,310。故选C。


16.☉%00￥@98￥@%☉(2020·东营一中月考)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=lgax的图像是( )。





图4-3-1-3


答案：C


解析： y=a-x=1ax,因为a>1,所以0<1a<1,则y=a-x在(-∞,+∞)上是减函数,过定点(0,1);对数函数y=lgax在(0,+∞)上是增函数,过定点(1,0)。故选C。


17.☉%452*￥￥￥1%☉(2020·深圳中学月考)若点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图像上,则n= 。


答案：14


解析：设对数函数为f(x)=lgax(a>0且a≠1),则由题意可得f(8)=-3,即lga8=-3,所以a-3=8,即a=8-13=12,所以f(x)=lg12x,故由B(n,2)在函数图像上可得f(n)=lg12n=2,所以n=122=14。


18.☉%@7￥￥#694%☉(2020·石家庄二中检测)比较下列各组中两个值的大小:


(1)3lg45,2lg23;


答案：解:因为3lg45=lg4125,2lg23=lg29=lg481,且函数y=lg4x在(0,+∞)上是增函数,又125>81,所以3lg45>2lg23。


(2)lg30.2,lg40.2;


答案：因为0>lg0.23>lg0.24,


所以1lg0.23<1lg0.24,即lg30.2

(3)lg3π,lgπ3;


答案：因为函数y=lg3x在(0,+∞)上是增函数,且π>3,


所以lg3π>lg33=1。


同理,1=lgππ>lgπ3,所以lg3π>lgπ3。


(4)lg0.20.1,0.20.1。


答案：因为函数y=lg0.2x在(0,+∞)上是减函数,且0.1<0.2,


所以lg0.20.1>。


因为函数y=0.2x在R上是减函数,且0<0.1,


所以0.20.1<0.20=1。


所以lg0.20.1>0.20.1。


19.☉%#￥@8390*%☉(2020·宜昌统考)已知00且a≠1,比较|lga(1-x)|与|lga(1+x)|的大小。


答案：解:因为1+x>1,0<1-x<1,0<1-x2<1,


所以|lga(1-x)||lga(1+x)|=|lg(1+x)(1-x)|=-lg(1+x)(1-x)=


lg(1+x)11-x=lg(1+x)1+x1-x2>lg(1+x)(1+x)=1,


所以|lga(1-x)|>|lga(1+x)|。


20.☉%08@￥*75￥%☉(2020·绍兴第一中学期中)若函数f(x)满足对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2都有f(x1)+f(x2)2>fx1+x22,则称函数f(x)为凹函数。已知f(x)=x2+cx,且f(x)为偶函数。


(1)求c的值,并证明f(x)是凹函数;


答案：解:因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即x2-cx=x2+xc,所以cx=0。因为x∈R,所以c=0,所以f(x)=x2。


任意取R上两个不相等的实数x1,x2,则


f(x1)+f(x2)2-f x1+x22=


x12+x222-x1+x222=(x1-x2)24>0,


所以f(x1)+f(x2)2>fx1+x22,故f(x)为凹函数。


(2)判断g(x)=lg2x是否为凹函数,并说明理由。


答案：g(x)=lg2x不是凹函数。


理由:当x1=1,x2=2时,g(x1)=0,g(x2)=1,


gx1+x22=g32=lg232。


因为g(x1)+g(x2)2=12,gx1+x22=lg232>lg22=12,


所以gx1+x22>g(x1)+g(x2)2。故g(x)=lg2x不是凹函数。