高中数学北师大版 (2019)必修第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质课时作业

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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质课时作业，共8页。

§3 对数函数

课时3 指数函数与对数函数的综合应用

知识点1 利用指数、对数函数的性质比较大小

1.☉%*@*93@16%☉(2020·上海建平中学高一期中考试)若0

A.2m>2n B.12m<12n

C.lg12m>lg12n D.lg2m>lg2n

答案：C

解析：因为y=2x与y=lg2x在(0,+∞)上均为增函数,又012n,lg12m>lg12n,所以B错误,C正确,故选C。

2.☉%*797#3##%☉(2020·九江一中月考)若a=lg37,b=21.3,c=0.81.1,则( )。

A.b

C.c

答案：B

解析：由函数y=lg3x的单调性,可知a=lg37∈(1,2)。由函数y=2x的单调性,可知b=21.3>2。由函数y=x1.1的单调性,可知c=0.81.1∈(0,1),所以c

3.☉%￥*98*96@%☉(2020·合肥七中月考)设a=lg129,b=lg32,c=lg57,则( )。

A.a

C.b

答案：A

解析：因为a=lg129lg55=1。所以a

4.☉%95#***43%☉(2020·长沙调考)已知函数f(x)是R上的偶函数,当x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2时,有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0。设a=ln1π,b=(ln π)2,c=lnπ,则( )。

A.f(a)>f(b)>f(c) B.f(b)>f(a)>f(c)

C.f(c)>f(a)>f(b) D.f(c)>f(b)>f(a)

答案：C

解析：由题意可知f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|)。又|a|=ln π>1,|b|=(ln π)2>|a|,|c|=12ln π,且0<12ln π<|a|,故|b|>|a|>|c|,所以f(|c|)>f(|a|)>f(|b|),即f(c)>f(a)>f(b)。故选C。

知识点2 对数函数与指数函数的图像

5.☉%1##5#2￥6%☉(2020·盐城中学月考)已知a>1,b<-1,则函数y=lga(x-b)的图像不经过( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案：D

解析：因为a>1,所以函数y=lgax的图像如图,函数y=lga(x-b)(b<-1)的图像就是把函数y=lgax的图像向左平移|b|(|b|>1)个单位长度,如图。

由图可知函数y=lga(x-b)的图像不经过第四象限。故选D。

6.☉%0@510*@#%☉(2020·宣城郎溪中学高一月考)函数f(x)=xln |x|的大致图像是( )。

图4-3-3-1

答案：A

解析：根据函数的奇偶性可知,y=x是奇函数,y=ln|x|是偶函数。因为f(x)表示的是奇函数与偶函数之积,所以得到的函数是奇函数,因此排除选项C,D;当x→+∞时,f(x)→+∞,所以选项B错误。故选A。

7.☉%56*9￥2*￥%☉(2020·金陵中学月考)已知lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-lgbx的图像可能是( )。

图4-3-3-2

答案：B

解析：因为lg a+lg b=0,所以ab=1,所以b=1a。

所以g(x)=-lgbx=lgax。又因为f(x)=ax,

所以函数f(x)与函数g(x)互为反函数,故选B。

8.☉%527@￥￥7*%☉(2020·开封中学检测)函数f(x)=lg2|x|,g(x)=-x2+2,则f(x)·g(x)的图像只可能是( )。

图4-3-3-3

答案：C

解析：因为f(x)与g(x)都是偶函数,所以f(x)·g(x)也是偶函数,由此可排除A,D。又由x→+∞时,f(x)·g(x)→-∞,可排除B。故选C。

9.☉%￥#@5*097%☉(2020·温州中学检测)若函数f(x)=k·ax-a-x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则g(x)=lga(x+k)的图像是( )。

图4-3-3-4

答案：C

解析：因为f(x)=kax-a-x=kax-1ax是奇函数,所以f(0)=0,即k-1=0,所以k=1,所以f(x)=ax-1ax。又因为函数y=ax,y=-1ax在定义域上单调性相同,函数f(x)是增函数,所以a>1,所以函数g(x)=lga(x+k)=lga(x+1)。g(x)的定义域为(-1,+∞),在其定义域上单调递增。故选C。

10.☉%@￥76#01*%☉(2020·太原五中模拟)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图像经过点(a,a),则f(x)=( )。

A.lg12x B.lg2x

C.12x D.x2

答案：A

解析：由题意知f(x)=lgax,又因为f(a)=a,所以lgaa=a,所以a=12,所以f(x)=lg12x,故选A。

11.☉%*39*95*@%☉(2020·衡水中学高一实验部月考)若x∈0,12时,恒有4x

A.0,22 B.22,1

C.(1,2) D.(2,2)

答案：B

解析：若x∈0,12时,4x22或a<-22。综上,22

12.☉%2#1#*3￥7%☉(2020·广水一中高一第二次考试)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f12=0,则不等式f(lg4x)>0的解集是。

答案：0,12∪(2,+∞)

解析：因为偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以在(-∞,0)上是减函数,f12=f-12=0,所以x∈-∞,-12∪12,+∞时,f(x)>0,即lg4x∈-∞,-12∪12,+∞,所以x∈0,12∪(2,+∞)。

题型应用指数、对数函数的性质确定参数的取值范围

13.☉%*215@*9*%☉(2020·龙岩一中月考)设定义在区间(-a,a)上的函数f(x)=lg2 0151+mx1-2 019x是奇函数(a,m∈R,m≠-2 019),则ma的取值范围是( )。

A.(1,2 01912 019] B.(0,2 01912 019]

C.(1,2 01912 019) D.(0,2 01912 019)

答案：A

解析：因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,

所以lg2 0151+mx1-2 019x+lg2 0151-mx1+2 019x=0,

所以m=2 019,所以f(x)=lg2 0151+2 019x1-2 019x,其定义域为-12 019

所以a∈0,12 019,结合指数函数y=2 019x的单调性可知ma的取值范围是(1,2 01912 019]。故选A。

14.☉%#64￥23￥#%☉(2020·广雅中学检测)已知函数f(x)=lgax,若不等式|f(x)|>1对于任意的x∈[2,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是( )。

A.0,12∪(1,2)

B.0,12∪(2,+∞)

C.12,1∪(1,2)

D.12,1∪(2,+∞)

答案：C

解析：先画出函数f(x)=|lgax|的大致图像,再画出y=1(如图中虚线所示),右侧交点为(a,1)(a>1)或1a,1(01对于任意的x∈[2,+∞)恒成立,当a>1时,得a<2,所以a∈(1,2);当0

15.☉%98#@5*@9%☉(2020·安宁中学月考)设函数f(x)=lg2x(x>0),lg12(-x)(x<0),若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )。

A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

答案：C

解析：当a>0时,由lg2a>lg12a得a>1;当a<0时,由lg12(-a)>lg2(-a)得0<-a<1,即-11,故选C。

16.☉%2#￥￥11@2%☉(2020·北安一中检测)已知函数f(x)=lg12ax-2x-1(a为常数)在区间(2,4)上是减函数,则实数a的取值范围是。

答案：[1,2)

解析：设t=ax-2x-1,则函数y=lg12t在定义域上单调递减,要使f(x)在区间(2,4)上是减函数,则t=ax-2x-1在(2,4)上为增函数。因为t=ax-2x-1=a(x-1)+a-2x-1=a+a-2x-1,所以要使函数t=ax-2x-1在区间(2,4)上为增函数,则a-2<0,即a<2。要使函数f(x)有意义,则t>0,即t=a+a-2x-1>0在(2,4)上成立,所以只需当x=2时,t=2a-22-1=2a-2≥0即可,解得a≥1。综上,实数a的取值范围是[1,2)。

17.☉%846#@**4%☉(2020·宜春高一期中)已知f(x)=lg0.5(x2-mx-m)。

(1)若函数f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围;

答案：解:由函数f(x)=lg0.5(x2-mx-m)的定义域为R,可得不等式x2-mx-m>0的解集为R,所以Δ=m2+4m<0,解得-4

(2)若函数f(x)在区间-2,-12上是递增的,求实数m的取值范围。

答案：由函数f(x)在区间-2,-12上是递增的,

得g(x)=x2-mx-m在区间-2,-12上是递减的,且g(x)>0在区间-2,-12上恒成立,

则m2≥-12,g-12=14+12m-m≥0,

解得m∈-1,12。

18.☉%#@06*55*%☉(2020·冀州中学高一期中)设f(x)=lg121-axx-1+x为奇函数,a为常数。

(1)求a的值;

答案：解:因为f(x)=lg121-axx-1+x为奇函数,

所以f(-x)+f(x)=0对定义域内的任意x都成立,

所以lg121+ax-x-1-x+lg121-axx-1+x=0,

所以1+ax-x-1·1-axx-1=1,

解得a=-1或a=1(舍去)。

(2)判断函数f(x)在x∈(1,+∞)上的单调性,并说明理由;

答案：由(1)知f(x)=lg121+xx-1+x,

任取x1,x2∈(1,+∞),设x1

则1+x1x1-1-1+x2x2-1=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)>0,

所以1+x1x1-1>1+x2x2-1>0,

所以lg121+x1x1-1

所以f(x1)

(3)若对于区间[3,4]上的每一个x值,不等式f(x)>12x+m恒成立,求实数m的取值范围。

答案：令g(x)=f(x)-12x,x∈[3,4],

因为y=12x在x∈[3,4]上是减函数,

所以由(2)知g(x)=f(x)-12x在x∈[3,4]上是增函数,

所以g(x)min=g(3)=158,所以对于区间[3,4]上的每个x值,不等式f(x)>12x+m恒成立,即m

19.☉%￥4*4￥27@%☉(2020·抚州校级期中)已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)是偶函数,且f(x)在(0,+10)上单调递增。

(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;

答案：解:∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,

由幂函数的性质得-2m2+m+3>0,

解得-1

∵m∈Z,∴m=0或m=1。

当m=0时,f(x)=x3不是偶函数,舍去;

当m=1时,f(x)=x2是偶函数,

∴m=1,f(x)=x2。

(2)g(x)=lg2[3-2x-f(x)],求g(x)的定义域和值域。

答案：由(1)知g(x)=lg2(-x2-2x+3),由-x2-2x+3>0得-3

∴g(x)的定义域为(-3,1)。

设t=-x2-2x+3,x∈(-3,1),则t∈(0,4],

此时g(x)的值域,就是函数y=lg2t,t∈(0,4]的值域。

y=lg2t在区间(0,4]上是增函数,∴y∈(-∞,2],

∴函数g(x)的值域为(-∞,2]。

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