数学必修 第一册第一章 预备知识本章综合与测试单元测试随堂练习题

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1.☉%￥#016@￥7%☉(2020·南京外校月考)已知集合U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中的元素个数为( )。


A.1B.2C.3D.4


答案：B


解析： 因为A={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4},所以A∪B={1,2,4},所以∁U(A∪B)={3,5}。


2.☉%￥187#@￥9%☉(2020·湖南衡阳一中检测)已知全集U=R,表示集合A={x∈Z|0




图1-2


A.5个B.6个C.7个D.无穷多个


答案：C


解析：由题可得A={1,2,3,4,5,6},B={-3,-2,-1,0,1,2,3},则A∩B={1,2,3},A∪B={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},根据Venn图知阴影部分表示的集合∁(A∪B)(A∩B)={-3,-2,-1,0,4,5,6},故选C。


3.☉%31￥￥7*0#%☉(2020·北京二中期中)设集合U={(x,y)|x,y∈R},M=(x,y)y-3x-2=1,N={(x,y)|y≠x+1},则(∁UM)∩(∁UN)= 。


答案：{(2,3)}


解析：方法一:集合M=(x,y)y-3x-2=1={(x,y)|y=x+1,且x≠2},如图所示,集合U表示坐标平面内所有的点,集合M表示直线y=x+1除去(2,3)的所有的点,N={(x,y)|y≠x+1},表示坐标平面内除去直线y=x+1以外的所有的点,从而M∪N表示坐标平面内除去(2,3)的所有的点,所以(∁UM)∩(∁UN)=∁U(M∪N)={(2,3)}。


方法二:因为M={(x,y)|y=x+1,且x≠2},所以∁UM={(x,y)|y≠x+1}∪{(2,3)},因为N={(x,y)|y≠x+1},所以∁UN={(x,y)|y=x+1},所以(∁UM)∩(∁UN)={(2,3)}。





4.☉%1*5#87@*%☉(2020·常德中学月考)对于集合A,B,我们把集合{(a,b)|a∈A,b∈B}记作A×B。例如A={1,2},B={3,4},则有


A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},


B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},


A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},


B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)}。


据此,试回答下列问题:


(1)已知C={a},D={1,2,3},求C×D;


答案：解:C×D={(a,1),(a,2),(a,3)}。


(2)已知A×B={(1,2),(2,2)},求集合A,B;


答案：因为A×B={(1,2),(2,2)},所以A={1,2},B={2}。


(3)A中有3个元素,B中有4个元素,试确定A×B中有几个元素。


答案：从题干及(1)(2)解题过程中可以看出,A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关,即集合A中的每一个元素与B中的每一个元素对应后,得到A×B中的一个新元素,若A中有m个元素,B中有n个元素,则A×B中的元素个数应为m×n,所以若A中有3个元素,B中有4个元素,则A×B中有3×4=12(个)元素。


5.☉%*#8600#￥%☉(2020·湛江第一中学月考)已知集合A={x|x

A.{a|a≤1}B.{a|a<1}


C.{a|a≥2}D.{a|a>2}


答案：C


解析：因为B={x|1≤x<2},所以∁RB={x|x<1或x≥2}。


因为A={x|x

6.☉%**@76@60%☉(2020·陕师大附中月考)已知命题:“∀x∈{x|-1≤x≤1},使不等式x2-x-m<0成立”是真命题。


(1)求实数m的取值集合B;


答案：解:由命题:“∀x∈{x|-1≤x≤1},使不等式x2-x-m<0成立”是真命题,得x2-x-m<0在-1≤x≤1时恒成立,


∴m>(x2-x)max,得m>2,即B={m|m>2}。


(2)设不等式(x-3a)(x-a-2)<0的解集为A,若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数a的取值范围。


答案：不等式(x-3a)(x-a-2)<0,


①当3a>2+a,即a>1时,解集A={x|2+a1;


②当3a=2+a,即a=1时,解集A=⌀,满足题设条件;


③当3a

7.☉%*0@3￥04￥%☉(2020·芜湖一中期中)设y=x2-mx+1。


(1)x2-mx+1≥0对任意x>0恒成立,求实数m的取值范围;


答案：解:由题意得x2-mx+1x≥0对任意x>0恒成立,


即x-m+1x≥0对x>0恒成立,


即有m≤x+1xmin,由当x>0时,x+1x≥2,可得当x=1时,x+1x取得最小值2,可得m≤2。


(2)讨论关于x的不等式x2-mx+1≥0的解集。


答案：令g(x)=x2-mx+1,当Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2时,g(x)≥0的解集为R;


当Δ>0,即m>2或m<-2时,方程x2-mx+1=0的两根为x1=m-m2-42,x2=m+m2-42,可得g(x)≥0的解集为


-∞,m-m2-42∪m+m2-42,+∞。


8.☉%#9*@*260%☉(2020·九江中学月考)已知函数y=x2-ax+3。


(1)若y≤-3的解集为[b,3],求实数a,b的值;


答案：解:因为y≤-3,即x2-ax+6≤0的解集为[b,3],所以b,3是一元二次方程x2-ax+6=0的两根。


∴b+3=a,3b=6,解得a=5,b=2。


(2)当x∈12,+∞时,若关于x的不等式y≥1-x2恒成立,求实数a的取值范围。


答案：当x∈12,+∞时,若关于x的不等式y≥1-x2恒成立,则a≤2x+2x在x∈12,+∞上恒成立,


令f(x)=2x+2x,x≥12,则a≤f(x)min。


∵2x+2x≥22x·2x=4,当且仅当x=1时取等号。故a≤4。


9.☉%7@9*￥36#%☉(2020·衡水中学周练)已知函数y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为{x|x<-2或x>0}。


(1)求函数y的解析式;


答案：解:由题意知-2,0是方程3x2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系得-2+0=-b3,-2×0=c3,解得b=6,c=0,∴y=3x2+6x。


(2)若对于任意的x∈[-2,2],y+m≤3都成立,求实数m的最大值。


答案：3x2+6x+m≤3,即m≤-3x2-6x+3,而当x∈[-2,2]时,


函数f(x)=-3x2-6x+3的对称轴为直线x=-1,函数图像开口向下,所以当x=2时函数取得最小值。即f(x)min=-21,


∴m≤-21,实数m的最大值为-21。


10.☉%@1#3@#68%☉(2020·黄冈中学月考)某城市旅游资源丰富,经调查,在过去的一个月内(以30天计),第t天的旅游人数y(万人)近似地满足y=4+1t,而人均消费g(元)近似地满足g=125-|t-25|。


(1)求该城市的旅游日收益W(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式;


答案：解:W=yg=4+1t(125-|t-25|)=4+1t(100+t)(1≤t≤25),4+1t(150-t)(25

(t∈N*)。


(2)求该城市旅游日收益的最小值。


答案：①当t∈[1,25]时,W=401+4t+100t≥401+24t·100t=441当且仅当4t=100t时取等号,所以当t=5时,W取得最小值441。


②当t∈(25,30]时,因为W=599+150t-4t递减,所以当t=30时,W有最小值W(30)=484>441。综上,t∈[1,30]时,旅游日收益W的最小值为441万元。


1.☉%27￥@*1*7%☉(2019·全国Ⅰ高考)已知集合M={x|-4

A.{x|-4

C.{x|-2

答案：C


解析：由题意得M={x|-4

2.☉%*￥@51#38%☉(2019·全国Ⅱ高考)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )。


A.{x|x<1}B.{x|-2

C.{x|-33}


答案：A


解析：由题意得A={x|x>3或x<2},B={x|x<1},则A∩B={x|x<1},故选A。


3.☉%27*￥34**%☉(2019·全国Ⅲ高考)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )。


A.{-1,0,1}B.{0,1}


C.{-1,1}D.{0,1,2}


答案：A


解析：由题意得B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1},故选A。


4.☉%43**0￥6@%☉(2019·江苏高考)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B= 。


答案：{1,6}


解析：由题意知A∩B={1,6}。


5.☉%9#7@25￥#%☉(2019·天津高考)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )。


A.{2}B.{2,3}


C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}


答案：D


解析：∵A∩C={1,2},∴(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D。


6.☉%8#￥48*￥5%☉(2018·北京高考)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则( )。


A.对任意实数a,(2,1)∈A


B.对任意实数a,(2,1)∉A


C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A


D.当且仅当a≤32时,(2,1)∉A


答案：D


解析：若(2,1)∈A,则2a+1>4,2-a≤2,解得a>32,所以当且仅当a≤32时,(2,1)∉A,故选D。


7.☉%068##*@2%☉(2018·全国Ⅱ高考)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )。


A.9B.8C.5D.4


答案：A


解析：方法一:由x2+y2≤3知,-3≤x≤3,-3≤y≤3。又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为3×3=9,故选A。


方法二:根据集合A的元素特征及圆的方程(以后会学到)在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A。





8.☉%60￥*￥￥21%☉(2018·浙江高考)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA=( )。


A.⌀B.{1,3}


C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}


答案：C


解析：因为U={1,2,3,4,5},A={1,3},所以∁UA={2,4,5}。故选C。


9.☉%￥#61@*24%☉(2018·全国Ⅰ高考)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )。


A.{x|-1

C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}


答案：B


解析：方法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2},故选B。


方法二:因为A={x|x2-x-2>0},所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},故选B。


10.☉%@509@@￥2%☉(2018·天津高考)设全集为R,集合A={x|0

A.{x|0

C.{x|1≤x<2}D.{x|0

答案：B


解析：因为B={x|x≥1},所以∁RB={x|x<1},因为A={x|0

11.☉%*#6@799￥%☉(2017·全国Ⅱ高考)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}。若A∩B={1},则B=( )。


A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}


答案：C


解析：因为A∩B={1},所以1∈B,所以1是方程x2-4x+m=0的根,所以1-4+m=0,m=3,方程x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以B={1,3},选C。


12.☉%*@11#￥81%☉(2017·江苏高考)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}。若A∩B={1},则实数a的值为 。


答案：1


解析：因为a2+3≥3,所以由A∩B={1}得a=1,即实数a的值为1。


13.☉%￥18#6#6￥%☉(安徽高考)命题“存在实数x,使x>1”的否定是( )。


A.对任意实数x,都有x>1


B.不存在实数x,使x≤1


C.对任意实数x,都有x≤1


D.存在实数x,使x≤1


答案：C


解析：由题意可得答案为C。


14.☉%#962@##0%☉(天津高考)设x∈R,则“x>12”是“2x2+x-1>0”的( )。


A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件


C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件


答案：A


解析：∵2x2+x-1>0的解集为x|x<-1或x>12,∴“x>12”是“2x2+x-1>0”的充分而不必要条件,故选A。


15.☉%656#0*￥#%☉(2018·全国Ⅰ高考改编)已知函数y=x+2,x≤0,-x+2,x>0,则不等式y≥x2的解集是( )。


A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-2≤x≤2}


C.{x|-2≤x≤1}D.{x|-1≤x≤2}


答案：A


解析：依题意得x≤0,x+2≥x2或x>0,-x+2≥x2⇒-1≤x≤0或0

16.☉%61#@@43#%☉(湖南高考)设a>0,b>0且a+b=1a+1b。


证明:


(1)a+b≥2;


答案：解:由a+b=1a+1b=a+bab,a>0,b>0,得ab=1。


由基本不等式及ab=1,有a+b≥2ab=2,


即a+b≥2。


(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立。


答案：假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,


则由a2+a<2及a>0得0

故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立。


17.☉%*@#011@3%☉(2017·天津高考)若a,b∈R,ab>0,则a4+4b4+1ab的最小值为 。


答案：4


解析： a4+4b4+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab≥24ab·1ab=4前一个等号成立的条件是a2=2b2,后一个等号成立的条件是ab=12,两个等号可以同时取得,即当且仅当a2=22,b2=24时同时取等号。


18.☉%44*7@#5@%☉(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600 t,每次购买x t,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 。


答案：30


解析：总费用为4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立。


19.☉%57￥#9*@9%☉(2017·山东高考)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 。


答案：8


解析：∵1a+2b=1,∴2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8,当且仅当b=2a时取等号。