2020年高中数学新教材同步必修第二册 第十章 10.1.3　古典概型

10.1.3　古典概型
学习目标　1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.

知识点一　随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
知识点二　古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
知识点三　古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.

1.古典概型中每个事件发生的可能性相同.(　×　)
2.古典概型有两个重要条件：①样本空间中样本点总数是有限的，每次试验只出现其中的一个结果；②各个样本点的出现是等可能的.(　√　)
3.用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于2”的概率.(　×　)
4.从甲地到乙地共n条线路，且这n条线路长短各不相同，求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题.(　√　)

一、古典概型的判断
例1　下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.
解　(1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.
反思感悟　古典概型需满足两个条件
(1)样本点总数有限.
(2)各个样本点出现的可能性相等.
跟踪训练1　下列问题中是古典概型的是(　　)
A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B.掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
答案　D
解析　A，B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个.故选D.
二、古典概型概率的计算
例2　一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率.
解　由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.
(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点.
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点.
(3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为.
反思感悟　求古典概型概率的步骤
(1)确定样本空间的样本点的总数n.
(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.
(3)P(A)＝.
跟踪训练2　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________.
答案　
解析　从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝.
三、较复杂的古典概型的概率计算
例3　先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
(1)求点数之和为7的概率；
(2)求掷出两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率.
解　如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种.

(1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).
故P(A)＝＝.
(2)记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4).
故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).
故P(C)＝＝.
反思感悟　在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便.

跟踪训练3　某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解　(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，
则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有
(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，
则所求事件的概率为P＝.

1.下列不是古典概型的是(　　)
A.从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案　C
解析　A，B，D为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不满足等可能性，故不为古典概型.
2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　样本点有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率P＝＝.


3.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)
A.0.4 B.0.6
C.0.8 D.1
答案　B
解析　记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能，其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为＝0.6.
4.用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为.
5.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________.
答案　0.2
解析　两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的样本点有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，所以P＝＝0.2.

1.知识清单：
(1)古典概型.
(2)古典概型的概率公式.
2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数.
3.常见误区：列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.


1.下列是古典概型的是(　　)
A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
答案　C
解析　A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点的个数是无限的，故B不是；C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.
2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为.
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　样本点的总数为6，
构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的样本点的个数为2，
所以所求概率P＝＝，故选B.
4.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴基本事件总数为15.
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.
5.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　设“所取的数中b>a”为事件A，如果把选出的数a，b写成数对(a，b)的形式，则样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共15个，事件A包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝＝.
6.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________.
答案　
解析　用A，B，C分别表示三名男同学，用a，b，c分别表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种.其中2名都是女同学包括ab，ac，bc，共3种.故所求的概率为＝.
7.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________.
答案　
解析　用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4种，故所求的概率为＝.
8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n的值为________.
答案　2
解析　由题意可知＝，解得n＝2.
9.某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率.
解　(1)共抽取6人，又21∶14∶7＝3∶2∶1，所以应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3，2,1.
(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)包含的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个.
所以P(B)＝＝.
10.某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：

A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9

(1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78米以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.
解　(1)由题意知，从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人这一试验E1的样本空间Ω1＝{AB，AC，AD，BC，BD，CD}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，故属于古典概型.设事件M表示“选到的2人身高都在1.78米以下”，则M＝{AB，AC，BC}，共含有3个样本点，
所以P(M)＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，这一试验E2的样本空间Ω2＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等.设事件N表示“选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中”，则N＝{CD，CE，DE}，共含有3个样本点，所以P(N)＝.

11.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个，其中勾股数有(3,4,5)，所以概率为.
12.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　所有样本点的个数为36.由log2xy＝1得2x＝y，其中x，y∈{1,2,3,4,5,6}，所以或或满足log2xy＝1，故事件“log2xy＝1”包含3个样本点，所以所求的概率为P＝＝.
13.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是________.
答案　
解析　总的样本点个数为36.因为方程无实根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0.即m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个样本点.
所以所求概率为＝.
14.从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都被选中的概率为________.
答案　
解析　从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10个样本点，甲、乙都被选中的结果有3种，故所求的概率为.

15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就称“甲、乙心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，样本点总数为36.因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝.


16.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，
并说明理由.
解　(1)用数对(x，y)表示小亮参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2，2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}即样本点的总数为16，
记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3 则事件B包含的样本点共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).
所以P(B)＝＝.
事件C包含的样本点共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).
所以P(C)＝.因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.