数学必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算课堂检测

这是一份数学必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算课堂检测，共9页。试卷主要包含了2　复数的四则运算，对任意z1，z2，z3∈C，有，计算等内容，欢迎下载使用。

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义


学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.





知识点一 复数加法与减法的运算法则


1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则


(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；


(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.


2.对任意z1，z2，z3∈C，有


(1)z1＋z2＝z2＋z1；


(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).


知识点二 复数加减法的几何意义


如图，设复数z1，z2对应向量分别为eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq \(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq \(Z2Z1,\s\up6(→))与复数z1－z2对应.





思考 类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？


答案 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.





1.两个虚数的和或差可能是实数.( √ )


2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.( √ )


3.复数与复数相加减后结果只能是实数.( × )


4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( × )








一、复数代数形式的加、减运算


例1 (1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；


(2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.


解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.


(2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，


所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋x＝5，,2－y＝－6，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝8，))


所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.


反思感悟 解决复数加减运算的思路


两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减).


跟踪训练1 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( )


A.第一象限 B.第二象限


C.第三象限 D.第四象限


答案 A


解析 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限.


二、复数加减法的几何意义


例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：





(1)eq \(AO,\s\up6(→))表示的复数；


(2)对角线eq \(CA,\s\up6(→))表示的复数；


(3)对角线eq \(OB,\s\up6(→))表示的复数.


解 (1)因为eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))，


所以eq \(AO,\s\up6(→))表示的复数为－3－2i.


(2)因为eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，


所以对角线eq \(CA,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.


(3)因为eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，


所以对角线eq \(OB,\s\up6(→))表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.


反思感悟 复数与向量的对应关系的两个关注点


(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.


(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变.


跟踪训练2 已知平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于点O.求：


(1)eq \(AD,\s\up6(→))对应的复数；


(2)eq \(DB,\s\up6(→))对应的复数.


解 (1)因为ABCD是平行四边形，


所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，于是eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，


而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，


即eq \(AD,\s\up6(→))对应的复数是－2＋2i.


(2)因为eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，


而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即eq \(DB,\s\up6(→))对应的复数是5.


三、复数模的综合问题


例3 如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )


A.1 B.eq \f(1,2) C.2 D.eq \r(5)


答案 A


解析 设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，


因为|z＋i|＋|z－i|＝2，


|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.


所以Z点在线段Z1Z2上移动，|Z1Z3|min＝1，


所以|z＋i＋1|min＝1.


反思感悟 |z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.





跟踪训练3 △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )


A.外心 B.内心


C.重心 D.垂心


答案 A


解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心.





1.复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )


A.－1＋i B.1－i


C.i D.－i


答案 A


解析 原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.


2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )


A.第一象限 B.第二象限


C.第三象限 D.第四象限


答案 C


解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.


故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.


3.若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )


A.－2 B.4 C.3 D.－4


答案 B


解析 ∵z＋(3－4i)＝1，


∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.


4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.


答案 －1


解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a－2＝0，,a2＋a－6≠0，))解得a＝－1.


5.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是__________.


答案 5－2i


解析 设AC与BD的交点为E，则E点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－1))，设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.





1.知识清单：


(1)复数代数形式的加减运算法则.


(2)复数加减法的几何意义.


(3)复平面上两点间的距离公式.


2.方法归纳：类比、数形结合.


3.常见误区：忽视模的几何意义.








1.已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为( )


A.－4＋20i B.－2＋10i


C.－8＋20i D.－2＋20i


答案 B


解析 z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.


2.复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围是( )


A.m

C.eq \f(2,3)1


答案 B


解析 ∵(3＋mi)－(2＋i)＝3＋mi－2－i＝1＋(m－1)i，


∴m－1<0，∴m<1.


3.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )


A.3 B.2 C.1 D.－1


答案 D


解析 z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i


＝5＋(1＋a)i.


∵z1＋z2所对应的点在实轴上，


∴1＋a＝0，∴a＝－1.








4.如果一个复数与它的模的和为5＋eq \r(3)i，那么这个复数是( )


A.eq \f(11,5) B.eq \r(3)i


C.eq \f(11,5)＋eq \r(3)i D.eq \f(11,5)＋2eq \r(3)i


答案 C


解析 设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，


则|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).


由题意知a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝5＋eq \r(3)i，


即a＋eq \r(a2＋b2)＋bi＝5＋eq \r(3)i，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2＋b2)＝5，,b＝\r(3)，))解得a＝eq \f(11,5)，b＝eq \r(3).


∴所求复数为eq \f(11,5)＋eq \r(3)i.


5.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为( )


A.eq \r(5) B.5 C.2eq \r(5) D.10


答案 B


解析 依题意，eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，


因此AC的长度为|－3－4i|＝5.


6.已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝________.


答案 4－3i


解析 z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.


7.已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________.


答案 ±2eq \r(3)－2i


解析 因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，


由|z|＝4得a2＋4＝16，


所以a2＝12，所以a＝±2eq \r(3)，


所以z＝±2eq \r(3)－2i.


8.设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________.


答案 eq \f(3,4)＋i


解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq \r(x2＋y2).


∴x＋yi＋eq \r(x2＋y2)＝2＋i.


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,4)，,y＝1.))


∴z＝eq \f(3,4)＋i.


9.计算：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)i))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－2i))；


(2)(3＋2i)＋(eq \r(3)－2)i；


(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；


(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i).


解 (1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋2))i＝eq \f(5,2)－eq \f(5,2)i；


(2)(3＋2i)＋(eq \r(3)－2)i＝3＋(2＋eq \r(3)－2)i＝3＋eq \r(3)i；


(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i；


(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.


10.在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))，其中O是原点，求向量eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数及A，B两点之间的距离.


解 因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))，其中O是原点，所以eq \(OA,\s\up6(→))＝(－3，－1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，


所以eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，


所以向量eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数是2，


又eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，


所以eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是－8－2i，


A，B两点之间的距离|eq \(BA,\s\up6(→))|＝|－8－2i|＝eq \r(－82＋－22)＝2eq \r(17).





11.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，则点D表示的复数是( )


A.1－3i B.－3－i


C.3＋5i D.5＋3i


答案 C


解析 ∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，


∴eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，


∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝2，,y－3＝2，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝5.))


∴点D表示的复数为3＋5i.


12.复数z1＝1＋ics θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )


A.3－2eq \r(2) B.eq \r(2)－1


C.3＋2eq \r(2) D.eq \r(2)＋1


答案 D


解析 |z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cs θ＋1)i|


＝eq \r(1－sin θ2＋1＋cs θ2)


＝eq \r(3＋2cs θ－sin θ)


＝eq \r(3＋2\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))).


∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))))max＝1，


∴|z1－z2|max＝eq \r(3＋2\r(2))＝eq \r(2)＋1.


13.A，B分别是复数z1，z2在复平面上对应的两点，O为原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB为________.


答案 直角三角形


解析 由复数的加、减法的几何意义可知，


当|z1＋z2|＝|z1－z2|时，∠AOB＝90°.


14.在复平面内，O是原点，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数为________.


答案 4－4i


解析 因为eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.





15.若复数z满足z－1＝cs θ＋isin θ，则|z|的最小值为______，|z|的最大值为______.


答案 0 2


解析 ∵|z－1|＝1，


∴复数z对应的点的轨迹为以(1,0)为圆心，1为半径的圆，


∴|z|的最小值为0，最大值为2.


16.已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数为3－i.


(1)求点C，D对应的复数；


(2)求平行四边形ABCD的面积.


解 (1)∵向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数为1＋2i，向量eq \(BC,\s\up6(→))对应的复数为3－i，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))，


∴向量eq \(AC,\s\up6(→))对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.


又eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，


∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.


∵eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，∴向量eq \(AD,\s\up6(→))对应的复数为3－i，


即eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，－1).


设D(x，y)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝3，,y－1＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝0.))


∴点D对应的复数为5.


(2)∵eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|cs B，


∴cs B＝eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(3－2,\r(5)×\r(10))＝eq \f(1,5\r(2))＝eq \f(\r(2),10).


∴sin B＝eq \f(7\r(2),10).


∵S▱ABCD＝|eq \(BA,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|sin B＝eq \r(5)×eq \r(10)×eq \f(7\r(2),10)＝7，


故平行四边形ABCD的面积为7.