高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质课文内容ppt课件

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XUEXIMUBIAO
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.
NEIRONGSUOYIN
知识点一　用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
知识点二　奇偶性与单调性
若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.
1.若f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，则f(0)＝________.2.若f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，则f(－1)________f(1).(填“>”“＝”或“<”)
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
解析　f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在R上单调递减，∴f(－1)>f(1).
3.如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数，那么函数f(x)在区间[3,7]上是_____函数.
解析　∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，∴f(x)在[3,7]上是减函数.
4.函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)＝x，则x<0时，f(x)＝________.
解析　方法一　令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－x，又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x(x<0).方法二　利用图象(图略)可得x<0时，f(x)＝－x.
命题角度1　求对称区间上的解析式例1　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式.
一、利用函数的奇偶性求解析式
解　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x－1.
求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.
跟踪训练1　已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式.
解　因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1).因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0).f(0)＝0.
命题角度2　构造方程组求解析式
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
跟踪训练2　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2. ①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2， ②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小
例3　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是A.f(π)>f(－3)>f(－2)B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)解析　因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).
利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
跟踪训练3　(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为A.f(1)>f(－10) B.f(1)解析　∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有___________.(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)f(－a).
解析　f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误.x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误.又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确.
三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式
{x|－33}
解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－33}.
解析　由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式；(2)转化为简单不等式求解.①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.
跟踪训练4　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上是减函数.
1.若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是A.f(－3)>f(0)>f(1)B.f(－3)>f(1)>f(0)C.f(1)>f(0)>f(－3)D.f(1)>f(－3)>f(0)
解析　∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0).
2.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)bC.|a|<|b| D.0≤ab≥0
3.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
解析　当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
4.奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图,则函数f(x)的增区间为_____________________.
(－∞，－1]，[1，＋∞)
解析　奇函数的图象关于原点对称，可知函数f(x)的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞).
5.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.
解析　因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|).又因为f(2)＝0，所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2).又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|x－1|<2，解得－2KE TANG XIAO JIE
1.知识清单：(1)利用奇偶性，求函数的解析式.(2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.2.方法归纳：利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养.3.常见误区：解不等式易忽视函数的定义域.