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初中第21章 二次根式综合与测试综合训练题
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这是一份初中第21章 二次根式综合与测试综合训练题，共17页。试卷主要包含了下列式子，下列说法错误的是，某同学作业本上做了这么一道题，化简﹣a的结果是，化简二次根式等内容，欢迎下载使用。
第21章《二次根式》
一．二次根式的定义
1．下列式子：①；②；③﹣；④；⑤，是二次根式的有（ ）
A．①③B．①③⑤C．①②③D．①②③⑤
2．下列说法错误的是（ ）
A．零和负数没有算术平方根
B．是一个非负数，也是二次根式
C．的最小值是4
D．的值一定是0
二．二次根式有意义的条件
3．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥﹣3D．x≥﹣3且x≠1
4．已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是 ．
5．已知y＝+8x，则的算术平方根为 ．
6．某同学作业本上做了这么一道题：“当a＝时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理．
三．二次根式的性质与化简
7．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
8．把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
9．化简﹣a的结果是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
10．化简二次根式（a＜0）得（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
11．当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是（ ）
A．29B．16C．13D．3
12．已知|x﹣3|+|5﹣x|＝2，则化简+的结果是（ ）
A．4B．6﹣2xC．﹣4D．2x﹣6
13．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2B．﹣4x﹣2C．﹣2D．2
14．如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1B．k+1C．3k﹣11D．11﹣3k
15．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．3a+b﹣cB．﹣a﹣3b+3cC．a+3b﹣cD．2a
16．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣﹣．
17．已知+2＝b+8，则的值是 ．
18．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有：
＝＝±（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即+＝7，×＝
∴＝＝＝2+．
由上述例题的方法化简：．
四．最简二次根式
19．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
20．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
21．在根式①②③④中，最简二次根式是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
五．二次根式的乘除法
22．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②×＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
23．如果，那么x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤2B．1＜x≤2C．x≥2D．x＞2
24．把（a﹣1）中的（a﹣1）因子移入根号内得（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
25．计算：．
六．分母有理化
26．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）
＝＝（二）
＝＝＝﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
参照（三）式得＝ ；
参照（四）式得＝ ．
（2）化简：+++…+．
27．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．a2＝b2
28．分母有理化后的值为 ．
29．计算：+++…+．
30．已知：a＝2+，b＝2﹣，求：①ab，②a2+b2的值．
七．同类二次根式
31．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
32．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是（ ）
A．﹣2B．5C．﹣2或5D．2或﹣5
33．、、…中与是同类根式的共有（ ）
A．18个B．19个C．20个D．21个
34．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝ ．
八．二次根式的加减法
35．计算：﹣3a2
36．（易错题）已知x+＝，则x﹣的值是（ ）
A．B．﹣C．±D．不能确定
37．化简：+2x﹣x2＝ ．
38．计算：2 ﹣b+﹣3（a＞0，b＞0）
九．二次根式的混合运算
39．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
40．已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n．
十．二次根式的化简求值
41．已知a＝+2，b＝﹣2．求下列式子的值：
（1）a2b+ab2；
（2）（a﹣2）（b﹣2）．
42．先化简，再求值：（﹣）•，其中x＝．
43．已知ab＝2，则的值是 ．
44．已知a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．10B．12C．10D．15
十一．二次根式的应用
45．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．
46．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p＝．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．
47．斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为[（）n﹣（）n]．
（1）计算第一个数a1；
（2）计算第二个数a2；
（3）证明连续三个数之间an﹣1，an，an+1存在以下关系：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；
（4）写出斐波那契数列中的前8个数．
参考答案
一．二次根式的定义
1．解：是二次根式的有①③⑤；
②中被开方数小于0无意义，④是三次根式．
故选：B．
2．解：A、零的算术平方根是0，负数没有平方根，故错误；
B、a2+b2是非负数，所以是一个非负数，也是二次根式，故正确；
C、∵x2+16≥16，∴当x＝0时，有最小值是4，故正确；
D、∵﹣（x﹣1）2≤0，∴有意义的情况下它的值一定是0，故正确．
故选：A．
二．二次根式有意义的条件
3．解：若代数式在实数范围内有意义，则
x﹣1≠0，x+3≥0，
∴实数x的取值范围是x≥﹣3且x≠1，
故选：D．
4．解：∵|a﹣2007|+＝a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+＝a，
＝2007，
两边同平方，得a﹣2008＝20072，
∴a﹣20072＝2008．
5．解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
∴x＝，
∴y＝+8x＝0+0+8×＝4，
∴＝＝4，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
6．解：该同学的答案是不正确的．
当a≥1时，原式＝a+a﹣1＝2a﹣1，
当a＜1时，原式＝a﹣a+1＝1，
∵该同学所求得的答案为，∴a≥1，
∴2a﹣1＝，a＝与a≥1不一致，
∴该同学的答案是不正确的．
三．二次根式的性质与化简
7．解：由x可知x＜0，
所以x＝﹣＝﹣，
故选：C．
8．解：a根号外的因式移到根号内，化简的结果是﹣，
故选：D．
9．解：∵≥0，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴﹣a＝﹣，
故选：B．
10．解：当a＜0时，b≤0，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
11．解：＝|16﹣x|+|x﹣13|，
（1）当时，解得13＜x＜16，原式＝16﹣x+x﹣13＝3，为常数；
（2）当时，解得x＜13，原式＝16﹣x+13﹣x＝29﹣2x，不是常数；
（3）当时，解得x＞16；原式＝x﹣16+x﹣13＝2x﹣29，不是常数；
（4）当时，无解．
故选：D．
12．解：当3≤x≤5时，|x﹣3|+|5﹣x|＝x﹣3+5﹣x＝2，
所以+＝x﹣1+5﹣x＝4．
故选：A．
13．解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
14．解：∵一个三角形的三边长分别为、k、，
∴﹣＜k＜+，
∴3＜k＜4，
﹣|2k﹣5|，
＝﹣|2k﹣5|，
＝6﹣k﹣（2k﹣5），
＝﹣3k+11，
＝11﹣3k，
故选：D．
15．解：∵a、b、c为三角形的三边，
∴a+c＞b，a+b＞c，
即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；
∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．
故选：B．
16．解：∵从数轴可知：a＜0＜b，
∴：|a|﹣﹣
＝|a|﹣|a|﹣|b|
＝﹣|b|
＝﹣b．
17．解：由题可得，
解得，
即a＝17，
∴0＝b+8，
∴b＝﹣8，
∴＝＝5，
故答案为：5．
18．解：根据，可得m＝13，n＝42，
∵6+7＝13，6×7＝42，
∴＝＝．
四．最简二次根式
19．解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、正确；
D、，故错误；
故选：C．
20．解：A.＝＝2，不是最简二次根式；
B.是最简二次根式；
C.＝＝，不是最简二次根式；
D.＝|x|，不是最简二次根式；
故选：B．
21．解：①是最简二次根式；
②＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④＝3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式，故选C．
五．二次根式的乘除法
22．解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
①＝，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），
②•＝1，•＝＝＝1，（故②正确），
③÷＝﹣b，÷＝÷＝×＝﹣b，（故③正确）．
故选：B．
23．解：由题意可得，x﹣1≥0且x﹣2＞0，
解得x＞2．
故选：D．
24．解：根据题意可知a﹣1＜0，
所以（a﹣1）＝﹣＝﹣，
故选：D．
25．解：原式＝•（﹣）•（﹣）
＝﹣•（﹣）
＝﹣xy•（﹣x）
＝．
六．分母有理化
26．解：（1）＝，
＝；
（2）原式＝
+…+
＝++…+
＝．
27．解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，
∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；
a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；
ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；
∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，
∴a2≠b2，故D选项错误；
故选：C．
28．解：＝＝＝+1，
故答案为：．
29．解：+…+
＝+++…+
＝
＝
＝﹣1
＝9．
30．解：①∵a＝2+，b＝2﹣，
∴ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，
②a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣2×1＝16﹣2＝14．
七．同类二次根式
31．解：A、，不能和合并，故本选项错误；
B、，不能和合并，故本选项错误；
C、，能和合并，故本选项正确；
D、＝2不能和合并，故本选项错误；
故选：C．
32．解：根据题意得，x2﹣4x＝10﹣x，
整理得，x2﹣3x﹣10＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝5，
当x＝﹣2时，10﹣x＝10﹣（﹣2）＝12，二次根式不是最简二次根式，不符合题意，舍去；
当x＝5时，10﹣x＝10﹣5＝5，二次根式是最简二次根式，符合题意；
∴x＝5．
故选：B．
33．解：与n是同类根式，
∵＝，
∴只要1≤n2≤403即可
∴1≤n≤20，
∴、、…中与是同类根式的共有20个．
故选：C．
34．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴m2﹣3＝5m+3，解得m＝6或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，＝无意义，故m＝6．
八．二次根式的加减法
35．解：原式＝+6a﹣3a2
＝×4+6a×﹣3a2×
＝+a﹣3a
＝﹣2a
36．解：∵（x﹣）2＝（x+）2﹣4＝6﹣4＝2，
∴x﹣＝±．故选C．
37．解：原式＝+2x﹣x2
＝2x+x﹣5x
＝﹣2x．
38．解：原式＝2﹣b+a﹣3b
＝﹣+a﹣3b
＝（﹣1+a﹣3b）．
九．二次根式的混合运算
39．解：（1）
＝++﹣
＝4+5+﹣3
＝6+；
（2）
＝2××
＝2××
＝；
（3）
＝﹣2+
＝﹣1+3
＝+2；
（4）
＝﹣+﹣﹣（8﹣4+1）
＝﹣3﹣9+4
＝2﹣9．
40．解：化简x与y得：x＝＝2n+1﹣2，y＝＝2n+1+2，
∴x+y＝4n+2，xy＝＝[（+）（﹣）]2＝1，
∴将xy＝1代入方程，化简得：x2+y2＝98，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2×1＝100，
∴x+y＝10．
∴4n+2＝10，
解得n＝2．
十．二次根式的化简求值
41．解：（1）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝2，ab＝1，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×2
＝2；
（2）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴（a﹣2）（b﹣2）
＝（+2﹣2）×（﹣2﹣2）
＝×（﹣4）
＝5﹣4．
42．解：原式＝•，
当x＝时，x+1＞0，
可知＝x+1，
故原式＝•＝＝＝；
43．解：当a＞0，b＞0时，
原式＝；
当a＜0，b＜0时，
原式＝﹣﹣＝﹣2．
44．解：∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，
∴a﹣c＝4，
∴原式＝＝＝＝15．
故选：D．
十一．二次根式的应用
45．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴Rt△ABC的面积＝＝＝4，
即Rt△ABC的面积是4；
（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴AB＝＝＝2，
即AB的长是2；
（3）∵Rt△ABC的面积是4，AB＝2，
∴AB边上的高是：＝，
即AB边上的高是．
46．解：（1）∵AB＝5，BC＝6，CA＝7，
∴a＝6，b＝7，c＝5，p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6．
（2）设BC边上的高为h，
则×6×h＝6，
解得h＝2．
47．解：（1）a1＝[（）﹣（）]＝×＝1；
（2）a2＝[（）2﹣（）2]＝×＝1；
（3）证明：an+1﹣an＝[（）n+1﹣（）n+1]﹣[（）n﹣（）n]
＝[（）n+1﹣（）n]﹣[（）n+1﹣（）n]
＝[（）n（﹣1）]﹣[（）n（﹣1）]
＝[（）n（）]﹣[（）n（﹣）]
＝[（）n﹣1﹣（）n﹣1]；
（4）斐波那契数列中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21．
第21章《二次根式》
一．二次根式的定义
1．下列式子：①；②；③﹣；④；⑤，是二次根式的有（ ）
A．①③B．①③⑤C．①②③D．①②③⑤
2．下列说法错误的是（ ）
A．零和负数没有算术平方根
B．是一个非负数，也是二次根式
C．的最小值是4
D．的值一定是0
二．二次根式有意义的条件
3．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥﹣3D．x≥﹣3且x≠1
4．已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是 ．
5．已知y＝+8x，则的算术平方根为 ．
6．某同学作业本上做了这么一道题：“当a＝时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理．
三．二次根式的性质与化简
7．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
8．把a根号外的因式移入根号内，运算结果是（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
9．化简﹣a的结果是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．
10．化简二次根式（a＜0）得（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
11．当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是（ ）
A．29B．16C．13D．3
12．已知|x﹣3|+|5﹣x|＝2，则化简+的结果是（ ）
A．4B．6﹣2xC．﹣4D．2x﹣6
13．若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2B．﹣4x﹣2C．﹣2D．2
14．如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1B．k+1C．3k﹣11D．11﹣3k
15．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（ ）
A．3a+b﹣cB．﹣a﹣3b+3cC．a+3b﹣cD．2a
16．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣﹣．
17．已知+2＝b+8，则的值是 ．
18．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有：
＝＝±（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即+＝7，×＝
∴＝＝＝2+．
由上述例题的方法化简：．
四．最简二次根式
19．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
20．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
21．在根式①②③④中，最简二次根式是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
五．二次根式的乘除法
22．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②×＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
23．如果，那么x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤2B．1＜x≤2C．x≥2D．x＞2
24．把（a﹣1）中的（a﹣1）因子移入根号内得（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
25．计算：．
六．分母有理化
26．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）
＝＝（二）
＝＝＝﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
参照（三）式得＝ ；
参照（四）式得＝ ．
（2）化简：+++…+．
27．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．a2＝b2
28．分母有理化后的值为 ．
29．计算：+++…+．
30．已知：a＝2+，b＝2﹣，求：①ab，②a2+b2的值．
七．同类二次根式
31．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
32．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是（ ）
A．﹣2B．5C．﹣2或5D．2或﹣5
33．、、…中与是同类根式的共有（ ）
A．18个B．19个C．20个D．21个
34．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝ ．
八．二次根式的加减法
35．计算：﹣3a2
36．（易错题）已知x+＝，则x﹣的值是（ ）
A．B．﹣C．±D．不能确定
37．化简：+2x﹣x2＝ ．
38．计算：2 ﹣b+﹣3（a＞0，b＞0）
九．二次根式的混合运算
39．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
40．已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n．
十．二次根式的化简求值
41．已知a＝+2，b＝﹣2．求下列式子的值：
（1）a2b+ab2；
（2）（a﹣2）（b﹣2）．
42．先化简，再求值：（﹣）•，其中x＝．
43．已知ab＝2，则的值是 ．
44．已知a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．10B．12C．10D．15
十一．二次根式的应用
45．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．
46．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S＝，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p＝．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB＝5，BC＝6，CA＝7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．
47．斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为[（）n﹣（）n]．
（1）计算第一个数a1；
（2）计算第二个数a2；
（3）证明连续三个数之间an﹣1，an，an+1存在以下关系：an+1﹣an＝an﹣1（n≥2）；
（4）写出斐波那契数列中的前8个数．
参考答案
一．二次根式的定义
1．解：是二次根式的有①③⑤；
②中被开方数小于0无意义，④是三次根式．
故选：B．
2．解：A、零的算术平方根是0，负数没有平方根，故错误；
B、a2+b2是非负数，所以是一个非负数，也是二次根式，故正确；
C、∵x2+16≥16，∴当x＝0时，有最小值是4，故正确；
D、∵﹣（x﹣1）2≤0，∴有意义的情况下它的值一定是0，故正确．
故选：A．
二．二次根式有意义的条件
3．解：若代数式在实数范围内有意义，则
x﹣1≠0，x+3≥0，
∴实数x的取值范围是x≥﹣3且x≠1，
故选：D．
4．解：∵|a﹣2007|+＝a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+＝a，
＝2007，
两边同平方，得a﹣2008＝20072，
∴a﹣20072＝2008．
5．解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
∴x＝，
∴y＝+8x＝0+0+8×＝4，
∴＝＝4，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
6．解：该同学的答案是不正确的．
当a≥1时，原式＝a+a﹣1＝2a﹣1，
当a＜1时，原式＝a﹣a+1＝1，
∵该同学所求得的答案为，∴a≥1，
∴2a﹣1＝，a＝与a≥1不一致，
∴该同学的答案是不正确的．
三．二次根式的性质与化简
7．解：由x可知x＜0，
所以x＝﹣＝﹣，
故选：C．
8．解：a根号外的因式移到根号内，化简的结果是﹣，
故选：D．
9．解：∵≥0，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴﹣a＝﹣，
故选：B．
10．解：当a＜0时，b≤0，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
11．解：＝|16﹣x|+|x﹣13|，
（1）当时，解得13＜x＜16，原式＝16﹣x+x﹣13＝3，为常数；
（2）当时，解得x＜13，原式＝16﹣x+13﹣x＝29﹣2x，不是常数；
（3）当时，解得x＞16；原式＝x﹣16+x﹣13＝2x﹣29，不是常数；
（4）当时，无解．
故选：D．
12．解：当3≤x≤5时，|x﹣3|+|5﹣x|＝x﹣3+5﹣x＝2，
所以+＝x﹣1+5﹣x＝4．
故选：A．
13．解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
14．解：∵一个三角形的三边长分别为、k、，
∴﹣＜k＜+，
∴3＜k＜4，
﹣|2k﹣5|，
＝﹣|2k﹣5|，
＝6﹣k﹣（2k﹣5），
＝﹣3k+11，
＝11﹣3k，
故选：D．
15．解：∵a、b、c为三角形的三边，
∴a+c＞b，a+b＞c，
即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；
∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．
故选：B．
16．解：∵从数轴可知：a＜0＜b，
∴：|a|﹣﹣
＝|a|﹣|a|﹣|b|
＝﹣|b|
＝﹣b．
17．解：由题可得，
解得，
即a＝17，
∴0＝b+8，
∴b＝﹣8，
∴＝＝5，
故答案为：5．
18．解：根据，可得m＝13，n＝42，
∵6+7＝13，6×7＝42，
∴＝＝．
四．最简二次根式
19．解：A、，故错误；
B、，故错误；
C、正确；
D、，故错误；
故选：C．
20．解：A.＝＝2，不是最简二次根式；
B.是最简二次根式；
C.＝＝，不是最简二次根式；
D.＝|x|，不是最简二次根式；
故选：B．
21．解：①是最简二次根式；
②＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④＝3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式，故选C．
五．二次根式的乘除法
22．解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
①＝，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），
②•＝1，•＝＝＝1，（故②正确），
③÷＝﹣b，÷＝÷＝×＝﹣b，（故③正确）．
故选：B．
23．解：由题意可得，x﹣1≥0且x﹣2＞0，
解得x＞2．
故选：D．
24．解：根据题意可知a﹣1＜0，
所以（a﹣1）＝﹣＝﹣，
故选：D．
25．解：原式＝•（﹣）•（﹣）
＝﹣•（﹣）
＝﹣xy•（﹣x）
＝．
六．分母有理化
26．解：（1）＝，
＝；
（2）原式＝
+…+
＝++…+
＝．
27．解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，
∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；
a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；
ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；
∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，
∴a2≠b2，故D选项错误；
故选：C．
28．解：＝＝＝+1，
故答案为：．
29．解：+…+
＝+++…+
＝
＝
＝﹣1
＝9．
30．解：①∵a＝2+，b＝2﹣，
∴ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，
②a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣2×1＝16﹣2＝14．
七．同类二次根式
31．解：A、，不能和合并，故本选项错误；
B、，不能和合并，故本选项错误；
C、，能和合并，故本选项正确；
D、＝2不能和合并，故本选项错误；
故选：C．
32．解：根据题意得，x2﹣4x＝10﹣x，
整理得，x2﹣3x﹣10＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝5，
当x＝﹣2时，10﹣x＝10﹣（﹣2）＝12，二次根式不是最简二次根式，不符合题意，舍去；
当x＝5时，10﹣x＝10﹣5＝5，二次根式是最简二次根式，符合题意；
∴x＝5．
故选：B．
33．解：与n是同类根式，
∵＝，
∴只要1≤n2≤403即可
∴1≤n≤20，
∴、、…中与是同类根式的共有20个．
故选：C．
34．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴m2﹣3＝5m+3，解得m＝6或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，＝无意义，故m＝6．
八．二次根式的加减法
35．解：原式＝+6a﹣3a2
＝×4+6a×﹣3a2×
＝+a﹣3a
＝﹣2a
36．解：∵（x﹣）2＝（x+）2﹣4＝6﹣4＝2，
∴x﹣＝±．故选C．
37．解：原式＝+2x﹣x2
＝2x+x﹣5x
＝﹣2x．
38．解：原式＝2﹣b+a﹣3b
＝﹣+a﹣3b
＝（﹣1+a﹣3b）．
九．二次根式的混合运算
39．解：（1）
＝++﹣
＝4+5+﹣3
＝6+；
（2）
＝2××
＝2××
＝；
（3）
＝﹣2+
＝﹣1+3
＝+2；
（4）
＝﹣+﹣﹣（8﹣4+1）
＝﹣3﹣9+4
＝2﹣9．
40．解：化简x与y得：x＝＝2n+1﹣2，y＝＝2n+1+2，
∴x+y＝4n+2，xy＝＝[（+）（﹣）]2＝1，
∴将xy＝1代入方程，化简得：x2+y2＝98，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2×1＝100，
∴x+y＝10．
∴4n+2＝10，
解得n＝2．
十．二次根式的化简求值
41．解：（1）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝2，ab＝1，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×2
＝2；
（2）∵a＝+2，b＝﹣2，
∴（a﹣2）（b﹣2）
＝（+2﹣2）×（﹣2﹣2）
＝×（﹣4）
＝5﹣4．
42．解：原式＝•，
当x＝时，x+1＞0，
可知＝x+1，
故原式＝•＝＝＝；
43．解：当a＞0，b＞0时，
原式＝；
当a＜0，b＜0时，
原式＝﹣﹣＝﹣2．
44．解：∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，
∴a﹣c＝4，
∴原式＝＝＝＝15．
故选：D．
十一．二次根式的应用
45．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴Rt△ABC的面积＝＝＝4，
即Rt△ABC的面积是4；
（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，
∴AB＝＝＝2，
即AB的长是2；
（3）∵Rt△ABC的面积是4，AB＝2，
∴AB边上的高是：＝，
即AB边上的高是．
46．解：（1）∵AB＝5，BC＝6，CA＝7，
∴a＝6，b＝7，c＝5，p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6．
（2）设BC边上的高为h，
则×6×h＝6，
解得h＝2．
47．解：（1）a1＝[（）﹣（）]＝×＝1；
（2）a2＝[（）2﹣（）2]＝×＝1；
（3）证明：an+1﹣an＝[（）n+1﹣（）n+1]﹣[（）n﹣（）n]
＝[（）n+1﹣（）n]﹣[（）n+1﹣（）n]
＝[（）n（﹣1）]﹣[（）n（﹣1）]
＝[（）n（）]﹣[（）n（﹣）]
＝[（）n﹣1﹣（）n﹣1]；
（4）斐波那契数列中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21．
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