还剩13页未读，
继续阅读
华师大版九年级上册第22章 一元二次方程综合与测试课后测评
展开
这是一份华师大版九年级上册第22章 一元二次方程综合与测试课后测评，共16页。试卷主要包含了方程2等内容，欢迎下载使用。
第22章《一元二次方程》
一．一元二次方程的定义
1．当m＝ 时，关于x的方程2xm﹣2＝5是一元二次方程．
二．一元二次方程的一般形式
2．方程2（x2﹣1）+1＝3x（x﹣1）中二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣3，1B．﹣1，﹣3，1C．1，3，﹣1D．﹣3，3，﹣1
三．一元二次方程的解
3．已知a是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（a2﹣a）（a﹣+2）的值为 ．
4．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝ ．
5．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝ ．
6．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ ．
7．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝ ．
8．如果一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根是m，则代数式4m2﹣12m+2的值是 ．
9．若x＝a是方程x2+2x﹣2＝0的其中一根，则2a2+4a﹣1＝ ．
四．解一元二次方程----直接开平方法
10．如果关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，那么的值为 ．
11．关于x的方程（x+m）2+b＝0（b、m为常数）的解是x1＝3，x2＝﹣1，则方程（x+m+2）2+b＝0的解是 ．
12．方程（x+1）2＝9的根是 ．
13．在实数范围内定义一种新运算，规定：a★b＝a2﹣b2，求方程（x+2）★5＝0的解．
14．已知一元二次方程（x﹣2）2+m＝8，请你任取一个适当的m值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．
五．解一元二次方程----配方法
15．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100
B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
C．2x2﹣7x﹣4＝0化为（x﹣）2＝
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝
16．将一元二次方程2x2﹣6x+1＝0配方，得（x+h）2＝k，则h、k的值分别为（ ）
A．3、8B．﹣3、8C．、D．、
17．用配方法将方程x2+4x﹣4＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．﹣2，0B．2，0C．﹣2，8D．2，8
18．用配方法解方程x2﹣6x＝1时，方程两边应同时加上 ，就能使方程左边配成一个完全平方式．
19．若将一元二次方程x2+4x﹣7＝0化为（x+2）2＝k，则k＝ ．
20．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为 ．
六．解一元二次方程-----公式法
21．解方程：x2+x﹣1＝0；
七．解一元二次方程-因式分解
22．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为 ．
23．解方程：2x2﹣5x+3＝0；
24．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
八．根的判别式
25．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
26．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
九．根与系数的关系
27．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
28．设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3B．﹣C．D．﹣2
29．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5B．10C．11D．13
30．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．
31．方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为 ．
32．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为 ．
33．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则＝ ．
34．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
35．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+（m﹣1）＝0．
（1）若方程的一个根是x＝2，求m的值及另一个根；
（2）当m＞1时方程有实数根吗？请说明理由．
36．已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
十．由实际问题抽象出一元二次方程
37．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
38．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
39．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442
40．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
41．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
十一．一元二次方程的应用
42．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
43．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．20%B．30%C．40%D．50%
44．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人．
45．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 cm．
46．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
47．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
十二．高次方程
48．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（ ）
A．1﹣B．3﹣C．1+D．3+
十三．无理方程
49．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足，求x2+y2的值．
50．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2
原方程可化为：t2+4t﹣5＝0
【续解】
参考答案
一．一元二次方程的定义
1．解：依题意得：m﹣2＝2，
解得m＝4．
故答案是：4．
二．一元二次方程的一般形式
2．解：把方程2（x2﹣1）+1＝3x（x﹣1）转化为一般形式得：x2﹣3x+1＝0，二次项系数，一次项系数和常数项分别是1，﹣3，1．
故选：A．
三．一元二次方程的解
3．解：∵a是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实根，
∴a2﹣a﹣5＝0，即a2＝a+5，
∴原式＝（a+5﹣a）×
＝5×
＝5×3
＝15．
故答案为15．
4．解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为﹣1．
5．解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，
∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，
解得：a＝1，
故答案为：1．
6．解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
7．解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0的一个根，
∴4+2m+2n＝0，
∴n+m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
8．解：由题意可知：m2﹣3m﹣2＝0，
∴原式＝4（m2﹣3m）+2
＝4×2+2
＝10，
故答案为：10．
9．解：∵x＝a是方程x2+2x﹣2＝0的其中一根
∴a2+2a﹣2＝0，
∴a2+2a＝2，
∴2a2+4a﹣1＝2（a2+2a）﹣1＝2×2﹣1＝3．
故答案为3．
四．解一元二次方程-直接开平方法
10．解：解方程ax2＝b得：x2＝，
∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，
∴（m+1）2＝，（2m﹣4）2＝，
∴b＝a（m+1）2，b＝a（﹣2m+4）2，
∴m+1＝﹣2m+4，
解得：m＝1，
方程的两根为±2，
即4＝，
b＝4a，
∴＝＝4，
故答案为：4．
11．解：将（x+m+2）2+b＝0变形为[（x+2）+m]2+b＝0，
∵（x+m）2+b＝0的解为x1＝3，x2＝﹣1，
∴方程[（x+2）+m]2+b＝0的解为x+2＝3或x+2＝﹣1，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
故答案为x1＝1，x2＝﹣3．
12．解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
13．解：∵（x+2）★5＝0，
∴（x+2）2﹣52＝0，
∴（x+2）2＝52，
∴x+2＝±5，
∴x1＝3，x2＝﹣7．
14．解：（x﹣2）2＝8﹣m，
当8﹣m≥0时，原方程有实数解，
取m＝8，则（x﹣2）2＝0，此时x1＝x2＝2．
五．解一元二次方程-配方法
15．解：A、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，故本选项正确；
B、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，故本选项错误；
C、2x2﹣7x﹣4＝0化为（x﹣）2＝，故本选项正确；
D、3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝，故本选项正确；
故选：B．
16．解：∵2x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣3x＝﹣，
则x2﹣3x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，
∴h＝﹣，k＝，
故选：D．
17．解：∵x2+4x﹣4＝0，
∴x2+4x＝4，
则x2+4x+4＝4+4，即（x+2）2＝8，
∴m＝2，n＝8，
故选：D．
18．解：x2﹣6x＝1，
x2﹣6x+9＝1+9，
故答案为：9．
19．解：方程x2+4x﹣7＝0，
移项得：x2+4x＝7，
配方得：x2+4x+4＝11，即（x+2）2＝11，
则k＝11，
故答案为：11．
20．解：x2+4x＝5，
x2+4x+4＝9，
（x+2）2＝9．
故答案为（x+2）2＝9．
六．解一元二次方程-公式法
21．解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
七．解一元二次方程-因式分解法
22．解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2．
23．解：2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝1；
24．解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0，x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
八．根的判别式
25．解：由已知得：
△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
26．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，
∴（﹣2）2﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
九．根与系数的关系
27．解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
28．解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故选：A．
29．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
30．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
31．解：∵方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，
∴x1•x2＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
32．解：设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
故答案为1．
33．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴x1x2＝﹣1，
则＝﹣1，
故答案为：﹣1．
34．解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
35．解：（1）把x＝2代入方程mx2﹣2mx+（m﹣1）＝0得4m﹣4m+m﹣1＝0，解得m＝1，
此时方程为x2﹣2x＝0，解得x1＝2，x2＝0，即方程的另一个根为0；
（2）方程有两个不相等的实数根，理由如下：
△＝4m2﹣4m（m﹣1）＝4m
∵m＞1，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
36．（1）证明：x2+mx﹣3＝0，
∵a＝1，b＝m，c＝﹣3
∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，
∵m2≥0，
∴m2+12＞0，
∴△＞0，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x1，
则 2•x1＝＝＝﹣3，
∴x1＝﹣
∴方程的另一个根为﹣．
十．由实际问题抽象出一元二次方程
37．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
38．解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
39．解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故选：B．
40．解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．
故选：D．
41．解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
十一．一元二次方程的应用
42．解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
∴参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
43．解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，
依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，
整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．
故选：C．
44．解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
依题意，得1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了10人．
45．解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，
解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，
代入ab＝24中，得：
（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝9（舍去），
答；剪去的正方形的边长为2cm．
故答案为：2．
46．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
47．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
十二．高次方程
48．解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x3＝x•x2＝x（x+1）＝x2+x＝x+1+x＝2x+1，
x4＝x•x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（x+1）+x＝3x+2，
∴x4﹣2x3+3x＝3x+2﹣2（2x+1）+3x
＝3x+2﹣4x﹣2+3x
＝2x，
解方程x2﹣x﹣1＝0得x1＝，x2＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴x4﹣2x3+3x＝2×＝1+．
故选：C．
十三．无理方程
49．解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：
，整理得：，
②﹣①得：11a2＝275，
解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，
∴方程组的解为：或，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，
当a＝5时，x2+y2＝6，
当a＝﹣5时，x2+y2＝26，
因此x2+y2的值为6或26．
50．解：（t+5）（t﹣1）＝0，
t+5＝0或t﹣1＝0，
∴t1＝﹣5，t2＝1，
当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；
当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
经检验，原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
第22章《一元二次方程》
一．一元二次方程的定义
1．当m＝ 时，关于x的方程2xm﹣2＝5是一元二次方程．
二．一元二次方程的一般形式
2．方程2（x2﹣1）+1＝3x（x﹣1）中二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣3，1B．﹣1，﹣3，1C．1，3，﹣1D．﹣3，3，﹣1
三．一元二次方程的解
3．已知a是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（a2﹣a）（a﹣+2）的值为 ．
4．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝ ．
5．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝ ．
6．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝ ．
7．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝ ．
8．如果一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根是m，则代数式4m2﹣12m+2的值是 ．
9．若x＝a是方程x2+2x﹣2＝0的其中一根，则2a2+4a﹣1＝ ．
四．解一元二次方程----直接开平方法
10．如果关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，那么的值为 ．
11．关于x的方程（x+m）2+b＝0（b、m为常数）的解是x1＝3，x2＝﹣1，则方程（x+m+2）2+b＝0的解是 ．
12．方程（x+1）2＝9的根是 ．
13．在实数范围内定义一种新运算，规定：a★b＝a2﹣b2，求方程（x+2）★5＝0的解．
14．已知一元二次方程（x﹣2）2+m＝8，请你任取一个适当的m值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．
五．解一元二次方程----配方法
15．用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）
A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100
B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
C．2x2﹣7x﹣4＝0化为（x﹣）2＝
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝
16．将一元二次方程2x2﹣6x+1＝0配方，得（x+h）2＝k，则h、k的值分别为（ ）
A．3、8B．﹣3、8C．、D．、
17．用配方法将方程x2+4x﹣4＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（ ）
A．﹣2，0B．2，0C．﹣2，8D．2，8
18．用配方法解方程x2﹣6x＝1时，方程两边应同时加上 ，就能使方程左边配成一个完全平方式．
19．若将一元二次方程x2+4x﹣7＝0化为（x+2）2＝k，则k＝ ．
20．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为 ．
六．解一元二次方程-----公式法
21．解方程：x2+x﹣1＝0；
七．解一元二次方程-因式分解
22．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为 ．
23．解方程：2x2﹣5x+3＝0；
24．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
八．根的判别式
25．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
26．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
九．根与系数的关系
27．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根B．两个负根
C．一个正根，一个负根D．无实数根
28．设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3B．﹣C．D．﹣2
29．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5B．10C．11D．13
30．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于 ．
31．方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为 ．
32．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为 ．
33．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则＝ ．
34．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
35．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+（m﹣1）＝0．
（1）若方程的一个根是x＝2，求m的值及另一个根；
（2）当m＞1时方程有实数根吗？请说明理由．
36．已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
十．由实际问题抽象出一元二次方程
37．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600
B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600
D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
38．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
39．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442
40．如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
41．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
十一．一元二次方程的应用
42．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
43．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．20%B．30%C．40%D．50%
44．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人．
45．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 cm．
46．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
47．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
十二．高次方程
48．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（ ）
A．1﹣B．3﹣C．1+D．3+
十三．无理方程
49．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．
已知实数x，y满足，求x2+y2的值．
50．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2
原方程可化为：t2+4t﹣5＝0
【续解】
参考答案
一．一元二次方程的定义
1．解：依题意得：m﹣2＝2，
解得m＝4．
故答案是：4．
二．一元二次方程的一般形式
2．解：把方程2（x2﹣1）+1＝3x（x﹣1）转化为一般形式得：x2﹣3x+1＝0，二次项系数，一次项系数和常数项分别是1，﹣3，1．
故选：A．
三．一元二次方程的解
3．解：∵a是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实根，
∴a2﹣a﹣5＝0，即a2＝a+5，
∴原式＝（a+5﹣a）×
＝5×
＝5×3
＝15．
故答案为15．
4．解：把x＝0代入（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为﹣1．
5．解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，
∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，
解得：a＝1，
故答案为：1．
6．解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
7．解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0的一个根，
∴4+2m+2n＝0，
∴n+m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
8．解：由题意可知：m2﹣3m﹣2＝0，
∴原式＝4（m2﹣3m）+2
＝4×2+2
＝10，
故答案为：10．
9．解：∵x＝a是方程x2+2x﹣2＝0的其中一根
∴a2+2a﹣2＝0，
∴a2+2a＝2，
∴2a2+4a﹣1＝2（a2+2a）﹣1＝2×2﹣1＝3．
故答案为3．
四．解一元二次方程-直接开平方法
10．解：解方程ax2＝b得：x2＝，
∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，
∴（m+1）2＝，（2m﹣4）2＝，
∴b＝a（m+1）2，b＝a（﹣2m+4）2，
∴m+1＝﹣2m+4，
解得：m＝1，
方程的两根为±2，
即4＝，
b＝4a，
∴＝＝4，
故答案为：4．
11．解：将（x+m+2）2+b＝0变形为[（x+2）+m]2+b＝0，
∵（x+m）2+b＝0的解为x1＝3，x2＝﹣1，
∴方程[（x+2）+m]2+b＝0的解为x+2＝3或x+2＝﹣1，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
故答案为x1＝1，x2＝﹣3．
12．解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．
13．解：∵（x+2）★5＝0，
∴（x+2）2﹣52＝0，
∴（x+2）2＝52，
∴x+2＝±5，
∴x1＝3，x2＝﹣7．
14．解：（x﹣2）2＝8﹣m，
当8﹣m≥0时，原方程有实数解，
取m＝8，则（x﹣2）2＝0，此时x1＝x2＝2．
五．解一元二次方程-配方法
15．解：A、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，故本选项正确；
B、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，故本选项错误；
C、2x2﹣7x﹣4＝0化为（x﹣）2＝，故本选项正确；
D、3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝，故本选项正确；
故选：B．
16．解：∵2x2﹣6x＝﹣1，
∴x2﹣3x＝﹣，
则x2﹣3x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，
∴h＝﹣，k＝，
故选：D．
17．解：∵x2+4x﹣4＝0，
∴x2+4x＝4，
则x2+4x+4＝4+4，即（x+2）2＝8，
∴m＝2，n＝8，
故选：D．
18．解：x2﹣6x＝1，
x2﹣6x+9＝1+9，
故答案为：9．
19．解：方程x2+4x﹣7＝0，
移项得：x2+4x＝7，
配方得：x2+4x+4＝11，即（x+2）2＝11，
则k＝11，
故答案为：11．
20．解：x2+4x＝5，
x2+4x+4＝9，
（x+2）2＝9．
故答案为（x+2）2＝9．
六．解一元二次方程-公式法
21．解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
七．解一元二次方程-因式分解法
22．解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2．
23．解：2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝1；
24．解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0，x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
八．根的判别式
25．解：由已知得：
△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
26．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，
∴（﹣2）2﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
九．根与系数的关系
27．解：∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣2﹣p2＜0，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
28．解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故选：A．
29．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
30．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
31．解：∵方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，
∴x1•x2＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
32．解：设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
故答案为1．
33．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴x1x2＝﹣1，
则＝﹣1，
故答案为：﹣1．
34．解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
35．解：（1）把x＝2代入方程mx2﹣2mx+（m﹣1）＝0得4m﹣4m+m﹣1＝0，解得m＝1，
此时方程为x2﹣2x＝0，解得x1＝2，x2＝0，即方程的另一个根为0；
（2）方程有两个不相等的实数根，理由如下：
△＝4m2﹣4m（m﹣1）＝4m
∵m＞1，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
36．（1）证明：x2+mx﹣3＝0，
∵a＝1，b＝m，c＝﹣3
∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，
∵m2≥0，
∴m2+12＞0，
∴△＞0，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x1，
则 2•x1＝＝＝﹣3，
∴x1＝﹣
∴方程的另一个根为﹣．
十．由实际问题抽象出一元二次方程
37．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
38．解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
39．解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，
故选：B．
40．解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600．
故选：D．
41．解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
十一．一元二次方程的应用
42．解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：
x（x﹣1）＝36，
化简，得x2﹣x﹣72＝0，
解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
∴参加此次比赛的球队数是9队．
故选：D．
43．解：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，
依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，
整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．
故选：C．
44．解：设每轮传染中平均每人传染了x人．
依题意，得1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了10人．
45．解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，
解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，
代入ab＝24中，得：
（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝9（舍去），
答；剪去的正方形的边长为2cm．
故答案为：2．
46．解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得
20000（1+x）2＝24200
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%．
（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．
答：预计4月份平均日产量为26620个．
47．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
十二．高次方程
48．解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x3＝x•x2＝x（x+1）＝x2+x＝x+1+x＝2x+1，
x4＝x•x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（x+1）+x＝3x+2，
∴x4﹣2x3+3x＝3x+2﹣2（2x+1）+3x
＝3x+2﹣4x﹣2+3x
＝2x，
解方程x2﹣x﹣1＝0得x1＝，x2＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴x4﹣2x3+3x＝2×＝1+．
故选：C．
十三．无理方程
49．解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：
，整理得：，
②﹣①得：11a2＝275，
解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，
∴方程组的解为：或，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，
当a＝5时，x2+y2＝6，
当a＝﹣5时，x2+y2＝26，
因此x2+y2的值为6或26．
50．解：（t+5）（t﹣1）＝0，
t+5＝0或t﹣1＝0，
∴t1＝﹣5，t2＝1，
当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；
当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
经检验，原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
相关试卷
2020-2021学年第22章 一元二次方程综合与测试课后复习题： 这是一份2020-2021学年第22章 一元二次方程综合与测试课后复习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学华师大版九年级上册第22章 一元二次方程综合与测试课后测评： 这是一份初中数学华师大版九年级上册第22章 一元二次方程综合与测试课后测评，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021学年第22章 一元二次方程综合与测试课后测评： 这是一份2021学年第22章 一元二次方程综合与测试课后测评，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
