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2019-2020学年广东省佛山市高明区七年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年广东省佛山市高明区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3÷a＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（a2）4＝a6
2．（3分）“戴口罩、勤洗手”能有效预防新冠病毒，N95口罩对直径大于0.00 000 03米的颗粒，阻隔率达95%以上，数据0.00 000 03科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣6 B．0.3×10﹣7 C．3×10﹣7 D．3×10﹣6
3．（3分）下面四个手机APP图标中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系中一定成立的是（ ）
A．互为邻补角 B．互为补角 C．互为对顶角 D．互为余角
5．（3分）如图，已知点D是△ABC中AC边上的一点，线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．边的垂直平分线
6．（3分）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为﹣3℃
B．14时气温最高为8℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升
D．从14时至24时，气温随时间增长而下降
7．（3分）如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．100°
8．（3分）小明不慎将一个三角形玻璃摔碎成如图所示的四块，现要到玻璃店配一个与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应带去的一块是（ ）
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．367人中至少有2人生日相同
B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖
10．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题包括7小题，每小题4分，共28分．请把各题的答案填写在答题卡上）
11．（4分）化简：（x2）3÷x＝ ．
12．（4分）计算：（m﹣n）（m+n）＝ ．
13．（4分）某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n
10
100
200
500
1000
击中靶心次数m
9
86
168
426
849
击中靶心频率m/n
0.9
0.86
0.84
0.852
0.849
则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是 （精确到0.01）．
14．（4分）小明匀速骑自行车去上学，他2分钟可以骑300米，则他上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式为 ．
15．（4分）如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝120m，则水池宽AB的长度是 m．
16．（4分）如图，在七巧板中，①∠GLC＝120°，②GL∥BC，③AK＝HK，④EF⊥DH．其中正确的是 （填序号）．
17．（4分）如图，把直角三角形纸片沿着过点B的直线BE折叠，折痕交AC于点E，若直角顶点C恰好落在斜边AB的中点D上，则∠A＝ ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|﹣1|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）3．
19．（6分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠CAB＝70°，∠B＝40°，求∠CAE的度数．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分钟；
（4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ；
（5）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
22．（8分）如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
（1）转到数字1是 （从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）；
（2）转动转盘，转出的数字大于3的概率是 ；
（3）现有两张分别写有2和3的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是多少？
23．（8分）如图，DC∥BF，点E为AD中点，延长CE交BA于点F．
（1）求证：DC＝FA；
（2）若∠DCB＝110°，∠F＝55°，BE平分∠FBC，求∠BEF的度数．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为 ，宽为 ，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1： ；
方法2： ；
数学等式： ；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求ab+bc+ac的值．
25．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动．若P、Q两点分别从B、A两点同时出发，回答下列问题：
（1）经过2s后，此时PB＝ cm，CQ＝ cm；
（2）在（1）的条件下，证明：△BPD≌△CQP；
（3）当△CPQ的周长为18cm时，求经过多少秒后，△CPQ为等腰三角形？
2019-2020学年广东省佛山市高明区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3÷a＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（a2）4＝a6
【分析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故A错误；
B、a3÷a＝a2，故B错误；
C、a2•a3＝a5，故C正确；
D、（a2）3＝a8，故D错误．
故选：C．
2．（3分）“戴口罩、勤洗手”能有效预防新冠病毒，N95口罩对直径大于0.00 000 03米的颗粒，阻隔率达95%以上，数据0.00 000 03科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣6 B．0.3×10﹣7 C．3×10﹣7 D．3×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数据0.00 000 03科学记数法表示为3×10﹣7，
故选：C．
3．（3分）下面四个手机APP图标中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A、是轴对称图形，故选项正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：A．
4．（3分）如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系中一定成立的是（ ）
A．互为邻补角 B．互为补角 C．互为对顶角 D．互为余角
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解．
【解答】解：图中，∠2＝∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故选：D．
5．（3分）如图，已知点D是△ABC中AC边上的一点，线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．边的垂直平分线
【分析】三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
【解答】解：由题意知，当线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条中线．
故选：B．
6．（3分）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为﹣3℃
B．14时气温最高为8℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升
D．从14时至24时，气温随时间增长而下降
【分析】根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点﹣3，∴凌晨4时气温最低为﹣3℃，故本选项正确；
B、∵由图象可知，在14点函数图象在最高点8，∴14时气温最高为8℃，故本选项正确；
C、∵由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上升，不是从0点，故本选项错误；
D、∵由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确．
故选：C．
7．（3分）如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．100°
【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【解答】解：∵∠3＝∠5＝110°，
∵∠1＝∠2＝58°，
∴a∥b，
∴∠4+∠5＝180°，
∴∠4＝70°，
故选：A．
8．（3分）小明不慎将一个三角形玻璃摔碎成如图所示的四块，现要到玻璃店配一个与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应带去的一块是（ ）
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．367人中至少有2人生日相同
B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖
【分析】利用概率的意义和必然事件的概念的概念进行分析．
【解答】解：A、367人中至少有2人生日相同，正确；
B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，错误；
C、天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，错误；
D、某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，错误；
故选：A．
10．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据△ABD≌△ACD即可得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF即可得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴BD＝CD，故②正确，
∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，故③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF（ASA），
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确，
∵AE＝2BF，
∴AE＝2CE，
∴AC＝AE+CE＝3CE＝3BF，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题包括7小题，每小题4分，共28分．请把各题的答案填写在答题卡上）
11．（4分）化简：（x2）3÷x＝ x5 ．
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：：（x2）3÷x＝x6÷x＝x5，
故答案为：x5．
12．（4分）计算：（m﹣n）（m+n）＝ m2﹣n2 ．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．即可利用平方差公式相乘．
【解答】解：（m﹣n）（m+n）＝m2﹣n2．
故答案为：m2﹣n2．
13．（4分）某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n
10
100
200
500
1000
击中靶心次数m
9
86
168
426
849
击中靶心频率m/n
0.9
0.86
0.84
0.852
0.849
则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是 0.85 （精确到0.01）．
【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【解答】解：由击中靶心频率m/n分别为：0.9、0.86、0.84、0.852、0.849，可知频率都在0.85上下波动，
所以这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是0.85，
故答案为：0.85．
14．（4分）小明匀速骑自行车去上学，他2分钟可以骑300米，则他上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式为 y＝150x ．
【分析】求出小明骑车的速度，即可得到小明上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式．
【解答】解：小明2分钟骑行300米，因此小明骑车的速度为300÷2＝150米/分，
∴小明上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式为y＝150x，
故答案为：y＝150x．
15．（4分）如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝120m，则水池宽AB的长度是 120 m．
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠CAD＝∠CAB＝90°，
∵CA＝CA，∠ACD＝∠ACB，
∴△ACD≌△ACB（ASA），
∴AB＝AD＝120m，
故答案为120．
16．（4分）如图，在七巧板中，①∠GLC＝120°，②GL∥BC，③AK＝HK，④EF⊥DH．其中正确的是 ②③④ （填序号）．
【分析】根据七巧板的特征即可求解．
【解答】解：由七巧板的特征可知，①∠GLC＝180°﹣45°＝135°，②GL∥BC，③AK＝HK，④EF⊥DH．
故其中正确的是②③④（填序号）．
故答案为：②③④．
17．（4分）如图，把直角三角形纸片沿着过点B的直线BE折叠，折痕交AC于点E，若直角顶点C恰好落在斜边AB的中点D上，则∠A＝ 30° ．
【分析】由折叠的性质得∠EBD＝∠EBC，∠BDE＝∠C＝90°，由线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠EBD＝∠EBC，得出∠A+∠EBD+∠EBC＝90°，则∠A＝30°．
【解答】解：由折叠的性质得：∠EBD＝∠EBC，∠BDE＝∠C＝90°，
∴DE⊥AB，
∵D是斜边AB的中点，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠EBD＝∠EBC，
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
即∠A+∠EBD+∠EBC＝90°，
∴∠A＝30°；
故答案为：30°．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|﹣1|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）3．
【分析】利用绝对值、负整数指数幂、零次幂以及幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：|﹣1|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）3，
＝1+2﹣1+（﹣8），
＝﹣6．
19．（6分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．
【解答】解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣2xy﹣y2）÷2x
＝（4x2﹣6xy）÷2x
＝2x﹣3y．
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣3×（﹣1）＝7．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠CAB＝70°，∠B＝40°，求∠CAE的度数．
【分析】（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E即可；
（2）在（1）的条件下，连接AE，根据∠CAB＝70°，∠B＝40°，即可求∠CAE的度数．
【解答】解：（1）如图，AB的垂直平分线DE即为所求；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠B＝∠EAB＝40°，
∴∠CAE＝∠CAB﹣∠EAB＝70°﹣40°＝30°．
所以∠CAE的度数为30°．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 时间（或t） ，因变量是 飞行高度（或h） ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 5 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 25 米/分钟；
（4）图中a表示的数是 2 ；b表示的数是 15 ；
（5）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
【分析】（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可；
（2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间12﹣7＝5分钟即可；
（3）根据速度＝路程除以时间计算即可；
（4）根据速度的汽车时间即可；
（5）根据点的实际意义解答即可．
【解答】解：（1）横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或t），因变量是飞行高度（或h）；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是12﹣7＝5（分钟）；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度＝25（米/分）；
（4）图中a表示的数是＝2分钟；b表示的数是12+＝15（分钟）；
（5）75﹣2×25＝25（米），
答：第14分钟时无人机的飞行高度是25米．
故答案为：（1）时间（或t），飞行高度（或h）；
（2）5；
（3）25；
（4）2；15．
22．（8分）如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
（1）转到数字1是 不可能事件 （从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）；
（2）转动转盘，转出的数字大于3的概率是 ；
（3）现有两张分别写有2和3的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是多少？
【分析】（1）根据题意和转盘中的数字，可知转到数字1是不可能事件，从而可以解答本题；
（2）根据题意，可以得到转动转盘，转出的数字大于3的概率；
（3）根据题意，可以计算出这三条线段能构成三角形的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
转到数字1是不可能事件，
故答案为：不可能事件；
（2）转动转盘，转出的数字大于3的是4，5，6，7四种可能性，一共有六种可能性，
故转动转盘，转出的数字大于3的概率是，
故答案为：；
（3）由题意可得，
可以构成三角形的三条线段是：2、3、2或2、3、3或2、3、4三种可能性，出现的可能性一共6种，
故这三条线段能构成三角形的概率是，
即这三条线段能构成三角形的概率是．
23．（8分）如图，DC∥BF，点E为AD中点，延长CE交BA于点F．
（1）求证：DC＝FA；
（2）若∠DCB＝110°，∠F＝55°，BE平分∠FBC，求∠BEF的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠D＝∠EAF，求出DE＝AE，根据全等三角形的判定得出△DCE≌△AFE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠DCB+∠CBF＝180°，求出∠CBF＝70°，根据角平分线的定义求出∠EBF＝CBF＝35°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵DC∥BF，
∴∠D＝∠EAF，
∵点E为AD中点，
∴DE＝AE，
在△DCE和△AFE中
，
∴△DCE≌△AFE（ASA），
∴DC＝FA；
（2）解：∵DC∥BF，
∴∠DCB+∠CBF＝180°，
∵∠DCB＝110°，
∴∠CBF＝70°，
∵BE平分∠FBC，
∴∠EBF＝CBF＝35°，
∵∠F＝55°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠F＝180°﹣35°﹣55°＝90°．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为 （a+2b） ，宽为 （a+b） ，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1： （a+b+c）2 ；
方法2： a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
数学等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）根据图形直接得出长为（a+2b），宽为（a+b）；
（2）整体上是一个边长为（a+b+c）的正方形，各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；
（3）将（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，变形为（a+b+c）2﹣a2﹣b2﹣c2＝2ab+2bc+2ac，再整体代入求值即可．
【解答】解：（1）由图形直观得出，长为：（a+2b），宽为（a+b），
故答案为：（a+2b），（a+b）；
（2）从总体看是边长为（a+b+c）的正方形，其面积为（a+b+c）2，
各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
（3）由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得，2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2＝﹣（a2+b2+c2），
∵a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，
∴2ab+2bc+2ac＝64﹣26＝38，
∴ab+bc+ac＝19．
25．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动．若P、Q两点分别从B、A两点同时出发，回答下列问题：
（1）经过2s后，此时PB＝ 4 cm，CQ＝ 4 cm；
（2）在（1）的条件下，证明：△BPD≌△CQP；
（3）当△CPQ的周长为18cm时，求经过多少秒后，△CPQ为等腰三角形？
【分析】（1）由题意得出BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm，则CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm，求出CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm；
（2）由BD＝AB＝6cm，得出BP＝CQ，BD＝CP，证明△BPD≌△CQP（SAS），得出∠DPB＝∠PQC，由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，有BP＝2t，CP＝10﹣2t，CQ＝12﹣4t，由题意得出PQ＝18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）＝6t﹣4，要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论，①当CP＝CQ时，②当PQ＝PC时，③当QP＝QC时，分别得出方程，解方程，再进行判断即可．
【解答】（1）解：当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，
有BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm，则CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm，
∴CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm，
故答案为：4，4；
（2）证明：∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝6cm，
∴BP＝CQ，BD＝CP，
又∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（3）解：设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP＝2t，CP＝10﹣2t，CQ＝12﹣4t，
∴PQ＝18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）＝6t﹣4，
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP＝CQ时，则有10﹣2t＝12﹣4t，
解得：t＝1；
②当PQ＝PC时，则有6t﹣4＝10﹣2t
解得：t＝；
③当QP＝QC时，则有6t﹣4＝12﹣4t
解得：t＝；
综上所述，当t＝1s或s或s时，△CPQ是等腰三角形．
一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3÷a＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（a2）4＝a6
2．（3分）“戴口罩、勤洗手”能有效预防新冠病毒，N95口罩对直径大于0.00 000 03米的颗粒，阻隔率达95%以上，数据0.00 000 03科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣6 B．0.3×10﹣7 C．3×10﹣7 D．3×10﹣6
3．（3分）下面四个手机APP图标中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系中一定成立的是（ ）
A．互为邻补角 B．互为补角 C．互为对顶角 D．互为余角
5．（3分）如图，已知点D是△ABC中AC边上的一点，线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．边的垂直平分线
6．（3分）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为﹣3℃
B．14时气温最高为8℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升
D．从14时至24时，气温随时间增长而下降
7．（3分）如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．100°
8．（3分）小明不慎将一个三角形玻璃摔碎成如图所示的四块，现要到玻璃店配一个与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应带去的一块是（ ）
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．367人中至少有2人生日相同
B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖
10．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题包括7小题，每小题4分，共28分．请把各题的答案填写在答题卡上）
11．（4分）化简：（x2）3÷x＝ ．
12．（4分）计算：（m﹣n）（m+n）＝ ．
13．（4分）某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n
10
100
200
500
1000
击中靶心次数m
9
86
168
426
849
击中靶心频率m/n
0.9
0.86
0.84
0.852
0.849
则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是 （精确到0.01）．
14．（4分）小明匀速骑自行车去上学，他2分钟可以骑300米，则他上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式为 ．
15．（4分）如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝120m，则水池宽AB的长度是 m．
16．（4分）如图，在七巧板中，①∠GLC＝120°，②GL∥BC，③AK＝HK，④EF⊥DH．其中正确的是 （填序号）．
17．（4分）如图，把直角三角形纸片沿着过点B的直线BE折叠，折痕交AC于点E，若直角顶点C恰好落在斜边AB的中点D上，则∠A＝ ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|﹣1|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）3．
19．（6分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠CAB＝70°，∠B＝40°，求∠CAE的度数．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分钟；
（4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ；
（5）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
22．（8分）如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
（1）转到数字1是 （从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）；
（2）转动转盘，转出的数字大于3的概率是 ；
（3）现有两张分别写有2和3的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是多少？
23．（8分）如图，DC∥BF，点E为AD中点，延长CE交BA于点F．
（1）求证：DC＝FA；
（2）若∠DCB＝110°，∠F＝55°，BE平分∠FBC，求∠BEF的度数．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为 ，宽为 ，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1： ；
方法2： ；
数学等式： ；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求ab+bc+ac的值．
25．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动．若P、Q两点分别从B、A两点同时出发，回答下列问题：
（1）经过2s后，此时PB＝ cm，CQ＝ cm；
（2）在（1）的条件下，证明：△BPD≌△CQP；
（3）当△CPQ的周长为18cm时，求经过多少秒后，△CPQ为等腰三角形？
2019-2020学年广东省佛山市高明区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3÷a＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（a2）4＝a6
【分析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故A错误；
B、a3÷a＝a2，故B错误；
C、a2•a3＝a5，故C正确；
D、（a2）3＝a8，故D错误．
故选：C．
2．（3分）“戴口罩、勤洗手”能有效预防新冠病毒，N95口罩对直径大于0.00 000 03米的颗粒，阻隔率达95%以上，数据0.00 000 03科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣6 B．0.3×10﹣7 C．3×10﹣7 D．3×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：数据0.00 000 03科学记数法表示为3×10﹣7，
故选：C．
3．（3分）下面四个手机APP图标中，可看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A、是轴对称图形，故选项正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：A．
4．（3分）如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系中一定成立的是（ ）
A．互为邻补角 B．互为补角 C．互为对顶角 D．互为余角
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余，从而求解．
【解答】解：图中，∠2＝∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故选：D．
5．（3分）如图，已知点D是△ABC中AC边上的一点，线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条（ ）
A．角平分线 B．中线
C．高线 D．边的垂直平分线
【分析】三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
【解答】解：由题意知，当线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条中线．
故选：B．
6．（3分）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A．凌晨4时气温最低为﹣3℃
B．14时气温最高为8℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升
D．从14时至24时，气温随时间增长而下降
【分析】根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点﹣3，∴凌晨4时气温最低为﹣3℃，故本选项正确；
B、∵由图象可知，在14点函数图象在最高点8，∴14时气温最高为8℃，故本选项正确；
C、∵由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上升，不是从0点，故本选项错误；
D、∵由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确．
故选：C．
7．（3分）如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝（ ）
A．70° B．80° C．110° D．100°
【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【解答】解：∵∠3＝∠5＝110°，
∵∠1＝∠2＝58°，
∴a∥b，
∴∠4+∠5＝180°，
∴∠4＝70°，
故选：A．
8．（3分）小明不慎将一个三角形玻璃摔碎成如图所示的四块，现要到玻璃店配一个与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应带去的一块是（ ）
A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
9．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．367人中至少有2人生日相同
B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨
D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖
【分析】利用概率的意义和必然事件的概念的概念进行分析．
【解答】解：A、367人中至少有2人生日相同，正确；
B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，错误；
C、天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，错误；
D、某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，错误；
故选：A．
10．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据△ABD≌△ACD即可得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF即可得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴BD＝CD，故②正确，
∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，故③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF（ASA），
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确，
∵AE＝2BF，
∴AE＝2CE，
∴AC＝AE+CE＝3CE＝3BF，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题包括7小题，每小题4分，共28分．请把各题的答案填写在答题卡上）
11．（4分）化简：（x2）3÷x＝ x5 ．
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：：（x2）3÷x＝x6÷x＝x5，
故答案为：x5．
12．（4分）计算：（m﹣n）（m+n）＝ m2﹣n2 ．
【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．即可利用平方差公式相乘．
【解答】解：（m﹣n）（m+n）＝m2﹣n2．
故答案为：m2﹣n2．
13．（4分）某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：
射击总次数n
10
100
200
500
1000
击中靶心次数m
9
86
168
426
849
击中靶心频率m/n
0.9
0.86
0.84
0.852
0.849
则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是 0.85 （精确到0.01）．
【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【解答】解：由击中靶心频率m/n分别为：0.9、0.86、0.84、0.852、0.849，可知频率都在0.85上下波动，
所以这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是0.85，
故答案为：0.85．
14．（4分）小明匀速骑自行车去上学，他2分钟可以骑300米，则他上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式为 y＝150x ．
【分析】求出小明骑车的速度，即可得到小明上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式．
【解答】解：小明2分钟骑行300米，因此小明骑车的速度为300÷2＝150米/分，
∴小明上学所骑行的路程y（米）与所用时间x（分钟）之间的关系式为y＝150x，
故答案为：y＝150x．
15．（4分）如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD＝∠ACB，这时量得AD＝120m，则水池宽AB的长度是 120 m．
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠CAD＝∠CAB＝90°，
∵CA＝CA，∠ACD＝∠ACB，
∴△ACD≌△ACB（ASA），
∴AB＝AD＝120m，
故答案为120．
16．（4分）如图，在七巧板中，①∠GLC＝120°，②GL∥BC，③AK＝HK，④EF⊥DH．其中正确的是 ②③④ （填序号）．
【分析】根据七巧板的特征即可求解．
【解答】解：由七巧板的特征可知，①∠GLC＝180°﹣45°＝135°，②GL∥BC，③AK＝HK，④EF⊥DH．
故其中正确的是②③④（填序号）．
故答案为：②③④．
17．（4分）如图，把直角三角形纸片沿着过点B的直线BE折叠，折痕交AC于点E，若直角顶点C恰好落在斜边AB的中点D上，则∠A＝ 30° ．
【分析】由折叠的性质得∠EBD＝∠EBC，∠BDE＝∠C＝90°，由线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠EBD＝∠EBC，得出∠A+∠EBD+∠EBC＝90°，则∠A＝30°．
【解答】解：由折叠的性质得：∠EBD＝∠EBC，∠BDE＝∠C＝90°，
∴DE⊥AB，
∵D是斜边AB的中点，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠EBD＝∠EBC，
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
即∠A+∠EBD+∠EBC＝90°，
∴∠A＝30°；
故答案为：30°．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|﹣1|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）3．
【分析】利用绝对值、负整数指数幂、零次幂以及幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：|﹣1|+（）﹣1﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）3，
＝1+2﹣1+（﹣8），
＝﹣6．
19．（6分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．
【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．
【解答】解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣2xy﹣y2）÷2x
＝（4x2﹣6xy）÷2x
＝2x﹣3y．
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣3×（﹣1）＝7．
20．（6分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠CAB＝70°，∠B＝40°，求∠CAE的度数．
【分析】（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E即可；
（2）在（1）的条件下，连接AE，根据∠CAB＝70°，∠B＝40°，即可求∠CAE的度数．
【解答】解：（1）如图，AB的垂直平分线DE即为所求；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠B＝∠EAB＝40°，
∴∠CAE＝∠CAB﹣∠EAB＝70°﹣40°＝30°．
所以∠CAE的度数为30°．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）在某次大型的活动中，用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同．设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 时间（或t） ，因变量是 飞行高度（或h） ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 5 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 25 米/分钟；
（4）图中a表示的数是 2 ；b表示的数是 15 ；
（5）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
【分析】（1）根据图象信息得出自变量和因变量即可；
（2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间12﹣7＝5分钟即可；
（3）根据速度＝路程除以时间计算即可；
（4）根据速度的汽车时间即可；
（5）根据点的实际意义解答即可．
【解答】解：（1）横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或t），因变量是飞行高度（或h）；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是12﹣7＝5（分钟）；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度＝25（米/分）；
（4）图中a表示的数是＝2分钟；b表示的数是12+＝15（分钟）；
（5）75﹣2×25＝25（米），
答：第14分钟时无人机的飞行高度是25米．
故答案为：（1）时间（或t），飞行高度（或h）；
（2）5；
（3）25；
（4）2；15．
22．（8分）如图，现有一个圆形转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求：
（1）转到数字1是 不可能事件 （从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）；
（2）转动转盘，转出的数字大于3的概率是 ；
（3）现有两张分别写有2和3的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．这三条线段能构成三角形的概率是多少？
【分析】（1）根据题意和转盘中的数字，可知转到数字1是不可能事件，从而可以解答本题；
（2）根据题意，可以得到转动转盘，转出的数字大于3的概率；
（3）根据题意，可以计算出这三条线段能构成三角形的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
转到数字1是不可能事件，
故答案为：不可能事件；
（2）转动转盘，转出的数字大于3的是4，5，6，7四种可能性，一共有六种可能性，
故转动转盘，转出的数字大于3的概率是，
故答案为：；
（3）由题意可得，
可以构成三角形的三条线段是：2、3、2或2、3、3或2、3、4三种可能性，出现的可能性一共6种，
故这三条线段能构成三角形的概率是，
即这三条线段能构成三角形的概率是．
23．（8分）如图，DC∥BF，点E为AD中点，延长CE交BA于点F．
（1）求证：DC＝FA；
（2）若∠DCB＝110°，∠F＝55°，BE平分∠FBC，求∠BEF的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠D＝∠EAF，求出DE＝AE，根据全等三角形的判定得出△DCE≌△AFE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠DCB+∠CBF＝180°，求出∠CBF＝70°，根据角平分线的定义求出∠EBF＝CBF＝35°，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵DC∥BF，
∴∠D＝∠EAF，
∵点E为AD中点，
∴DE＝AE，
在△DCE和△AFE中
，
∴△DCE≌△AFE（ASA），
∴DC＝FA；
（2）解：∵DC∥BF，
∴∠DCB+∠CBF＝180°，
∵∠DCB＝110°，
∴∠CBF＝70°，
∵BE平分∠FBC，
∴∠EBF＝CBF＝35°，
∵∠F＝55°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EBF﹣∠F＝180°﹣35°﹣55°＝90°．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为 （a+2b） ，宽为 （a+b） ，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1： （a+b+c）2 ；
方法2： a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
数学等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）根据图形直接得出长为（a+2b），宽为（a+b）；
（2）整体上是一个边长为（a+b+c）的正方形，各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；
（3）将（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，变形为（a+b+c）2﹣a2﹣b2﹣c2＝2ab+2bc+2ac，再整体代入求值即可．
【解答】解：（1）由图形直观得出，长为：（a+2b），宽为（a+b），
故答案为：（a+2b），（a+b）；
（2）从总体看是边长为（a+b+c）的正方形，其面积为（a+b+c）2，
各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
因此有：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2，a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
（3）由（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac得，2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2＝﹣（a2+b2+c2），
∵a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，
∴2ab+2bc+2ac＝64﹣26＝38，
∴ab+bc+ac＝19．
25．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动．若P、Q两点分别从B、A两点同时出发，回答下列问题：
（1）经过2s后，此时PB＝ 4 cm，CQ＝ 4 cm；
（2）在（1）的条件下，证明：△BPD≌△CQP；
（3）当△CPQ的周长为18cm时，求经过多少秒后，△CPQ为等腰三角形？
【分析】（1）由题意得出BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm，则CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm，求出CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm；
（2）由BD＝AB＝6cm，得出BP＝CQ，BD＝CP，证明△BPD≌△CQP（SAS），得出∠DPB＝∠PQC，由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）设当P，Q两点同时出发运动t秒时，有BP＝2t，CP＝10﹣2t，CQ＝12﹣4t，由题意得出PQ＝18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）＝6t﹣4，要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论，①当CP＝CQ时，②当PQ＝PC时，③当QP＝QC时，分别得出方程，解方程，再进行判断即可．
【解答】（1）解：当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，
有BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm，则CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm，
∴CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm，
故答案为：4，4；
（2）证明：∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝6cm，
∴BP＝CQ，BD＝CP，
又∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（3）解：设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP＝2t，CP＝10﹣2t，CQ＝12﹣4t，
∴PQ＝18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）＝6t﹣4，
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP＝CQ时，则有10﹣2t＝12﹣4t，
解得：t＝1；
②当PQ＝PC时，则有6t﹣4＝10﹣2t
解得：t＝；
③当QP＝QC时，则有6t﹣4＝12﹣4t
解得：t＝；
综上所述，当t＝1s或s或s时，△CPQ是等腰三角形．
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