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2019-2020学年湖南省邵阳市邵东县七年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年湖南省邵阳市邵东县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）请将正确答案的代号填写在答题卡上．
1．（3分）如下字体的四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．中 B．国 C．加 D．油
2．（3分）如图，已知∠1＝65°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A．65° B．105° C．115° D．125°
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a3•a5＝a15 D．（ab2）2＝a2b4
4．（3分）下列各式中，不能够用平方差公式计算的是（ ）
A．（ y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y）
C．（2x2﹣y2 ）（2x2+y2 ） D．（4a+b﹣c）（4a﹣b﹣c）
5．（3分）若a﹣b＝1，a2+b2＝13，则ab等于（ ）
A．6 B．7 C．﹣6 D．﹣7
6．（3分）《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列各式从左到右因式分解正确的是（ ）
A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
8．（3分）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝∠5．其中不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．（3分）已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
10．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5
则他们捐款金额的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．27.6，10，20 B．27.6，20，10 C．37，10，10 D．37，20，10
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．
12．（3分）方程组解是 ．
13．（3分）因式分解：2y2﹣18＝ ．
14．（3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝ ．
15．（3分）若am＝3，an＝5，则a2m+n＝ ．
16．（3分）利用乘法公式计算：982＝ ．
17．（3分）如图所示，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是 ．
18．（3分）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠BGD'为x度，则∠1的度数应为 度（用含x的代数式表示）．
三、解答题（共6分）
19．（8分）（1）解方程组：；
（2）计算：（x+1）（2x﹣3）．
20．（8分）把下列多项式因式分解：
（1）x（y﹣3）﹣（2y﹣6）；
（2）﹣4ax2+12ax﹣9a．
21．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y），其中x＝﹣2，y＝1．
22．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．
（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；
（2）请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△BO2A2．
23．（8分）如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
24．（8分）从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？
25．（10分）我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
（1）求出表格中a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是：s＝[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160；
请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
26．（10分）【问题情境】：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
【问题迁移】：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
【问题应用】：
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
2019-2020学年湖南省邵阳市邵东县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）请将正确答案的代号填写在答题卡上．
1．（3分）如下字体的四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．中 B．国 C．加 D．油
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、“中”可以看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、“国”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“加”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“油”不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）如图，已知∠1＝65°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A．65° B．105° C．115° D．125°
【分析】先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．
【解答】解：如图，∵∠1＝70°，
∴∠2＝∠1＝70°，
∵CD∥BE，
∴∠B＝180°﹣∠2＝180°﹣65°＝115°．
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a3•a5＝a15 D．（ab2）2＝a2b4
【分析】直接利用完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则和积的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断求出答案．
【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
C、a3•a5＝a8，故此选项错误；
D、（ab2）2＝a2b4，故此选项正确．
故选：D．
4．（3分）下列各式中，不能够用平方差公式计算的是（ ）
A．（ y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y）
C．（2x2﹣y2 ）（2x2+y2 ） D．（4a+b﹣c）（4a﹣b﹣c）
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解答】解：B、两项都是相反项的项，不能运用平方差公式；
A、C、D中均存在相同和相反的项，
故选：B．
5．（3分）若a﹣b＝1，a2+b2＝13，则ab等于（ ）
A．6 B．7 C．﹣6 D．﹣7
【分析】将a﹣b＝1两边平方，利用完全平方公式化简，将第一个等式代入计算即可求出ab的值．
【解答】解：将a﹣b＝1两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，
把a2+b2＝13代入得：13﹣2ab＝1，
解得：ab＝6．
故选：A．
6．（3分）《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设共有x个人，这个物品价格是y元，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x个人，这个物品价格是y元，则．
故选：A．
7．（3分）下列各式从左到右因式分解正确的是（ ）
A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、2x﹣6y+2＝2（x﹣3y+1），故原式分解因式错误，不合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故原式分解因式错误，不合题意；
C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故原式分解因式错误，不合题意；
D、x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），正确．
故选：D．
8．（3分）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝∠5．其中不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD；
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．
故选：B．
9．（3分）已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：将代入，
可得：，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
10．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5
则他们捐款金额的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．27.6，10，20 B．27.6，20，10 C．37，10，10 D．37，20，10
【分析】根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据中位数的定义直接求出这组数据的中位数即可．
【解答】解：这组数的平均数是×（5×6+10×17+20×14+50×8+100×5）＝27.6；
把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数＝20，
这组数据中，10 出现次数17次，故众数为10．
故选：B．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行．
【解答】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故答案为同位角相等，两直线平行．
12．（3分）方程组解是 ．
【分析】利用加减消元法求解可得．
【解答】解：，
①﹣②，得：4y＝﹣12，
解得y＝﹣3，
将y＝﹣3代入①，得：x﹣3＝5，
解得x＝8，
所以方程组的解为，
故答案为：．
13．（3分）因式分解：2y2﹣18＝ 2（y+3）（y﹣3） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（y2﹣9）＝2（y+3）（y﹣3），
故答案为：2（y+3）（y﹣3）
14．（3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝ 53° ．
【分析】由平行线的性质求出∠2＝∠3＝37°，根据平角的定义，垂直的定义，角的和差求得∠1＝53°．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
又∵∠2＝37°，
∴∠3＝37°，
又∵∠1+∠3+∠4＝180°，∠4＝90°，
∴∠1＝53°，
故答案为53°．
15．（3分）若am＝3，an＝5，则a2m+n＝ 45 ．
【分析】把a2m+n化为（am）2•an，再利用am＝3，an＝5计算求解．
【解答】解：∵am＝3，an＝5，
∴a2m+n＝（am）2•an＝9×5＝45，
故答案为：45．
16．（3分）利用乘法公式计算：982＝ 9604 ．
【分析】把98写成（100﹣2），再利用完全平方公式计算即可
【解答】解：982
＝（100﹣2）2
＝1002﹣2×100×2+22
＝10000﹣400+4
＝9604．
故答案为：9604．
17．（3分）如图所示，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是 20° ．
【分析】由旋转的性质可得∠AOC＝∠BOD＝35°，即可求解．
【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，
∴∠AOC＝∠BOD＝35°，且∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝20°，
故答案为20°
18．（3分）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠BGD'为x度，则∠1的度数应为 度（用含x的代数式表示）．
【分析】此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1，∠AED′＝∠BGD'＝x度，
再根据对折，得：∠GEF＝∠DEF，
再根据平角的定义，得：∠DEF＝（180°﹣x°）÷2＝度．
∴∠1＝度．
故答案为：．
三、解答题（共6分）
19．（8分）（1）解方程组：；
（2）计算：（x+1）（2x﹣3）．
【分析】（1）首先①×2得：4x﹣2y＝2③，再利用②+③可消去y求出x的值，然后再代入①可得y的值，进而可得方程组的解；
（2）利用多项式乘以多项式计算法则进行计算即可．
【解答】解：（1），
①×2得：4x﹣2y＝2③，
②+③得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
∴方程组的解为；
（2）原式＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3．
20．（8分）把下列多项式因式分解：
（1）x（y﹣3）﹣（2y﹣6）；
（2）﹣4ax2+12ax﹣9a．
【分析】（1）原式整理后，提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝x（y﹣3）﹣2（y﹣3）
＝（y﹣3）（x﹣2）；
（2）原式＝﹣a（4x2﹣12x+9）
＝﹣a（2x﹣3）2．
21．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y），其中x＝﹣2，y＝1．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣2y）（x﹣2y+x+2y）
＝2x（x﹣2y）
＝2x2﹣4xy，
当x＝﹣2，y＝1时，
原式＝2×4﹣4×（﹣2）×1
＝8+8
＝16．
22．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．
（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；
（2）请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△BO2A2．
【分析】（1）△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1在CD的右侧，对应点到CD的距离相等；
（2）将△OAB的三个顶点分别绕点B顺时针旋转90°，再顺次连接所得的三个顶点可得旋转后的△BO2A2．
【解答】解：（1）如图所示，△O1A1B1即为所求；
（2）如图所示，△BO2A2即为所求．
23．（8分）如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
【分析】（1）由直线a∥b，根据平行线的性质得出∠3＝∠1＝60°，再由AC⊥AB，根据垂直的定义即可得到∠2＝90°﹣∠3＝30°；
（2）过A作AD⊥BC于D，依据S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AD，即可求出AD．
【解答】解：（1）∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
又∵AC⊥AB，
∴∠2＝90°﹣∠3＝30°；
（2）如图，过A作AD⊥BC于D，则AD的长即为直线a与b的距离．
∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AD，
∴AD＝＝＝，
∴直线a与b的距离为．
24．（8分）从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？
【分析】首先设A、B两地间国道和高速公路分别是x、y千米，根据题意可得等量关系：国道路程+高速路程＝290，在国道上行驶的时间+在高速公路上行驶的时间＝3.5，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【解答】解：设A、B两地间国道和高速公路分别是x、y千米，依题意得：
，
解得，
答：A、B两地间国道和高速公路分别是90、200千米．
25．（10分）我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
（1）求出表格中a＝ 85 ；b＝ 80 ；c＝ 85 ．
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是：s＝[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160；
请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解；
（2）利用中位数的意义进行判断；
（3）先利用方差公式计算出初中代表队决赛成绩的方差，然后比较两队的方差，根据方差的意义进行判断．
【解答】解：（1）a＝（75+80+85+85+100）＝85；
b＝80，c＝85；
故答案为85；80；85；
（2）两队成绩的平均数相同，但初中代表队的成绩的中位数大，所以初中代表队的决赛成绩较好；
（3）S2初中＝[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70；
因为S2初中＝＜S2高中，
所以初中代表队选手成绩较为稳定．
26．（10分）【问题情境】：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
【问题迁移】：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
【问题应用】：
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°再代入∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝∠α﹣∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝∠β﹣∠α．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）请将正确答案的代号填写在答题卡上．
1．（3分）如下字体的四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．中 B．国 C．加 D．油
2．（3分）如图，已知∠1＝65°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A．65° B．105° C．115° D．125°
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a3•a5＝a15 D．（ab2）2＝a2b4
4．（3分）下列各式中，不能够用平方差公式计算的是（ ）
A．（ y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y）
C．（2x2﹣y2 ）（2x2+y2 ） D．（4a+b﹣c）（4a﹣b﹣c）
5．（3分）若a﹣b＝1，a2+b2＝13，则ab等于（ ）
A．6 B．7 C．﹣6 D．﹣7
6．（3分）《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列各式从左到右因式分解正确的是（ ）
A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
8．（3分）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝∠5．其中不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．（3分）已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
10．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5
则他们捐款金额的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．27.6，10，20 B．27.6，20，10 C．37，10，10 D．37，20，10
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．
12．（3分）方程组解是 ．
13．（3分）因式分解：2y2﹣18＝ ．
14．（3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝ ．
15．（3分）若am＝3，an＝5，则a2m+n＝ ．
16．（3分）利用乘法公式计算：982＝ ．
17．（3分）如图所示，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是 ．
18．（3分）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠BGD'为x度，则∠1的度数应为 度（用含x的代数式表示）．
三、解答题（共6分）
19．（8分）（1）解方程组：；
（2）计算：（x+1）（2x﹣3）．
20．（8分）把下列多项式因式分解：
（1）x（y﹣3）﹣（2y﹣6）；
（2）﹣4ax2+12ax﹣9a．
21．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y），其中x＝﹣2，y＝1．
22．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．
（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；
（2）请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△BO2A2．
23．（8分）如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
24．（8分）从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？
25．（10分）我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
（1）求出表格中a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是：s＝[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160；
请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
26．（10分）【问题情境】：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
【问题迁移】：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
【问题应用】：
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
2019-2020学年湖南省邵阳市邵东县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）请将正确答案的代号填写在答题卡上．
1．（3分）如下字体的四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．中 B．国 C．加 D．油
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、“中”可以看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、“国”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“加”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“油”不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）如图，已知∠1＝65°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A．65° B．105° C．115° D．125°
【分析】先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出．
【解答】解：如图，∵∠1＝70°，
∴∠2＝∠1＝70°，
∵CD∥BE，
∴∠B＝180°﹣∠2＝180°﹣65°＝115°．
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a3•a5＝a15 D．（ab2）2＝a2b4
【分析】直接利用完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则和积的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断求出答案．
【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
C、a3•a5＝a8，故此选项错误；
D、（ab2）2＝a2b4，故此选项正确．
故选：D．
4．（3分）下列各式中，不能够用平方差公式计算的是（ ）
A．（ y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y）
C．（2x2﹣y2 ）（2x2+y2 ） D．（4a+b﹣c）（4a﹣b﹣c）
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解答】解：B、两项都是相反项的项，不能运用平方差公式；
A、C、D中均存在相同和相反的项，
故选：B．
5．（3分）若a﹣b＝1，a2+b2＝13，则ab等于（ ）
A．6 B．7 C．﹣6 D．﹣7
【分析】将a﹣b＝1两边平方，利用完全平方公式化简，将第一个等式代入计算即可求出ab的值．
【解答】解：将a﹣b＝1两边平方得：（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，
把a2+b2＝13代入得：13﹣2ab＝1，
解得：ab＝6．
故选：A．
6．（3分）《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现在一些人共同买一个物品，每人出8元，还余3元；每人出7元，还差4元．问共有多少人？这个物品价格是多少元？设共有x个人，这个物品价格是y元．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设共有x个人，这个物品价格是y元，根据物品的价格不变列出方程．
【解答】解：设共有x个人，这个物品价格是y元，则．
故选：A．
7．（3分）下列各式从左到右因式分解正确的是（ ）
A．2x﹣6y+2＝2（x﹣3y） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：A、2x﹣6y+2＝2（x﹣3y+1），故原式分解因式错误，不合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故原式分解因式错误，不合题意；
C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故原式分解因式错误，不合题意；
D、x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），正确．
故选：D．
8．（3分）如图，有以下四个条件：①∠B+∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝∠5．其中不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD；
∴能得到AB∥CD的条件是①③④．
故选：B．
9．（3分）已知是方程组的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：将代入，
可得：，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
10．（3分）疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5
则他们捐款金额的平均数、中位数、众数分别是（ ）
A．27.6，10，20 B．27.6，20，10 C．37，10，10 D．37，20，10
【分析】根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据中位数的定义直接求出这组数据的中位数即可．
【解答】解：这组数的平均数是×（5×6+10×17+20×14+50×8+100×5）＝27.6；
把这些数从小到大排列，最中间两个数的平均数＝20，
这组数据中，10 出现次数17次，故众数为10．
故选：B．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行．
【解答】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故答案为同位角相等，两直线平行．
12．（3分）方程组解是 ．
【分析】利用加减消元法求解可得．
【解答】解：，
①﹣②，得：4y＝﹣12，
解得y＝﹣3，
将y＝﹣3代入①，得：x﹣3＝5，
解得x＝8，
所以方程组的解为，
故答案为：．
13．（3分）因式分解：2y2﹣18＝ 2（y+3）（y﹣3） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（y2﹣9）＝2（y+3）（y﹣3），
故答案为：2（y+3）（y﹣3）
14．（3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1＝ 53° ．
【分析】由平行线的性质求出∠2＝∠3＝37°，根据平角的定义，垂直的定义，角的和差求得∠1＝53°．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
又∵∠2＝37°，
∴∠3＝37°，
又∵∠1+∠3+∠4＝180°，∠4＝90°，
∴∠1＝53°，
故答案为53°．
15．（3分）若am＝3，an＝5，则a2m+n＝ 45 ．
【分析】把a2m+n化为（am）2•an，再利用am＝3，an＝5计算求解．
【解答】解：∵am＝3，an＝5，
∴a2m+n＝（am）2•an＝9×5＝45，
故答案为：45．
16．（3分）利用乘法公式计算：982＝ 9604 ．
【分析】把98写成（100﹣2），再利用完全平方公式计算即可
【解答】解：982
＝（100﹣2）2
＝1002﹣2×100×2+22
＝10000﹣400+4
＝9604．
故答案为：9604．
17．（3分）如图所示，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是 20° ．
【分析】由旋转的性质可得∠AOC＝∠BOD＝35°，即可求解．
【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，
∴∠AOC＝∠BOD＝35°，且∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝20°，
故答案为20°
18．（3分）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠BGD'为x度，则∠1的度数应为 度（用含x的代数式表示）．
【分析】此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1，∠AED′＝∠BGD'＝x度，
再根据对折，得：∠GEF＝∠DEF，
再根据平角的定义，得：∠DEF＝（180°﹣x°）÷2＝度．
∴∠1＝度．
故答案为：．
三、解答题（共6分）
19．（8分）（1）解方程组：；
（2）计算：（x+1）（2x﹣3）．
【分析】（1）首先①×2得：4x﹣2y＝2③，再利用②+③可消去y求出x的值，然后再代入①可得y的值，进而可得方程组的解；
（2）利用多项式乘以多项式计算法则进行计算即可．
【解答】解：（1），
①×2得：4x﹣2y＝2③，
②+③得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
∴方程组的解为；
（2）原式＝2x2﹣3x+2x﹣3＝2x2﹣x﹣3．
20．（8分）把下列多项式因式分解：
（1）x（y﹣3）﹣（2y﹣6）；
（2）﹣4ax2+12ax﹣9a．
【分析】（1）原式整理后，提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝x（y﹣3）﹣2（y﹣3）
＝（y﹣3）（x﹣2）；
（2）原式＝﹣a（4x2﹣12x+9）
＝﹣a（2x﹣3）2．
21．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y），其中x＝﹣2，y＝1．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣2y）（x﹣2y+x+2y）
＝2x（x﹣2y）
＝2x2﹣4xy，
当x＝﹣2，y＝1时，
原式＝2×4﹣4×（﹣2）×1
＝8+8
＝16．
22．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB的顶点都在格点上．
（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；
（2）请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△BO2A2．
【分析】（1）△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1在CD的右侧，对应点到CD的距离相等；
（2）将△OAB的三个顶点分别绕点B顺时针旋转90°，再顺次连接所得的三个顶点可得旋转后的△BO2A2．
【解答】解：（1）如图所示，△O1A1B1即为所求；
（2）如图所示，△BO2A2即为所求．
23．（8分）如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
【分析】（1）由直线a∥b，根据平行线的性质得出∠3＝∠1＝60°，再由AC⊥AB，根据垂直的定义即可得到∠2＝90°﹣∠3＝30°；
（2）过A作AD⊥BC于D，依据S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AD，即可求出AD．
【解答】解：（1）∵直线a∥b，
∴∠3＝∠1＝60°，
又∵AC⊥AB，
∴∠2＝90°﹣∠3＝30°；
（2）如图，过A作AD⊥BC于D，则AD的长即为直线a与b的距离．
∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AD，
∴AD＝＝＝，
∴直线a与b的距离为．
24．（8分）从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？
【分析】首先设A、B两地间国道和高速公路分别是x、y千米，根据题意可得等量关系：国道路程+高速路程＝290，在国道上行驶的时间+在高速公路上行驶的时间＝3.5，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【解答】解：设A、B两地间国道和高速公路分别是x、y千米，依题意得：
，
解得，
答：A、B两地间国道和高速公路分别是90、200千米．
25．（10分）我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，高、初中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
初中部
a
85
c
高中部
85
b
100
（1）求出表格中a＝ 85 ；b＝ 80 ；c＝ 85 ．
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
（3）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是：s＝[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160；
请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义求解；
（2）利用中位数的意义进行判断；
（3）先利用方差公式计算出初中代表队决赛成绩的方差，然后比较两队的方差，根据方差的意义进行判断．
【解答】解：（1）a＝（75+80+85+85+100）＝85；
b＝80，c＝85；
故答案为85；80；85；
（2）两队成绩的平均数相同，但初中代表队的成绩的中位数大，所以初中代表队的决赛成绩较好；
（3）S2初中＝[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70；
因为S2初中＝＜S2高中，
所以初中代表队选手成绩较为稳定．
26．（10分）【问题情境】：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
【问题迁移】：
如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
【问题应用】：
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°再代入∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝∠α﹣∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝∠β﹣∠α．
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