人教版24.2.1 点和圆的位置关系第1课时教案设计

这是一份人教版24.2.1 点和圆的位置关系第1课时教案设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资源，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系


24.2.1点和圆的位置关系（第1课时）


一、教学目标


1．理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系．


2．了解三角形的外接圆、三角形外心的概念．


二、教学重点及难点


重点：


1．理解点与圆的三种位置关系；


2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．


3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．


难点：不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．


三、教学用具


多媒体课件，三角板、直尺、圆规．


四、相关资源


五、教学过程


【创设情境，导入新课】





我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？





师生活动：教师边出示情景图边提出问题，学生观察、思考．教师提示学生要解决这个问题就要研究点和圆的位置关系．


设计意图：通过直观画面的展示，引导学生由打靶的着弹点感知点与圆的三种位置关系及用圆心到点的距离与圆半径的数量关系来判别点与圆的位置关系，很自然地导入新课，使学生从生活走进数学，从而激发学习兴趣．


【探讨交流，形成新知】


1．问题探究


问题1 观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？


师生活动：一名学生回答，全班订正．


点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．


问题2 设⊙O的半径为r，你能说说点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系吗？


师生活动：一名学生回答，教师根据学生的回答，在黑板上板演，


点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系：OA＜r，OB=r，OC＞r．


问题3 反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？


师生活动：四人一小组，分组讨论，小组代表汇报讨论结果．教师巡查，关注学生是否真正讨论，结论是否正确．





归纳：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：


点P在圆内d＜r；


点P在圆上d=r；


点P在圆外d＞r．


设计意图：通过三个问题的提问，归纳出点与圆的三种关系，培养了学生的学习兴趣，激发了学生的学习热情．


2．合作交流 解读探究


问题 你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？





射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示．弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好．


设计意图：呼应创设情境，应用新知解决日常生活中出现的现象，让学生体会数学源于生活，服务于生活．打破了他们一直认为数学是一门枯燥无味的学科这一观念．增加了他们学习数学的兴趣．


3．深入探究


问题1 如图，作经过已知点A的圆，这样的圆你能作出多少个？


师生活动：让学生明白作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小，教师引导学生得到经过一个点A作圆，只要以点A以外任意一点为圆心，以这个点与点A的距离为半径就可以作无数个圆．


问题2 如图，作经过已知点A，B的圆，这样的圆你能作出多少个？它们的圆心分布有什么特点？











师生活动：学生尝试动手在练习本上作图，探究经过已知点A、B的圆可以作多少个，教师引导学生回顾线段AB的垂直平分线的概念．


问题3 经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？


师生活动：小组合作交流，鼓励学生猜想，并小结．然后教师板演．





分析：如图，三点A、B、C不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A、B、C三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上．


（1）分别连接AB、BC、AC；


（2）分别作出线段AB、BC的垂直平分线l1和l2，设它们的交点为O，则OA=OB=OC；


（3）以点O为圆心，OA（或OB、OC）为半径作圆，便可以作出经过点A、B、C的圆．





【数学探究】经过不在同一条直线上的三点作圆,描述不共线三点画圆.





由于过A、B、C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只能有一个，即：


结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆．


经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，


外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．


设计意图：初始探究的三个问题逐步解决过一点的圆，过两点的圆，为学生解决过三点的圆降低了难度，增强了学习数学的信心和学好数学的信心，激发了学生的学习热情，从而概括出一个重要的结论和作圆的方法，很自然地介绍了几个相关概念．


【例题分析，深化提升】


例1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5 cm，BC=4 cm，以A为圆心，以3 cm为半径画圆，请判断：


（1）点C与⊙A的位置关系；


（2）点B与⊙A的位置关系；


（3）AB的中点D与⊙A的位置关系．





教师引导：这道题是考查点与圆的位置关系，根据我们所学判断点与圆的位置关系的条件来解答．


解：由勾股定理，得．


代入数据，得AC=．


当以点A为圆心，3 cm为半径作圆，有r=AC，故点C在⊙A上．


而AB=5 cm＞r=3 cm，故点B在⊙A外．


∵点D是AB的中点，AB=5 cm，


∴AD=2.5 cm＜r=3 cm，


∴AB的中点D在⊙A内．


设计意图：考查了点与圆的三种位置关系．


例2 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．





分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线相交而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．


作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段；


（2）作两线段的中垂线，相交于一点O．


则O就为所求的圆心．


设计意图：即时反馈有助于记忆，让学生在例题中加深对本节知识的理解．教师通过学生解答，及时发现问题，评价教学效果．


【练习巩固，综合应用】


1．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在( )．


A．甲圆内 B．乙圆外 C．甲圆外，乙圆内 D．甲圆内，乙圆外


2．已知AB为⊙O的直径，P为⊙O上任意一点，则点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为( )．


A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定


3．已知a，b，c是△ABC的三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是( )．


A．a=15，b=12，c=1 B．a=5，b=12，c=12


C．a=5，b=12，c=13 D．a=5，b=12，c=14


4．如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为6，那么


①点P在⊙O外，则r ；②点P在 ，则r=6；③点P在 ，


则r＞6．


5．已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离，判断点P与圆的位置关系，并说明理由．


（1）4 cm； （2）5 cm； （3）6 cm．


6．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．


（1）请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．


（2）若在△ABC中，AB=8 m，AC=6 m，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面积．


设计意图：考查了点与圆的三种位置关系以及过不在同一条直线上的三个点作圆的应用和理解．


参考答案：


1．C 2．C 3．C 4．①＜6 ②⊙O上 ③⊙O内


5．（1）当d=4 cm时，∵d＜r，∴点P在圆内；


（2）当d=5 cm时，∵d=r，∴点P在圆上；


（3）当d=6 cm时，∵d＞r，∴点P在圆外．


6．（1）如图所示，⊙O即为所求作的花坛的位置．


（2）∵∠BAC=90°，AB=8 m，AC=6 m，


∴BC=10 m．


∴△ABC外接圆的半径为5 m，


∴小明家圆形花坛的面积为25π ．


六、课堂小结


师生活动：学生小组内进行交流，谈一谈本节课的收获．教师提示学生从四方面入手：1．学到了哪些知识；2．掌握了哪些数学方法；3．体会到了哪些数学思想；4．还有哪些发现与猜想？


1．点和圆的三种位置关系及数量间的关系


设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：


点P在圆内d＜r；


点P在圆上d=r；


点P在圆外d＞r．


2．不在同一条直线上的三点确定一个圆．


3.三角形的外接圆


经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，


4．三角形外心


外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．


设计意图：让学生总结出自己的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯，同时也提出自己的疑问和困惑便于教师及时反馈．


七、板书设计


24.2 点和圆、直线和圆的位置关系


——24.2.1点和圆的位置关系（1）


1．点和圆的三种位置关系及数量间的关系．


2．不在同一条直线上的三点确定一个圆


3．三角形的外接圆，三角形外心