人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积第1课时教学设计

这是一份人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积第1课时教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资源，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。

24.4 弧长和扇形面积


第1课时


一、教学目标


1．理解弧长公式和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积．


2．在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想．


二、教学重点及难点


重点：弧长和扇形面积公式的推导及应用．


难点：弧长和扇形面积公式的推导．


三、教学用具


多媒体课件，三角板、直尺、圆规。


四、相关资源


图片


五、教学过程


【创设情景，揭示课题】


在田径200米短跑比赛中，运动员的起跑位置相同吗？为什么？


师生活动：教师通过多媒体播放田径200米赛跑运动员起跑时的图片，提出问题．学生观察图片思考，并回答问题．教师在学生回答的基础上指出：关键是应该知道这些弯道的“展直长度”，如何计算？从而引出课题．


设计意图：从学生熟悉的问题情景引入课题，从而吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣，感受数学来源于生活．





【合作探究，形成新知】


1．探求弧长公式


（1）半径为R的圆，周长是多少？


（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？


（3）1°的圆心角所对的弧长是多少？


（4）140°的圆心角所对的弧长是多少？


（5）若设⊙O的半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，你能用一个公式表示弧长吗？


师生活动：学生思考问题，交流看法．教师提出问题，引导学生分析弧长和圆周长之间的关系，推导出n°的圆心角所对的弧长的计算公式．引导学生层层深入，逐步分析，尽量提问学生回答，相互补充，得出结论．使学生明确探索一个新的知识要从学过的知识入手，找寻它们的联系，探究规律，得出结论．


小结：


弧长公式：．


（6）弧长变化与哪些因素有关？


师生活动：一名学生回答，全班订正，教师边听边板演，并且强调圆心、半径、圆心角这三个量知二求一．


小结：弧长变化有关的因素：①圆心；②半径；③圆心角．


设计意图：明确探索一个新的知识要从学过的知识入手，找寻它们的联系，探究规律，得出结论．


3．扇形面积公式


（1）扇形概念





师生活动：教师给出扇形图形，学生观察图形，尝试归纳概念．


扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．


设计意图：加深学生记忆，熟悉扇形图．


（2）判断五个图形是否是扇形．





师生活动：学生抢答，教师订正．教师关注学生是否能准确判断出什么样的图形是扇形．


设计意图：由观察图形得出概念，记忆较深刻，对熟练判断是否为扇形铺平道路．只有明确定义才能更好的学习更深一层次的知识．


（3）探索扇形面积公式


由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想，回答下列问题：


①半径为R的圆，面积是多少？


②圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？


③1°的圆心角所对的扇形面积是多少？


④若设⊙O的半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积你能用一个公式表示吗？


师生活动：小组交流、讨论，小组代表汇报．教师给出问题，巡查、指导学困生．学生在探索出弧长公式的基础上，自己尝试寻找探索方法，将扇形面积和圆的面积结合起来，分析得出n°的圆心角所对的扇形面积公式．


小结：n°的圆心角所对的扇形面积公式：．


设计意图：锻炼学生探索新知的能力，教会学生一种数学思想和方法．加深学生对扇形面积公式的理解和记忆．


（4）弧长公式和扇形面积的联系


问题 n°的圆心角所对的弧长和扇形面积之间有什么关系？


师生活动：教师给出两个公式，学生观察弧长和扇形面积公式，讨论交流，尝试推导出扇形面积和弧长之间的关系．


小结：，其中l为扇形的弧长，R为半径．


设计意图：学生比较两个公式，找出它们的联系，明确知识之间的联系，在解题时，根据条件，选择适当的公式．


【例题分析，深化提高】


例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L(结果取整数）．





师生活动：提问学生从图中获得哪些信息，通过练习，使学生掌握弧长公式中弧长、半径、圆心角三者之间的关系．对实际问题引导学生分步分析，分步计算．


教师引导：要求的长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．


解：由弧长公式，的长：


．


因此所要求的展直长度：


L=2×700＋1570=2970(mm)．


设计意图：体会数学来源于生活并服务于生活．


例2 如图，水平放置的一个圆柱形排水管道的横截面半径为0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．





师生活动：教师用多媒体出示图形，求有水部分的弓形面积．学生结合图形分析解体思路，并通过小组合作将分析过程简单的写在答题纸上，请两名同学到前面讲给大家听，对不同的分析思路都给以肯定．在学生听明白的基础上，在答题纸上书写解题过程，再跟屏幕上的答案对照，完善．


教师引导：要求图中阴影（弓形）面积，没有直接的公式，需要转化为图形组合的和差问题，即扇形的面积与三角形的面积的差．容易想到作辅助线利用垂径定理，先根据公式分别求出扇形和三角形面积，问题得到解决．


解：如图，连接OA、OB，作弦AB的垂线OC，垂足为D，交于点C，连接AC，则AD=BD．





∵OC=0.6，CD=0.3，


∴OD=OC－CD=0.3．


∴OD=CD．


∵AD⊥DC，


∴AD是线段OC的垂直平分线．


∴AC=AO=OC．


∴∠AOD=60°，从而∠AOB=120°．


．


在Rt△AOD中，∵OA=0.6，OD=0.3，


∴AD=，


∴AB=，．


∴．


所以截面上有水部分的面积约为0.22．


设计意图：巩固扇形面积公式，让学生明确求阴影部分的面积可转化为扇形面积与三角形面积的和或差．培养学生解决问题的能力．


【练习巩固，综合应用】


1．如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（ ）．


A．40° B．45° C．60° D．80°


2．已知⊙O的半径OA=，扇形OAB的面积为15π，则所对的圆心角是（ ）．


A．120° B．72° C．36° D．60°


3．如果扇形的圆心角为150°，扇形的面积为240π cm2，那么扇形的弧长为（ ）．


A．5π cm B．10π cm C．20π cm D．40π cm


4．在半径为5的圆中，30°的圆心角所对弧的弧长为 （结果保留π）．


5．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长和扇形AOB的面积（结果保留小数点后一位)．


分析：要求弧长和扇形面积，只要知道圆心角、半径便可求，本题已满足．


6．如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=，∠A=45°，把△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置，求顶点C经过的路线长．





7．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为多少？（结果保留π）





参考答案


1．A 2．B 3．C 4．π


5．解：的长=π×10=π≈10.5，


S扇形=π×102=π≈52.4．





6．∵在Rt△ABC中，∠A=45°，


∴∠ABC=45°．∴AC=BC．


∵AB=，


∴BC=2．


∴顶点C经过的路线长为．


7．∵．


∴阴影部分的面积=．


设计意图：加深对弧长公式和扇形面积公式的应用意识和能力，巩固所学的公式，能运用公式解决实际问题，让学生体验成功的乐趣．


六、课堂小结


1．弧长公式：．．


2.扇形面积公式：


3.


师生活动：号召学生自己总结本节课所学知识，相互补充，以进一步巩固所学知识．


设计意图：通过小结和反思，激发学生主动参与的意识，为每个学生创造在数学活动中获得活动经验的机会．


七、板书设计


24.4 弧长和扇形面积(1)


1．弧长公式：．


2.扇形面积公式：


3.