初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案设计

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学案设计，共4页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】(一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；


(二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况.


【学习重点】一元二次方程的根的判别式的运用.


【学习难点】对一元二次方程的根的判别式的结论的理解.


【学习过程】


一、导入新课


1.请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前，必须写出哪两步?为什么要先写这两步?


例 用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上)


2x2+10x-7=0.














2.为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步?


二、讲授新课


从上面的解释可见，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数式b2-4ac起着重


要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号表示，即


Δ=b2-4ac(注意不是Δ=


2、根的判别式是判别根的什么?


下面我们用三个定理来表示(我们通常把记号AB表


示为A是命题的条件，B是命题的结论)于是有：


定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ0方程有两个不等实数根.


定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.


定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.


注意：这三个定理 反过来也成立，我们还得到三个定理，那就是


ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.


ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.


ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0.


显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理.定理3与定理6，


互逆定理.


定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况.


定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值.


运用根的判别式解题举例


例1 不解方程，判别下列方程根的情况.


(1) 2x2+3x-4=0; (2) 16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0.




















例2 已知方程2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的解.


























例3 若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.














三、应用


1.下列方程中，有两个相等实数根的方程是( ).





2.若方程(k2-1)x2-6(3k-1)+72=0有两个不同的正整数根，则整数k的值是( ).


3.若a,b,c互不相等，则方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0( ).


(A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根


(C) 没有实数根 (D) 根的情况不确定


4.不解方程，判别下列方程的根的情况：





5.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0.m取什么值时，


(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3) 方程没有实数根?


6.k取什么值时，方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根?并求出这时方程的根.


7.求证：关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.


1．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）。


A、a<1 B、a>1 C、a<1且a≠0 D、a<0


2．关于x的一元二次方程kx2-3x+2=0有两个相等的实根，则k应满足是（ ）。


A、k=0 B、k≥0 C、k=- D、k=


3．关于x的方程m(x2+x+1)=x2+x+2有两个相等的实数根，则m的值为（ ） 。


A、 B、1 C、- D、或1


4．若方程k(x2-2x+1)-2x2+x=0有实数根，则（ ）。


A、k>- B、k>-且k≠2


C、k≥- D、k≥- 且k≠2


5．方程x2-4x+=0有根的情况是（ ）


A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根


C、没有实数根 D、有一个实数根


6．下列方程中，有两个相等实数根的一元二次方程是（ ）。


A、3x2-4x-1=0


B、x2+3+2=2 x+2x


C、x3-2x+5=0


D、x2+ x=1


7．若方程x2+x+n=0有两个相等的实数根，那么 的值为（ ）。


A、- B、 C、-4 D、4


8．已知关于x的方程x2+3(m-1)x-2m2-4m+=0(m为实数)，则该方程（ ）。


A、无实数根 B、有两个相等实数根


C、有不等的两实数根 D、不能确定有无实数根