初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数课堂检测

这是一份初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数课堂检测，共15页。试卷主要包含了3 实际问题与二次函数，2x2+1，75时，y取得最大值，等内容，欢迎下载使用。
22.3 实际问题与二次函数


一．选择题


1．二次函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（ ）


A．﹣2B．﹣1C．1D．2


2．二次函数y＝﹣x2+4x+1有（ ）


A．最大值5B．最小值5C．最大值﹣3D．最小值﹣3


3．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）


A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝x2+a


4．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（ ）


A．y＝﹣x2+20xB．y＝x2﹣20xC．y＝﹣x2+10xD．y＝x2﹣10x


5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（ ）


A．S＝B．S＝C．S＝D．S＝


6．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）





A．4米B．5米C．2米D．7米


7．已知二次函数y＝（x﹣m+3）（x+m﹣5）+n，其中m，n为常数，则（ ）


A．m＞1，n＜0 时，二次函数的最小值大于 0


B．m＝1，n＞0 时，二次函数的最小值大于 0


C．m＜1，n＞0 时，二次函数的最小值小于 0


D．m＝1，n＜0 时，二次函数的最小值小于 0


8．二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值的差（ ）


A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关


C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关


9．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）





A．B．C．D．


10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：


①小球在空中经过的路程是40m；


②小球运动的时间为6s；


③小球抛出3秒时，速度为0；


④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．


其中正确的是（ ）





A．①④B．①②C．②③④D．②④


二．填空题


11．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是 ．


12．二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为 ．


13．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．


14．如图，用长为20cm的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽AB为xcm，围成的花圃面积为ycm2，则y关于x的函数表达式为 ．





15．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．





16．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为 ．





三．解答题


17．已知二次函数y＝x2+bx+c的函数值y与自变量x之间的对应数据如表：


（1）求b、c的值；


（2）当x取何值时，该二次函数有最小值，最小值是多少？


18．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．求S与x之间的函数表达式，并求自变量x的取值范围．





19．已知抛物线y＝x2上一点A的纵坐标是1，过点F（0，1）与A作直线与抛物线交于另一点B．


（1）求点B的坐标；


（2）已知O为坐标原点，判断△AOB是否为直角三角形？请说明理由．


20．某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．


（1）求y与x之间的函数关系式．


（2）由于湖北省武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎（简称“新冠肺炎”）疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐献给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定这款电动牙刷的销售单价？





21．某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：


（1）直接写出y与x的关系式 ；


（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；


（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．


22．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（3，0），并且OA＝OC＝3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，


（1）求抛物线的解析式；


（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；


（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作⊙G，求⊙G最小面积．








参考答案


一．选择题


1．解：二次函数y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），因此当x＝﹣1时，y最小＝﹣2，


故选：A．


2．解：y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5．


由于a＝﹣1＜0，


所以该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（2，5）．


所以该抛物线有最大值，且最大值是5．


故选：A．


3．解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，


依题意得第三个月第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，


则y＝a（1+x）2．


故选：A．


4．解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米，


∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米，


则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，


故选：A．


5．解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，


∴a2+b2＝c2，


∵Rt△ABC的面积S，


∴S＝ab，


∵a+b＝5，


∴（a+b）2＝25，


∴a2+b2+2ab＝25，


∴c2+4S＝25，


∴S＝．


故选：A．


6．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO＝，





设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+，


∵BC＝10，


∴点B（﹣5，0），


∴0＝a×（﹣5）2+，


∴a＝﹣，


∴大孔所在抛物线解析式为y＝﹣x2+，


设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，


∵EF＝14，


∴点E的横坐标为﹣7，


∴点E坐标为（﹣7，﹣），


∴﹣＝m（x﹣b）2，


∴x1＝+b，x2＝﹣+b，


∴MN＝4，


∴|+b﹣（﹣+b）|＝4


∴m＝﹣，


∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣b）2，


∵大孔水面宽度为20米，


∴当x＝﹣10时，y＝﹣，


∴﹣＝﹣（x﹣b）2，


∴x1＝+b，x2＝﹣+b，


∴单个小孔的水面宽度＝|（+b）﹣（﹣+b）|＝5（米），


故选：B．


7．解：∵二次函数y＝（x﹣m+3）（x+m﹣5）+n，


∴当m＝1时，y＝（x﹣1+3）（x+1﹣5）+n


＝（x+2）（x﹣4）+n


＝x2﹣2x﹣8+n


＝（x﹣1）2﹣9+n


∴当m＝1，n＞0时，二次函数的最小值为y＝﹣9+n，当0＜n≤9时，﹣9+n≤0，故B错误；


当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝﹣9+n＜0，故D正确；


选项A：当m＞1，n＜0时，不妨取m＝3，


则y＝x（x﹣2）+n＝x2﹣2x+n＝（x﹣1）2﹣1+n，此时二次函数的最小值为﹣1+n，小于0，故A错误；


选项C：当m＜1，n＞0时，不妨取m＝0，


则y＝（x+3）（x﹣5）+n＝x2﹣2x﹣15+n＝（x﹣1）2﹣16+n，此时二次函数的最小值为﹣16+n，


当n≥16＞0时，﹣16+n≥0，故C 错误；


综上，只有D正确．


故选：D．


8．解：∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+）2+，


∴该抛物线的对称轴为x＝﹣，且a＝1＞0，


当x＝﹣＜0，


∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q，


∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q，


∴函数最大值与最小值的差为1+p；


当x＝﹣＞1，


∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q，


∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q，


∴函数最大值与最小值的差为﹣1﹣p；


当0≤x＝﹣，


此时当x＝1时，函数有最大值1+p+q，


当x＝﹣时，函数有最小值q﹣，差为1+p+，


＜x＝﹣≤1，当x＝0时，函数有最大值q，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣，差为，


x＝﹣＝，当x＝0或1时．函数有最大值q，


当x＝﹣时，函数有最小值q﹣，差为，


综上所述，此函数最大值与最小值的差与p有关，但与q无关，


故选：D．


9．解：设正方形的边长为m，则m＞0，


∵AE＝x，


∴DH＝x，


∴AH＝m﹣x，


∵EH2＝AE2+AH2，


∴y＝x2+（m﹣x）2，


y＝x2+x2﹣2mx+m2，


y＝2x2﹣2mx+m2，


＝2[（x﹣m）2+]，


＝2（x﹣m）2+m2，


∴y与x的函数图象是A．


故选：A．


10．解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故①错误；


②由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故②正确；


③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；


④设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，将（0，0）代入得：


0＝a（0﹣3）2+40，


解得a＝﹣，


∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，


∴当t＝1.5s时，h＝﹣（1.5﹣3）2+40＝30，


∴④正确．


综上，正确的有②③④．


故选：C．


二．填空题


11．解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，


由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，


故答案为：﹣72．


12．解：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，


所以，该二次函数图象的对称轴是x＝1，且在3≤x≤5范围内y随x的增大而增大，


∴当x＝3时，y最小＝（3﹣1）2＝4．


故答案为4．


13．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，


当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，


则最佳加工时间为3.75min．


故答案为：3.75．


14．解：由题意可得：y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x．


故答案为：y＝﹣2x2+20x．


15．解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，


30k＝60，得k＝2，


即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，


当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，


20a＝30，得a＝1.5，


即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，


当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，


设日销售利润为W元，


当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，


故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，


当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，


故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，


综上所述，最大日销售利润为1800元，


故答案为：1800．


16．解：根据题意得，CD＝2x+1﹣x2＝﹣x2+2x+1＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+1＝﹣（x2﹣2x+1）+2＝﹣（x﹣1）2+2，


可见函数最大值为2．


故答案为2．


三．解答题


17．解：把（0，5），（1，2）代入y＝x2+bx+c得：


，


解得：；





（2）由表格中数据可得：当x＝2时，二次函数有最小值为1．


18．解：∵AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m，


S＝AB•BC＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x，


∵篱笆的长为28m，∴0＜x＜28，


即S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．


19．解：（1）∵抛物线y＝x2上一点A的纵坐标是1，


∴x2＝1，


解得x＝±2，


∴点A的坐标为（﹣2，1）或（2，1），


设直线AF的解析式为y＝kx+b，则


，


解得，


或


解得．


故直线AF的解析式为y＝1，


与抛物线联立得，


解得，．


故点B的坐标为（﹣2，1）或（2，1）；


（2）OA＝OB＝＝，


AB＝2﹣（﹣2）＝4，


∵（）2+（）2≠42，


∴△AOB不是直角三角形．


20．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．


将（30，100），（35，50）代入y＝kx+b中，得：，


解得：，


∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+400．


（2）设捐款后每天的剩余利润为w元，


依题意，得：w＝（x﹣20）（﹣10x+400）﹣200＝﹣10x2+600x﹣8200．


令w＝550，则﹣10x2+600x﹣8200＝550，


解得x1＝25，x2＝35．


∵﹣10＜0，


∴抛物线开口向下，


∴当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550元．





21．解：（1）设解析式为y＝kx+b，


将（40，80）和（60，60）代入，可得，解得：，


所以y与x的关系式为y＝﹣x+120，


故答案为：y＝﹣x+120；


（2）设公司销售该商品获得的日利润为w元，


w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，


∵x﹣30≥0，﹣x+120≥0，


∴30≤x≤120，


∵a＝﹣1＜0，


∴抛物线开口向下，函数有最大值，


∴当x＝75时，w最大＝2025，


答：当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．


（3）w＝（x﹣30﹣10）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，


当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，


解得x1＝70，x2＝90，


∵40≤x≤a，


∴有两种情况，


①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，


∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，


②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，


∴这种情况不成立，


∴a＝70．


22．解：（1）∵点A的坐标是（3，0），


∴OA＝3，


∵OA＝OC＝3OB，


∴OC＝3，OB＝1，


∴点C（0，3），点B（﹣1，0），


设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），


∴3＝﹣3a，


∴a＝﹣1，


∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；


（2）∵△ACP是以AC为底的等腰三角形，


∴AP＝CP，


又∵OA＝OC，


∴OP是AC的垂直平分线，


∵OA＝OC，∠AOC＝90°，OP是AC的垂直平分线，


∴OP平分∠AOC，


∴直线OP解析式为y＝x，


联立方程组可得：，


∴或，


∴点P坐标为（，）或（，）；


（3）如图，





∵点A的坐标是（3，0），点C坐标为（0，3），


∴直线AC解析式为：y＝﹣x+3，


设点D坐标为（m，﹣m+3），


∴DE＝|m|，DF＝|﹣m+3|，


∴EF2＝DE2+DF2＝m2+（﹣m+3）2，


∵⊙G的面积＝×EF2＝×[m2+（﹣m+3）2]＝×[2（m﹣）2+]，


∴当m＝时，⊙G最小面积为．





x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40