高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品第2课时2课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品第2课时2课时教案，共15页。






1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．


2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．





基本不等式与最值


已知x，y都是正数，


(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；


(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.


温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．





判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.( )


(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2eq \r(2).( )


(3)当x>1时，函数y＝x＋eq \f(1,x－1)≥2eq \r(\f(x,x－1))，所以函数y的最小值是2eq \r(\f(x,x－1)).( )


(4)若x∈R，则x2＋2＋eq \f(1,x2＋2)≥2.( )


[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×





题型一 利用基本不等式求最值


【典例1】 (1)若x>0，求y＝4x＋eq \f(9,x)的最小值；


(2)设00，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．


[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．


[解] (1)∵x>0，


∴由基本不等式得


y＝4x＋eq \f(9,x)≥2 eq \r(4x·\f(9,x))＝2eq \r(36)＝12，


当且仅当4x＝eq \f(9,x)，即x＝eq \f(3,2)时，y＝4x＋eq \f(9,x)取最小值12.


(2)∵02，∴x－2>0，


∴x＋eq \f(4,x－2)＝(x－2)＋eq \f(4,x－2)＋2


≥2 eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6.


当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，


即x＝4时，x＋eq \f(4,x－2)取最小值6.


(4)∵x>0，y>0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，


∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))＝10＋eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)


≥10＋2eq \r(9)＝16.


当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1时等号成立，


即x＝4，y＝12时等号成立．


∴当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.


[变式] (1)本例(3)中，把“x>2”改为“x0，且满足eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．


[解析] ∵x，y>0，


∴eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1≥2 eq \r(\f(xy,12))，


得xy≤3，当且仅当eq \f(x,3)＝eq \f(y,4)即x＝eq \f(3,2)，y＝2时，取“＝”号，


∴xy的最大值为3.


[答案] 3


2．已知x，y>0，且x＋y＝4，则eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为________．


[解析] ∵x，y>0，


∴(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(3,y)))＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＋\f(3x,y)))≥4＋2eq \r(3)，


当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(3x,y)，


即x＝2(eq \r(3)－1)，y＝2(3－eq \r(3))时取“＝”号，


又x＋y＝4，


∴eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)≥1＋eq \f(\r(3),2)，


故eq \f(1,x)＋eq \f(3,y)的最小值为1＋eq \f(\r(3),2).


[答案] 1＋eq \f(\r(3),2)


3．若x0，∴eq \f(12,x)>0,4x>0.∴y＝eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3).当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)，∴当x>0时，y的最小值为8eq \r(3).


[答案] C


2．设x，y为正数，则(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值为( )


A．6 B．9


C．12 D．15


[解析] (x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝x·eq \f(1,x)＋eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)＋y·eq \f(4,y)＝1＋4＋eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)≥5＋2 eq \r(\f(4x,y)·\f(y,x))＝9.


[答案] B


3．若x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(8,y)＝1，则xy有( )


A．最大值64 B．最小值eq \f(1,64)


C．最小值eq \f(1,2) D．最小值64


[解析] 由题意xy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(8,y)))xy＝2y＋8x≥2eq \r(2y·8x)＝8eq \r(xy)，∴eq \r(xy)≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.


[答案] D


4．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋eq \f(1,p)，y＝q＋eq \f(1,q)，则x＋y的最小值为( )


A．6 B．5


C．4 D．3


[解析] 由p＋q＝1，


∴x＋y＝p＋eq \f(1,p)＋q＋eq \f(1,q)＝1＋eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,p)＋\f(1,q)))(p＋q)


＝1＋2＋eq \f(q,p)＋eq \f(p,q)≥3＋2eq \r(\f(q,p)·\f(p,q))＝5，


当且仅当eq \f(q,p)＝eq \f(p,q)即p＝q＝eq \f(1,2)时取等号，


所以B选项是正确的．


[答案] B


5．若a0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1，


∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))


＝eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)＋10≥2 eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10


＝18.


当且仅当eq \f(8y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立，


∴x＋y的最小值是18.


综合运用


11．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是( )


A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5


[解析] ∵a＋b＝2，∴eq \f(a＋b,2)＝1，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq \f(9,2)(当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(b,2a)，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为eq \f(9,2).


[答案] C


12．若xy是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是( )


A．3 B.eq \f(7,2) C．4 D.eq \f(9,2)


[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2x)))2


＝x2＋y2＋eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋\f(1,y2)))＋eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4x2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y2＋\f(1,4y2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)＋\f(y,x)))


≥1＋1＋2＝4.


当且仅当x＝y＝eq \f(\r(2),2)或x＝y＝－eq \f(\r(2),2)时取等号．


[答案] C


13．若对任意x>0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．


[解析] 因为x>0，所以x＋eq \f(1,x)≥2，


当且仅当x＝1时取等号，


所以有eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq \f(1,2＋3)＝eq \f(1,5)，


即eq \f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq \f(1,5)，故a≥eq \f(1,5).


[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，＋∞))


14．设x>－1，则函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值是________．


[解析] ∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，


于是有y＝eq \f(t＋4t＋1,t)＝eq \f(t2＋5t＋4,t)


＝t＋eq \f(4,t)＋5≥2eq \r(t·\f(4,t))＋5＝9，


当且仅当t＝eq \f(4,t)，即t＝2时取等号，此时x＝1，


∴当x＝1时，函数y＝eq \f(x＋5x＋2,x＋1)取得最小值9.


[答案] 9


15．阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？


[解] 设矩形温室的一边长为x m，则另一边长为eq \f(800,x) m(2