高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件优秀教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件优秀教案，共14页。
1．4 充分条件与必要条件


1．4.1 充分条件与必要条件








1．理解充分、必要条件的概念．


2．会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件．





1．命题及相关概念








2．充分条件与必要条件





一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．


数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．


温馨提示：(1)充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．


(2)不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”．





1．“对角线相等的平行四边形是矩形”


(1)这个命题是真命题吗？


(2)将命题改写为“若p，则q”的形式．


(3)“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件．


[答案] (1)是真命题 (2)若平行四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形 (3)充分条件


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题．( )


(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )


(3)若q是p的必要条件，则由p推出的结论q是不唯一的．( )


(4)数学中每一条定理都给出了相应结论成立的一个充分条件．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×





题型一 充分、必要条件的概念及语言表述


【典例1】 将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分条件、必要条件的语言表述：


(1)两个全等三角形的对应高相等；


(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．


[解] (1)若两个三角形是全等三角形，则它们的对应高相等，所以“两个三角形是全等三角形”是“它们的对应高相等”的充分条件；“对应高相等”是“两个三角形是全等三角形”的必要条件．


(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，所以“两个三角形等底等高”是“这两个三角形是全等三角形”的不充分条件；“两个三角形是全等三角形”是“这两个三角形等底等高”的不必要条件．














(1)对充分、必要条件的理解


①对充分条件的理解：i)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．ii)充分条件不是唯一的，如x>2，x>3都是x>0的充分条件．


②对必要条件的理解：i)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．ii)必要条件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．


(2)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤


第一步：分析定理的条件和结论；


第二步：将定理写成“若p，则q”的形式；


第三步：利用充分、必要条件的概念来表述定理．





[针对训练]


1．将下面的定理写成“若p，则q”的形式，并用充分、必要条件的语言表述：


(1)对顶角相等；


(2)在平面直角坐标系中，关于y轴对称的两个点的纵坐标相同．


[解] (1)若两个角是对顶角，则两个角相等，所以“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件．


(2)在平面直角坐标系中，若两点关于y轴对称，则这两个点的纵坐标相同，所以在平面直角坐标系中，“两点关于y轴对称”是“这两个点纵坐标相同”的充分条件；“两个点的纵坐标相同”是“这两点关于y轴对称”的必要条件.


题型二 充分条件、必要条件的判定


【典例2】 判断下列各题中p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？


(1)p：x>1，q：x2>1；


(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；


(3)已知：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，p：Δ＝b2－4ac>0，q：函数图象与x轴有交点．


[思路导引] 判断“若p，则q”命题的真假及“若q，则p”命题的真假．


[解] (1)由x>1可以推出x2>1，因此p是q的充分条件；由x2>1，得x1，不一定有x>1.因此，p不是q的必要条件．


(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p不是q的充分条件；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要条件．


(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，当Δ>0时，其图象与x轴有交点，因此p是q的充分条件；反之若函数的图象与x轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p不是q的必要条件．











充分、必要条件的判断方法


(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．


(2)命题判断法：


①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；


②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．


显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．





[针对训练]


2．判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．


(1)p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；


(2)设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”；


(3)已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：a2>b2>0.


[解析] (1)当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件．


(2)由a＋b>0不一定能推出ab>0，故p不是q的充分条件．


(3)因为a>b>1⇒a2>b2>0，所以p是q的充分条件．


[答案] (1)(3)


3．在下列各题中，q是p的必要条件的是________．


(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；


(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；


(3)p：m0⇒eq \f(x,y)>1，而由eq \f(x,y)>1推不出x>y>0，如：x＝－5，y＝－4，满足eq \f(x,y)>1，但－5y>0是eq \f(x,y)>1的充分条件．


[答案] 充分


8．记A＝{x|－3