数学人教A版 (2019)第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算优质第2课时2课时教学设计

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第2课时 补集及集合运算的综合应用








1．理解全集、补集的概念．


2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．


3．会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．





1．全集


(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．


(2)符号表示：全集通常记作U.


2．补集





温馨提示：∁UA的三层含义：


(1)∁UA表示一个集合；


(2)A是U的子集，即A⊆U；


(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．





1．A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．


(1)集合A，B，U有何关系？


(2)B中元素与U和A有何关系？


[答案] (1)U＝A∪B


(2)B中的元素在U中，不在A中


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)全集是由任何元素组成的集合．( )


(2)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．( )


(3)集合∁BC与∁AC相等．( )


(4)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√





题型一 补集的运算


【典例1】 (1)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________________；


(2)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，


∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________________.


[思路导引] 借助补集定义，结合数轴及Venn图求解．





[解析] (1)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．


(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，


∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．





又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．


解法二：借助Venn图，如图所示．


由图可知B＝{2,3,5,7}．


[答案] (1){x|x<－3或x＝5} (2){2,3,5,7}











求集合补集的基本方法及处理技巧


(1)基本方法：定义法．


(2)两种处理技巧


①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；


②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．





[针对训练]


1．设全集U＝R，集合A＝{x|2




[解析] 用数轴表示集合A为图中阴影部分，∴∁UA＝{x|x≤2或x>5}．


[答案] {x|x≤2或x>5}


2．设U＝{x|－5≤x<－2或2

[解析] 解法一：在集合U中，


∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，


∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．


又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，


∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．


解法二：可用Venn图表示．





则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．


[答案] {－5，－4,3,4} {－5，－4,5}


题型二 交集、并集、补集的综合运算


【典例2】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

[解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：





由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，


A∩B＝{x|－2










解决集合交、并、补运算的2个技巧


(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．


(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．





[针对训练]


3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于( )


A．{x|－2

C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}


[解析] ∵S＝{x|x>－2}，∴∁RS＝{x|x≤－2}．


而T＝{x|－4≤x≤1}，


∴(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．


[答案] C


4．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

[解析] 由题意知，A∪B＝{x|2

∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．


又∁RA＝{x|x<3或x≥7}．


∴(∁RA)∩B＝{x|2

[答案] {x|x≤2或x≥10} {x|2

题型三 利用集合间的关系求参数


【典例3】 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2

[思路导引] 理清集合间的关系，分类求解．


[解] 由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，


因为B＝{x|－2




所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.


[变式] (1)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？


(2)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？


[解] (1)由已知得A＝{x|x≥－m}，


所以∁UA＝{x|x<－m}，


又(∁UA)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.


(2)由已知得A＝{x|x≥－m}，


∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．


又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.











利用集合关系求参数的2个注意点


(1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．


(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．








[针对训练]


5．已知集合A＝{x|x

(1)若A∪(∁RB)＝R，求实数a的取值范围；


(2)若A(∁RB)，求实数a的取值范围．


[解]





(1)∵B＝{x|1

∴∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，


因而要使A∪(∁RB)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.


(2)∵A＝{x|x

要使A(∁RB)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.





课堂归纳小结


1．全集与补集的互相依存关系


(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．


(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两


个概念．


(3)∁UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．


2．补集思想


做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.








1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合


∁U(A∪B)＝( )


A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}


C．{x|0≤x≤1} D．{x|0

[解析] ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，


∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，


∴∁U(A∪B)＝{x|0

[答案] D


2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁UB)∩A＝( )





A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}


C．{1,2} D．{1,2,3}


[解析] 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁UB)∩A＝{1,2}．


[答案] C


3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( )


A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}


C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}


[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，


∴∁UA＝{0,2,4,5,6,8}，∁UB＝{0,1,4,5,6,7}，


∴(∁UA)∩(∁UB)＝{0,4,5,6}．


[答案] C


4．全集U＝{x|0

[解析] ∁UA＝{x|5≤x<10}，如图所示．





[答案] {x|5≤x<10}


5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁UA＝{5}，求实数a的值．


[解] ∵∁UA＝{5}，∴5∈U，但5∉A，


∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.


当a＝2时，|2a－1|＝3，


这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．


∴∁UA＝{5}，适合题意．∴a＝2.


当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁UA无意义，故a＝－4应舍去．


综上所述，a＝2.


课内拓展 课外探究


空集对集合关系的影响


空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．


空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．


空集是任何非空集合的真子集，即∅A(而A≠∅)．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.


由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A的子集”、“∅⊆∅”等结论．


在解决诸如A⊆B或AB类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．


【典例1】 已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A的a的值组成的集合．


[解] 由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．


(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ<0，∴－3(a2－16)<0，


解得a<－4或a>4.此时B⊆A.


(2)若B≠∅，则B＝{－2}或{4}或{－2,4}．


①若B＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝－2，


∴(－2)2＋(－2)a＋a2－12＝0，即a2－2a－8＝0.


解得a＝4或a＝－2.当a＝4时，恰有Δ＝0；


当a＝－2时，Δ>0，舍去．∴当a＝4时，B⊆A.


②若B＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x＝4，


∴42＋4a＋a2－12＝0，解得a＝－2，此时Δ>0，舍去．


③若B＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x＝－2或x＝4，由①②知a＝－2，此时Δ>0，－2与4恰是方程的两根．


∴当a＝－2时，B⊆A.


综上所述，满足B⊆A的a值组成的集合是{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．


[点评] ∅有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A，皆有A∩∅＝∅；(2)对于任意集合A，皆有A∪∅＝A.正因如此，如果A∩B＝∅，就要考虑集合A或B可能是∅；如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是∅.


【典例2】 设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1

[解] 根据题意可知：N≠∅，又∵N⊆(∁UM)．


①当M＝∅，即3a－1≥2a时，a≥1.


此时∁UM＝R，N⊆(∁UM)显然成立．


②当M≠∅，即3a－1<2a时，a<1.


由M＝{x|3a－1

又∵N⊆(∁UM)，∴结合数轴分析可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1，,3≤3a－1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<1，,2a≤－1，))得a≤－eq \f(1,2).


综上可知，a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥1或a≤－\f(1,2))))).


[点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．


课后作业(五)


复习巩固


一、选择题


1．设全集U＝R，集合P＝{x|－2≤x<3}，则∁UP等于( )


A．{x|x<－2或x≥3}


B．{x|x<－2或x>3}


C．{x|x≤－2或x>3}


D．{x|x≤－2且x≥3}


[解析] 由P＝{x|－2≤x<3}得，∁UP＝{x|x<－2或x≥3}．故选A.


[答案] A


2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝( )


A．{x|x>1} B．{x|x≥1}


C．{x|1

[解析] ∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}．


∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．


[答案] D


3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于( )


A．0或2 B．0


C．1或2 D．2


[解析] 由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))则a＝2.


[答案] D


4．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )





A．{x|－2≤x<1}


B．{x|－2≤x≤2}


C．{x|1

D．{x|x<2}


[解析] 阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)＝{x|－2≤x<1}，故选A.


[答案] A


5．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2＋px＋q＝0}，若


∁UM＝{－1,1}，则实数p＋q的值为( )


A．－1 B．－5


C．5 D．1


[解析] 由已知可得M＝{2,3}，


则2,3为方程x2＋px＋q＝0的两根，


则p＝－(2＋3)＝－5，q＝2×3＝6.


故p＋q＝－5＋6＝1.故选D.


[答案] D


二、填空题


6．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3

[解析] 借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3或x>4}．





[答案] {x|x＝－3或x>4}


7．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为________．


[解析] 由U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，


得∁UA＝{0,4}，因为B＝{2,4}，


所以(∁UA)∪B＝{0,2,4}．


[答案] {0,2,4}


8．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.


[解析] ∵U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.


[答案] －3


三、解答题


9．设集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，求A∩B，(∁RA)∪(∁RB)．


[解] A∩B＝{x|－5≤x≤3}∩{x|x<－2或x>4}＝{x|－5≤x<－2}，∁RA＝{x|x<－5或x>3}，∁RB＝{x|－2≤x≤4}．


∴(∁RA)∪(∁RB)＝{x|x<－5或x>3}∪{x|－2≤x≤4}＝{x|x<－5或x≥－2}．


10．已知集合A＝{x|2a－2

[解] ∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，因为A∁RB，


所以分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．


①若A＝∅，此时有2a－2≥a，所以a≥2.


②若A≠∅，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－2

所以a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.


综合运用


11．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，那么集合(∁UA)∩(∁UB)等于( )


A．{x|3

C．{x|3≤x<4} D．{x|－1≤x≤3}


[解析] ∵∁UA＝{x|x<－2或x>3}，∁UB＝{x|－2≤x≤4}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{x|3

[答案] A


12．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N等于( )


A．M B．N


C．I D．∅


[解析] 因为N∩(∁IM)＝∅，所以N⊆M(如图)，所以M∪N＝M.





[答案] A


13．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪(∁UB)＝A，则∁UB＝__________________.


[解析] 因为B∪(∁UB)＝A，所以A＝U.


①当x2＝3时，x＝±eq \r(3)，B＝{1,3}，∁UB＝{eq \r(3)}或{－eq \r(3)}．


②当x2＝x时，x＝0或1.当x＝0时，B＝{0,1}，∁UB＝{3}；而当x＝1时不合题意，舍去．


[答案] {－eq \r(3)}或{eq \r(3)}或{3}


14．已知R为实数集，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁RA)＝R，B∩(∁RA)＝{x|0

[解析]





∵A＝{x|1≤x≤2}，


∴∁RA＝{x|x<1或x>2}．


又B∪(∁RA)＝R，A∪(∁RA)＝R，可得A⊆B.


而B∩(∁RA)＝{x|0

∴{x|0

借助于数轴可得B＝A∪{x|0

[答案] {x|0

15．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3

(1)求A∪B，(∁RA)∩B；


(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．


[解] (1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3

因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁RA＝{x|x<2或x≥7}，


则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}．


(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x

所以a>2，所以a的取值范围是{a|a>2}．