人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念公开课第1课时教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念公开课第1课时教学设计，共13页。







1．了解集合与元素的含义．


2．理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题．


3．理解集合与元素的关系．


4．掌握数学中一些常见的集合及其记法．





1．元素与集合的概念及表示


(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．


(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．


(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．


2．元素的特性


(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．


(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．


(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．


温馨提示：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．


3．元素与集合的关系


(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．


(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．


温馨提示：(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．


(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．


4．常用的数集及其记法








1．某中学2019年高一年级20个班构成一集合．


(1)高一(3)班、高一(2)班是这个集合的元素吗？


(2)高二(3)班是这个集合中的元素吗？


[答案] (1)是 (2)不是


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)本班的高个子同学组成集合．( )


(2)联合国常任理事国组成集合．( )


(3)由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素．( )


(4)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√








题型一 集合的基本概念


【典例1】 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？


(1)接近于2019的数；


(2)大于2019的数；


(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；


(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；


(5)函数y＝x2图象上的点．


[思路导引] 构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．


[解] (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．











对集合含义的理解


给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．





[针对训练]


1．下列所给的对象能构成集合的是______．(填序号)


①所有的正三角形；


②比较接近1的数的全体；


③某校高一年级16岁以下的学生；


④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的全体；


⑤我校教职员工中的年轻人；


⑥eq \r(2)的近似值的全体．


[解析] ①能构成集合，其中的元素需满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“eq \r(2)的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合．


[答案] ①③④


题型二 元素与集合的关系


【典例2】 (1)下列关系中，正确的有( )


①eq \f(1,2)∈R；②eq \r(2)∉Q；③|－3|∈N；④|－eq \r(3)|∈Q.


A．1个 B．2个


C．3个 D．4个


(2)集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．


[思路导引] 判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．


[解析] (1)eq \f(1,2)是实数；eq \r(2)是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－eq \r(3)|＝eq \r(3)，是无理数．故①②③正确，选C．


(2)当x＝0时，eq \f(6,3－0)＝2；


当x＝1时，eq \f(6,3－1)＝3；


当x＝2时，eq \f(6,3－2)＝6；


当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.


[答案] (1)C (2)0,1,2





判断元素与集合关系的2种方法


(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．


(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．





[针对训练]


2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为( )


A．0 B．1


C．2 D．3


[解析] ∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.


[答案] D


3．用适当的符号填空：


已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17


________A；－5________A．


[解析] 由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A．


令3k＋2＝－5得，k＝－eq \f(7,3)∉Z.所以－5∉A．


[答案] ∈ ∉


题型三 集合中元素的特性


【典例3】 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．


[思路导引] 由集合中元素的确定性和互异性切入．


[解析] 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；


若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.


综上所述a＝－1.


[答案] －1


[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．


(2)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？


[解] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；


若a2＝2，则a＝eq \r(2)或a＝－eq \r(2)，符合元素的互异性．


所以a的取值为2，eq \r(2)，－eq \r(2).


(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.














应用集合元素的特性解题的要点


(1)集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．


(2)构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．


(3)利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．





[针对训练]


4．已知集合A由三个元素m，m2＋1,1组成，若2∈A，求实数m的值．


[解] ∵2∈A，∴m＝2或m2＋1＝2，


则m＝2或m＝±1.


当m＝2时，集合A中的元素为：2,5,1，符合题意；


当m＝1时，集合A中的元素为：1,2,1，不满足互异性，舍去；


当m＝－1时，集合A中的元素为：－1,2,1，符合题意．


综上知，m＝2或m＝－1.





课堂归纳小结


1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．


2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否


构成集合的依据．


3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.





1．已知a∈R，且a∉Q，则a可以为( )


A．eq \r(2) B．eq \f(1,2)


C．－2 D．－eq \f(1,3)


[解析] eq \r(2)是无理数，所以eq \r(2)∉Q，eq \r(2)∈R.


[答案] A


2．若由a2,2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是( )


A．a＝0 B．a＝2019


C．a＝1 D．a＝0或a＝2019


[解析] 若集合M中有两个元素，则a2≠2019a.即a≠0，且a≠2019.故选C．


[答案] C


3．下列各组对象能构成集合的有( )


①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1.


A．1组 B．2组


C．3组 D．4组


[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．


[答案] C


4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a为( )


A．4 B．2


C．0 D．0或4


[解析] 当a＝0时，方程变为1＝0不成立，故a＝0不成立；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，a＝4，故选A．


[答案] A


5．下列说法正确的是________．


①及第书业的全体员工形成一个集合；


②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；


③方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素；


④x，eq \r(3,x3)，eq \r(x2)，|x|形成的集合中最多有2个元素．


[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x2－1＝0的解为x＝±1，方程x＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝eq \r(3,x3)，eq \r(x2)＝|x|，故正确．


[答案] ①④


课后作业(一)


复习巩固


一、选择题


1．下列说法正确的是( )


A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合


B．由1,2,3和eq \r(9)，1，eq \r(4)组成的集合不相等


C．不超过20的非负数组成一个集合


D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素


[解析] A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．


[答案] C


2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )


A．3∈A B．1∈A


C．0∈A D．－1∉A


[解析] 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．


[答案] C


3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )


A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合


B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合


C．P是由元素1，eq \r(3)，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－eq \r(3)|构成的集合


D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集


[解析] 由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C．


[答案] C


4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )


A．2 B．2或4


C．4 D．0


[解析] 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A．故选B．


[答案] B


5．由实数－a，a，|a|，eq \r(a2)所组成的集合最多含有的元素个数是( )


A．1 B．2


C．3 D．4


[解析] 当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，eq \r(a2)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a>0，,－a，a<0，))所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B．


[答案] B


二、填空题


6．给出下列关系： ①eq \f(1,3)∈Z；②eq \r(5)∈R；③|－5|∉N＋；


④|－eq \f(\r(3),2)|∈Q；⑤π∈R.


其中，正确的个数为________．


[解析] 由Z，R，Q，N＋的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正确的个数为2.


[答案] 2


7．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a满足的条件是________．


[解析] 由元素的互异性，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2≠4，,2－a≠4，,a2≠2－a，))


即a≠±2，且a≠1.


[答案] a≠±2且a≠1


8．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．


[解析] ①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中元素为－3，－1，－4，满足题意．


②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．


③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意．


综上可知：a＝0或a＝1.


[答案] 0或1


三、解答题


9．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．


[解] 因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.


①当x＝0时，x2＝0，B中元素为0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．


②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．


综上知：x＝1，y＝0.


10．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.


(1)求实数x应满足的条件；


(2)若－2∈A，求实数x.


[解] (1)由集合中元素的互异性可知，x≠3.


且x≠x2－2x，x2－2x≠3.


解之得x≠－1，且x≠0，x≠3.


(2)由－2∈A，知x＝－2或x2－2x＝－2，


当x＝－2时，x2－2x＝(－2)2－2×(－2)＝8.


此时A中含有三个元素3，－2,8满足条件．


当x2－2x＝－2，


即x2－2x＋2＝0时，Δ＝(－2)2－4×1×2＝4－8<0，


故方程无解，显然x2－2x≠－2.


综上，x＝－2.


综合运用


11．下面有四个命题：


①集合N中最小的数是1；


②若－a不属于N，则a属于N；


③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；


④x2＋1＝2x的解构成的集合有两个元素．


其中正确命题的个数为( )


A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


[解析] ①最小的数应该是0；②反例：－0.5∉N，且0.5∉N；③当a＝0，b＝1时，a＋b＝1；④因为元素的互异性，故集合中有一个元素．


[答案] A


12．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )


A．梯形 B．平行四边形


C．菱形 D．矩形


[解析] 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．


[答案] A


13．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2

[解析] ∵x∈N,2

∴整数a为6.


[答案] 6


14．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，eq \f(b,a)，b.若集合A与集合B相等，则b－a的值为______．


[解析] 由题意可知a＋b＝0且a≠0，∴a＝－b，


∴eq \f(b,a)＝－1.∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.


[答案] 2


15．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．


[解] ∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，


若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．


若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；


B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．


当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．


综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.