人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换获奖第4课时教学设计

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1．理解二倍角公式的推导．


2．掌握二倍角公式及变形公式，并能用这些公式解决相关问题．





二倍角公式





温馨提示：二倍角的“广义理解”


二倍角是相对的，如4α是2α的二倍，α是eq \f(α,2)的二倍等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想．





判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )


(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．( )


(3)对任意角α，总有tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α).( )


(4)cs2α－sin2α＝1－2sin2α.( )


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√





题型一 给角求值


【典例1】 求下列各式的值：


(1)sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)；


(2)1－2sin2750°；


(3)eq \f(2tan150°,1－tan2150°)；


(4)cs20°cs40°cs80°.


[思路导引] (1)逆用正弦的二倍角公式求解；(2)逆用二倍角余弦公式求解；(3)逆用二倍角正切公式求解；(4)需分子分母同乘2sin20°，凑正弦的二倍角公式求解．


[解] (1)原式＝eq \f(2sin\f(π,12)cs\f(π,12),2)＝eq \f(sin\f(π,6),2)＝eq \f(1,4).


(2)原式＝cs(2×750°)＝cs1500°


＝cs(4×360°＋60°)＝cs60°＝eq \f(1,2).


(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°


＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－eq \r(3).


(4)原式＝eq \f(2sin20°·cs20°·cs40°·cs80°,2sin20°)


＝eq \f(2sin40°·cs40°·cs80°,4sin20°)＝eq \f(2sin80°·cs80°,8sin20°)


＝eq \f(sin160°,8sin20°)＝eq \f(1,8).











(1)记住公式的推导过程及公式特征以便于应用．


(2)与公式不符，但是适当变形后就可套用公式的，要先变形化简再求值．





[针对训练]


1．求下列各式的值．


(1)sineq \f(π,8)sineq \f(3π,8)＝________；


(2)eq \f(1,2)－cs215°＝________；


(3)eq \f(1－tan215°,tan15°)＝________.


[解析] (1)∵sineq \f(3π,8)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,8)))＝cseq \f(π,8)，


∴sineq \f(π,8)sineq \f(3π,8)＝sineq \f(π,8)cseq \f(π,8)＝eq \f(1,2)·2sineq \f(π,8)cseq \f(π,8)


＝eq \f(1,2)sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),4).


(2)原式＝eq \f(1,2)(1－2cs215°)＝－eq \f(1,2)cs30°＝－eq \f(\r(3),4).


(3)原式＝eq \f(2,tan30°)＝2eq \r(3).


[答案] (1)eq \f(\r(2),4) (2)－eq \f(\r(3),4) (3)2eq \r(3)


题型二 条件求值


【典例2】 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α