必修 第一册5.1 任意角和弧度制精品教案及反思

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第五章 三角函数


5．1 任意角和弧度制


5．1.1 任意角








1．了解任意角的概念及角的分类．


2．理解象限角的概念．


3．理解终边相同的角的概念，并能熟练写出终边相同的角的集合表示．





1．任意角


(1)角的概念


角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．


(2)角的表示





如图，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，射线OA，OP分别是角α的始边和终边．


“角α”或“∠α”可以简记成“α”．


(3)角的分类





(4)相等角与相反角


①设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.


②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.


③设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.


④角的减法可以转化为角的加法．


2．象限角


把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．


3．终边相同的角


所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．


温馨提示：对终边相同的角的理解


(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．


(2)k·360°与α中间用“＋”连接，如k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．





1．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？


[答案] 不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°





2．初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？


[答案] 不相等．角 α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角


3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)当角的始边和终边确定后，这个角就确定了．( )


(2)－30°是第四象限角．( )


(3)钝角是第二象限的角．( )


(4)终边相同的角一定相等．( )


(5)第一象限的角是锐角．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×





题型一 任意角的概念


【典例1】 下列命题正确的是( )


A．终边与始边重合的角是零角


B．终边和始边都相同的两个角一定相等


C．在90°≤β