人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）公开课教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）公开课教案，共16页。







1．理解二分法的原理及其适用条件．


2．掌握二分法的实施步骤．


3．体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．





1．二分法的定义


对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．


温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．


2．二分法求函数零点的一般步骤


给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的一般步骤如下：


(1)确定x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；


(2)求区间(a，b)的中点c；


(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间


①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；


②若f(a)·f(c)<0(此时零点x0∈(a，c))，则令b＝c；





③若f(c)·f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.


(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．





1．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难得多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长的线路，大约有200多根电线杆子(如下图)：





(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？


(2)在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障？


[答案] (1)首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正确，断定故障在BC段，再取中点D，再测CD和BD


(2)能


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( )


(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．( )


(3)精确度ε就是近似值．( )


(4)由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．( )


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√








题型一 二分法的概念


【典例1】 (1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )


A．y＝x＋7B．y＝5x－1


C．y＝lg3xD．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－x


(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )








[思路导引] 依据二分法的定义进行判断．


[解析] (1)选项A、B、C中的函数可以直接求得零点，而选项D中的函数不可直接求得，必须用二分法求得．


(2)按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.


[答案] (1)D (2)A














二分法的2个适用条件


(1)函数图象在零点附近连续不断．


(2)在该零点左右函数值异号．





[针对训练]


1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )





A．x1B．x2


C．x3D．x4


[解析] 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.


[答案] C


题型二 用二分法求方程的近似解


【典例2】 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．


[思路导引] 确定初始区间，再用二分法求解．


[解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，


f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，


所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，


即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．


取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，


又f(1)>0，


所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．


如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：





由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，


所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.


[变式] 若本例中的方程改为“lgx＝2－x”，其他条件不变，如何求解？


[解]





在同一坐标系中，作出y＝lgx，y＝2－x的图象如图所示，可以发现方程lgx＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．


设f(x)＝lgx＋x－2，


则f(x)的零点为x0.


用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x0∈(1,2)；


f(1.5)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.5,2)；


f(1.75)<0，f(2)>0⇒x0∈(1.75,2)，


f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875)；


f(1.75)<0，f(1.8125)>0⇒x0∈(1.75,1.8125)．


∵|1.8125－1.75|＝0.0625<0.1，


∴方程的近似解可取为1.8125.











利用二分法求方程近似解的步骤


(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z.


(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.


(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．





[针对训练]


2．求eq \r(3,3)的近似值(精确度0.1)．


[解] 令eq \r(3,3)＝x，则x3＝3；令f(x)＝x3－3，则eq \r(3,3)就是函数f(x)＝x3－3的零点．因为f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，所以可取初始区间(1,2)，用二分法计算．列表如下：








由于|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，


所以eq \r(3,3)的近似值可取为1.4375.


题型三 二分法的实际应用


【典例3】 现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？


[解] 先在天平左右各放4个球，有两种情况：


(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．


取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端．


①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；


②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”．


(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．


从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．


①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；


②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；


③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．


显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出．











二分法在实际问题中的应用


(1)二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．


(2)本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力达到目的．





[针对训练]


3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．


[解析] 将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．


[答案] 4





课堂归纳小结


1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.


2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．


3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.





1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )


A．[－2,1]B．[－1,0]


C．[0,1]D．[1,2]


[解析] ∵f(－2)＝－3，f(1)＝6，∴f(－2)·f(1)<0.∴初始区间可取[－2,1]，选A.


[答案] A


2．已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表：


那么，函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )


A．5个B．4个


C．3个D．2个


[解析] ∵f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，f(6)<0，∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点．


[答案] C


3．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是( )


A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点


B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点


C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点


D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点


[解析] 由f(1)f(2)f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)三个都为负或只有一个为负，又因为f(0)>0，∴函数f(x)在(0,4)内有零点．


[答案] D


4．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝eq \f(3,2)，则下一个含解的区间是________．


[解析] 令f(x)＝lnx－2＋x，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝lneq \f(3,2)－eq \f(1,2)<0，∴下一个含解的区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2)).


[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))


5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：


据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)．


[解] 由表中f(1.5625)＝0.003，f(1.5562)＝－0.029.


∴f(1.5625)·f(1.5562)<0.


又|1.5625－1.5562|＝0.0063<0.01，


∴一个零点近似值为1.5625(不唯一)．





课后作业(三十五)


复习巩固


一、选择题


1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )


A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝lnx＋3


C．f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1


[解析] 因为f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2＝(x＋eq \r(2))2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．


[答案] C


2．下列函数中表示的函数能用二分法求零点的是( )





[解析] 由于只有图C满足图象连续，且f(a)·f(b)<0，故只有C能用二分法求零点．


[答案] C


3．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )


A．用二分法可求所有函数零点的近似值


B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位


C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成


D．只能用二分法求函数的零点


[解析] 用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.


[答案] B


4．设函数y＝x2与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )


A．(0,1)B．(1,2)


C．(2,3)D．(3,4)


[解析] 令f(x)＝x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2，


因f(1)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－2＝1－2<0，


f(2)＝22－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝4－1>0，


故x0∈(1,2)，故选B.


[答案] B


5．设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的解落在区间( )


A．(2,2.25)B．(2.25,2.5)


C．(2.5,2.75)D．(2.75,3)


[解析] 因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)，选C.


[答案] C


二、填空题


6．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．


[解析] 因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．


[答案] (2,3)


7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．


[解析] ∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.


[答案] a2＝4b


8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：


那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为________．


[解析] 依据题意，∵f(1.4375)≈0.162，且f(1.375)≈－0.260，∴方程的一个近似解为1.4.


[答案] 1.4


三、解答题


9．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的解的情况．


[解] 图象如图所示，





因为f(0)＝－1<0，f(2)＝1>0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有解x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1<0，所以f(1)·f(2)<0，解x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25<0，所以f(1.5)·f(2)<0，解x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.3125>0，所以f(1.5)·f(1.75)<0，解x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似解．


10．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．


[证明] 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．


下面用二分法求解：


因为f(1.1875)·f(1.25)<0，且|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.


综合运用


11．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )


A．[1,4]B．[－2,1]


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))


[解析] 由于第一次所取的区间为[－2,4]，


∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，


第三次所取区间为


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))或eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，4)).


[答案] D


12．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：


则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )


A．1.125B．1.3125


C．1.4375D．1.46875


[解析] 因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解，故选B.


[答案] B


13．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )


A．6B．7


C．8D．9


[解析] 函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为eq \f(1,27)<0.01.


[答案] B


14．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)


[解析] ∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，


∴方程的解在(0.6875,0.75)上，而|0.75－0.6875|<0.1.


∴方程的一个近似解为0.6875.


[答案] 0.6875


15．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是_____________．


[解析] 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．


[答案] 1.5,1.75,1.875,1.8125


16．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正实数解(精确度为0.1)．


[解] 令f(x)＝x2－5，


因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，


所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，


取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29>0，


因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)．


再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625>0，


因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)．


由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，


所以原方程的近似正实数解可取为2.25.


x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
132.1
15.4
－2.31
8.72
－6.31
－125.1
12.6
f(1.6000)＝0.200
f(1.5875)＝0.133
f(1.5750)＝0.067
f(1.5625)＝0.003
f(1.5562)＝－0.029
f(1.5500)＝－0.060
f(1)≈－2
f(1.5)≈0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.40625)≈－0.054
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
1.328
(1,1.5)
1.25
0.128
(1,1.25)
1.125
－0.444
(1.125,1.25)
1.1875
－0.160
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.0794
0.1918
－0.3604
－0.9989