高中第五章 三角函数5.7 三角函数的应用精品练习题

这是一份高中第五章 三角函数5.7 三角函数的应用精品练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )


A.eq \f(1,50) B．50 C.eq \f(1,100) D．100


[解析] T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50).


[答案] A


2．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( )


A.eq \f(g,π) B.eq \f(g,2π) C.eq \f(g,π2) D.eq \f(g,4π2)


[解析] T＝eq \f(2π,\r(\f(g,l)))＝1，∴2π＝eq \r(\f(g,l))，∴l＝eq \f(g,4π2)，故选D.


[答案] D


3．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：


则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )


A．10000元 B．9500元


C．9000元 D．8500元


[解析] 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取eq \f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)x＋π))＋9500，当x＝3时，y＝9000.


[答案] C


4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )


A．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)


B．f(x)＝9sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))(1≤x≤12，x∈N*)


C．f(x)＝2eq \r(2)sineq \f(π,4)x＋7(1≤x≤12，x∈N*)


D．f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)


[解析] 令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝eq \f(9－5,2)＝2可排除C；或由题意，可得A＝eq \f(9－5,2)＝2，b＝7，周期T＝eq \f(2π,ω)＝2×(7－3)＝8，∴ω＝eq \f(π,4).


∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ))＋7.


∵当x＝3时，y＝9，


∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＋7＝9，


即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝1.


∵|φ|

∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x－\f(π,4)))＋7(1≤x≤12，x∈N*)．


[答案] A


5．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )





A．该质点的振动周期为0.7 s


B．该质点的振幅为－5 cm


C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大


D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零


[解析] 该质点的振动周期为T＝2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以C是错误的．故选D.


[答案] D


二、填空题


6．如图某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________m.





[解析] 由题图可知－3＋k＝2，k＝5，


y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋5，∴ymax＝3＋5＝8.


[答案] 8


7．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．





[解析] 过O作水平线的垂线，垂足为Q，由已知可得：OQ＝3，OP＝6，则cs∠POQ＝eq \f(1,2)，即∠POQ＝60°，则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即eq \f(1,3)个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故用时为15×eq \f(1,3)＝5秒．


[答案] 5


8．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24小时内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________，x∈[0,24]．





[解析] 将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知，A＝6，T＝12，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).将(6,0)看成函数图象的第一个特殊点，则eq \f(π,6)×6＋φ＝0，∴φ＝－π.∴函数关系式为y＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－π))＝－6sineq \f(π,6)x.


[答案] y＝－6sineq \f(π,6)x


三、解答题


9．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：





经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acsωt＋b.


(1)根据以上数据，求函数y＝Acsωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；


(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？


[解] (1)由表中数据，知周期T＝12.∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6).


由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，


由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，


∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为eq \f(1,2)，∴y＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1.


(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，


∴eq \f(1,2)cseq \f(π,6)t＋1>1，∴cseq \f(π,6)t>0.


∴2kπ－eq \f(π,2)

即12k－3

∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，


得0≤t<3或9

∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9∶00至下午3∶00.


综合运用


10．有一冲击波，其波形为函数y＝－sineq \f(πx,2)的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )


A．5 B．6 C．7 D．8


[解析] 由y＝－sineq \f(πx,2)的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－eq \f(T,4)＝eq \f(7T,4)，


即t≥eq \f(7,4)·eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(7,4)·eq \f(2π,\f(π,2))＝7.故选C.


[答案] C


11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )


A．[0,1] B．[1,7]


C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]


[解析] 由已知可得该函数具有周期性，其周期T＝12，不妨设该函数为y＝asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).


又∵当t＝0时，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，t∈[0,12]．可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．


[答案] D





12.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是________．





[解析] 当t＝0时，θ＝eq \f(1,2)sineq \f(π,2)＝eq \f(1,2)，由函数解析式易知单摆周期为eq \f(2π,2)＝π，故单摆频率为eq \f(1,π).


[答案] eq \f(1,2)，eq \f(1,π)


13．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.





(1)求h与θ之间的函数关系式；


(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB；求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？








[解] (1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－eq \f(π,2).





故B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4.8cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))，4.8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2))))).


∴h＝5.6＋4.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,2)))，θ∈[0，＋∞)．


(2)点A在圆上转动的角速度是eq \f(π,30)，


故t秒转过的弧度数为eq \f(π,30)t，


∴h＝5.6＋4.8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,2)))，


t∈[0，＋∞)．


到达最高点时，h＝10.4 m.


由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＝1.


得eq \f(π,30)t－eq \f(π,2)＝eq \f(π,2)，∴t＝30.


∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．





x
1
2
3
y
10000
9500
？
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5