高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式精品课后复习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式精品课后复习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．下列各式中，不正确的是( )


A．sin(180°－α)＝sinα


B．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180°＋α,2)))＝sineq \f(α,2)


C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sinα


D．tan(－α)＝－tanα


[解析] 由诱导公式知A、D正确．


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)－α))


＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sinα，故C正确．


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180°＋α,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°＋\f(α,2)))


＝－sineq \f(α,2)，故B不正确．


[答案] B


2．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是( )


A．第一象限角 B．第二象限角


C．第三象限角 D．第四象限角


[解析] 由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝csθ<0，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sinθ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.


[答案] B


3．若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))等于( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


[解析] 因为sin(3π＋α)＝－sinα＝－eq \f(1,2)，所以sinα＝eq \f(1,2)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝－eq \f(1,2).


[答案] A


4．已知cs31°＝m，则sin239°tan149°的值是( )


A.eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2)


C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)


[解析] sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)


＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)


＝－cs31°·(－tan31°)＝sin31°


＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).


[答案] B


5.eq \f(sin2π－α·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))csπ－α,tanα－3πsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－2α)))等于( )


A．－csα B．csα


C．sinα D．－sinα


[解析] 原式＝eq \f(sin－α·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))·－csα,tanα·csα·sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α)))))


＝eq \f(sinαcsα·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α)),tanαcsα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α)))))＝－csα.故选A.


[答案] A


二、填空题


6．化简eq \f(sin400°sin－230°,cs850°tan－50°)的结果为________．


[解析] eq \f(sin400°sin－230°,cs850°tan－50°)＝


eq \f(sin360°＋40°[－sin180°＋50°],cs720°＋90°＋40°－tan50°)＝eq \f(sin40°sin50°,sin40°tan50°)


＝eq \f(sin50°,\f(sin50°,cs50°))＝cs50°.


[答案] cs50°


7．已知csα＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan(π－α)＝________.


[解析] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))tan(π－α)


＝－csαsinα(－tanα)＝sin2α＝1－cs2α


＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(8,9).


[答案] eq \f(8,9)


8．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝________.


[解析] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))＝－eq \f(1,3).


[答案] －eq \f(1,3)


三、解答题


9．求证：eq \f(csπ－θ,csθ\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))－1)))＋


eq \f(cs2π－θ,csπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝eq \f(2,sin2θ).


[证明] 左边＝eq \f(－csθ,csθ－csθ－1)＋eq \f(csθ,－csθcsθ＋csθ)


＝eq \f(1,1＋csθ)＋eq \f(1,1－csθ)＝eq \f(1－csθ＋1＋csθ,1＋csθ1－csθ)


＝eq \f(2,1－cs2θ)＝eq \f(2,sin2θ)＝右边．


∴原式成立．


10．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．


[解] 原式＝


eq \f(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)－α)),sinαcsα)·tan2α


＝eq \f(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),sinαcsα)·tan2α


＝eq \f(－csαsinα,sinαcsα)·tan2α＝－tan2α.


方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，又α是第三象限角，∴sinα＝－eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，∴tanα＝eq \f(3,4)，故原式＝－tan2α＝－eq \f(9,16).


综合运用


11．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )


A．89 B．90 C.eq \f(89,2) D．45


[解析] ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cs21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cs22°＝1，…


∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cs244°＋cs243°＋…＋cs23°＋cs22°＋cs21°＝44＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2).


[答案] C


12．在△ABC中，eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，且csA＝－eq \r(3)cs(π－B)，则C＝________.


[解析] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)csA＝3sinA， ①,csA＝\r(3)csB， ②))


由①得tanA＝eq \f(\r(3),3)，故A＝eq \f(π,6).


由②得csB＝eq \f(cs\f(π,6),\r(3))＝eq \f(1,2)，故B＝eq \f(π,3).故C＝eq \f(π,2).


[答案] eq \f(π,2)


13．已知f(α)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs－π－αtanπ－α)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))的值为________．


[解析] ∵f(α)＝eq \f(－sinα－csα,－csα－tanα)＝csα，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25,3)π))＝cseq \f(25,3)π


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).


[答案] eq \f(1,2)


14．若f(csx)＝cs2x，则f(sin15°)＝________.


[解析] f(sin15°)＝f(cs75°)＝cs150°＝－cs30°＝－eq \f(\r(3),2).


[答案] －eq \f(\r(3),2)


15．已知cs(15°＋α)＝eq \f(3,5)，α为锐角，求eq \f(tan435°－α＋sinα－165°,cs195°＋α·sin105°＋α)的值．


[解] 原式＝eq \f(tan360°＋75°－α－sinα＋15°,cs180°＋15°＋α·sin[180°＋α－75°])


＝eq \f(tan75°－α－sinα＋15°,－cs15°＋α·[－sinα－75°])


＝－eq \f(1,cs15°＋α·sin15°＋α)＋


eq \f(sinα＋15°,cs15°＋α·cs15°＋α).


因为α为锐角，所以0°<α<90°，所以15°<α＋15°<105°.


又cs(15°＋α)＝eq \f(3,5)，所以sin(15°＋α)＝eq \f(4,5)，


故原式＝－eq \f(1,\f(3,5)×\f(4,5))＋eq \f(\f(4,5),\f(3,5)×\f(3,5))＝eq \f(5,36).