数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品同步达标检测题

这是一份数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品同步达标检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．不等式eq \f(4x＋2,3x－1)>0的解集是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x>\f(1,3)或x<－\f(1,2)))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))－\f(1,2)

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x>\f(1,3)))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x<－\f(1,2)))


[解析] eq \f(4x＋2,3x－1)>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>eq \f(1,3)或x<－eq \f(1,2)，此不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x>\f(1,3)或x<－\f(1,2))).


[答案] A


2．不等式eq \f(2－x,x＋1)<1的解集是( )


A．{x|x>1} B．{x|－1

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x<－1或x>\f(1,2))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))－1

[解析] 原不等式等价于eq \f(2－x,x＋1)－1<0⇔eq \f(1－2x,x＋1)<0⇔(x＋1)·(1－2x)<0⇔(2x－1)(x＋1)>0，解得x<－1或


x>eq \f(1,2).


[答案] C


3．不等式eq \f(x＋5,x－12)≥2的解集是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤x≤\f(1,2)))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x<1或1

D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3且x≠1))))


[解析] ∵原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋5≥2x－12，,x≠1，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－5x－3≤0，,x≠1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3，,x≠1，))


即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3且x≠1)))).


[答案] D


4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )





A．15≤x≤30 B．12≤x≤25


C．10≤x≤30 D．20≤x≤30


[解析] 设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.


[答案] C


5．设集合P＝{m|－4

A．PQ B．QP


C．P＝Q D．P∩Q＝Q


[解析] 对Q：若mx2－mx－1<0对x∈R恒成立，则：①当m＝0时，－1<0恒成立．②当m≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))解得－4

由①②得Q＝{m|－4

[答案] A


二、填空题


6．不等式eq \f(x＋1,x)≤3的解集为________．


[解析] eq \f(x＋1,x)≤3⇔eq \f(x＋1,x)－3≤0⇔eq \f(2x－1,x)≥0⇒x(2x－1)≥0且x≠0，解得x<0或x≥eq \f(1,2).


[答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x<0或x≥\f(1,2)))


7．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．


[解析] 由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥eq \f(4,3).


[答案] m≥eq \f(4,3)


8．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．


[解析] 由Δ1<0即a2－4(－a)<0得－4

[答案] －4

三、解答题


9．解下列分式不等式：


(1)eq \f(x＋1,2x－3)≤1；


(2)eq \f(2x＋1,1－x)<0.


[解] (1)∵eq \f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq \f(x＋1,2x－3)－1≤0，


∴eq \f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq \f(x－4,x－\f(3,2))≥0.


此不等式等价于(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq \f(3,2)≠0，


解得x

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x≥4)))).


(2)由eq \f(2x＋1,1－x)<0得eq \f(x＋\f(1,2),x－1)>0，


此不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))(x－1)>0，


解得x<－eq \f(1,2)或x>1，


∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>1)))).


10．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．


[解] 当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，


所以a＝2时成立．


当a－2≠0时，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2<0，,Δ<0.))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<2，,4a－22－4a－2－4<0.))解得－2

综上所述可知：－2

综合运用


11．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是


________.


[解析] 根据定义得(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－eq \f(1,2)

[答案] －eq \f(1,2)

12．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合为________．


[解析] ①当a＝0时，满足题意；


②当a≠0时，应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ≤0，))解得0

综上可知，a值的集合为{a|0≤a≤4}．


[答案] {a|0≤a≤4}


13．已知关于x的不等式eq \f(ax－1,x＋1)<0的解集是


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))x<－1或x>－\f(1,2)))，则a＝________.


[解析] eq \f(ax－1,x＋1)<0⇔(ax－1)(x＋1)<0，根据解集的结构可知，a<0且eq \f(1,a)＝－eq \f(1,2)，∴a＝－2.


[答案] －2


14．已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，则a的取值范围为________．


[解析] ∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a<0恒成立，∴当2≤x≤3时，a<－2x2＋9x恒成立．


令y＝－2x2＋9x.


∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝eq \f(9,4)，


∴ymin＝9，∴a<9.


∴a的取值范围为a<9.


[答案] a<9


15．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.


(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；


(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?


注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．


[解] (1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至eq \f(k,x－0.4)＋a，电力部门的收益为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,x－0.4)＋a))


(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．


(2)依题意，有


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.2a,x－0.4)＋a))x－0.3≥[a×0.8－0.3]1＋20%，,0.55≤x≤0.75.))


整理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1.1x＋0.3≥0，,0.55≤x≤0.75.))解此不等式，得0.60≤x≤0.75.


∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.