高中数学2.2 基本不等式第1课时复习练习题

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1．若ab>0，则下列不等式不一定能成立的是( )


A．a2＋b2≥2ab B．a2＋b2≥－2ab


C．eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab) D．eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2


[解析] C选项由条件可得到a、b同号，当a、b均为负号时，不成立．


[答案] C


2．已知a>1，则eq \f(a＋1,2)，eq \r(a)，eq \f(2a,a＋1)三个数的大小顺序是( )


A.eq \f(a＋1,2)

C.eq \f(2a,a＋1)

[解析] 当a，b是正数时，eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a，b∈R＋)，令b＝1，得eq \f(2a,a＋1)≤eq \r(a)≤eq \f(a＋1,2).又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，选C.


[答案] C


3.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立的条件是________．


[解析] 只要eq \f(b,a)与eq \f(a,b)都为正，即a、b同号即可．


[答案] a与b同号


4．设a，b，c都是正数，试证明不等式：eq \f(b＋c,a)＋eq \f(c＋a,b)＋eq \f(a＋b,c)≥6.


[证明] 因为a>0，b>0，c>0，


所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)≥2，eq \f(b,c)＋eq \f(c,b)≥2，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,c)＋\f(c,b)))≥6，


当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)，eq \f(c,a)＝eq \f(a,c)，eq \f(c,b)＝eq \f(b,c)，


即a＝b＝c时，等号成立．


所以eq \f(b＋c,a)＋eq \f(c＋a,b)＋eq \f(a＋b,c)≥6.