高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀测试题
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一、选择题
1.在△ABC中,A=eq \f(π,4),csB=eq \f(\r(10),10),则sinC等于( )
A.eq \f(2\r(5),5) B.-eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(\r(5),5) D.-eq \f(\r(5),5)
[解析] ∵csB=eq \f(\r(10),10),∴B为锐角
∴sinB=eq \r(1-cs2B)=eq \f(3\r(10),10).
又∵sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sineq \f(π,4)csB+cseq \f(π,4)sinB
=eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(10),10)+eq \f(\r(2),2)×eq \f(3\r(10),10)=eq \f(8\r(5),20)=eq \f(2\r(5),5)
[答案] A
2.计算cs(80°+2α)cs(65°+2α)+sin(80°+2α)sin(65°+2α)的值为( )
A.eq \f(\r(2)-\r(6),4) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(6)+\r(2),4) D.eq \f(1,2)
[解析] 原式=cs[(80°+2α)-(65°+2α)]
=cs15°=cs(45°-30°)=eq \f(\r(2)+\r(6),4).
[答案] C
3.eq \f(1,2)sin15°-eq \f(\r(3),2)cs15°的值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.-eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.-eq \f(1,2)
[解析] 原式=sin30°·sin15°-cs30°·cs15°
=-(cs30°·cs15°-sin30°·sin15°)
=-cs(30°+15°)=-cs45°=-eq \f(\r(2),2).
[答案] B
4.已知sinα=eq \f(2\r(2),3),cs(α+β)=-eq \f(1,3),且α,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),则sinβ等于( )
A.-eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.-eq \f(1,3) D.eq \f(4\r(2),9)
[解析] 因为sinα=eq \f(2\r(2),3),cs(α+β)=-eq \f(1,3),且α,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),所以csα=eq \f(1,3),sin(α+β)=eq \f(2\r(2),3).
sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)csα-cs(α+β)sinα=eq \f(4\r(2),9),故选D.
[答案] D
5.已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,6)))+sinα=eq \f(4,5)eq \r(3),则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(7π,6)))的值是( )
A.-eq \f(2\r(3),5) B.eq \f(2\r(3),5) C.-eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
[解析] 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,6)))+sinα=eq \f(4\r(3),5),
所以eq \f(\r(3),2)csα+eq \f(3,2)sinα=eq \f(4,5)eq \r(3),
eq \r(3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)csα+\f(\r(3),2)sinα))=eq \f(4,5)eq \r(3),
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,6)))=eq \f(4,5).
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(7π,6)))=-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,6)))=-eq \f(4,5),故选C.
[答案] C
二、填空题
6.形如eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a bc d))的式子叫做行列式,其运算法则为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a bc d))=ad-bc,则行列式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3) sin\f(π,6),sin\f(π,3) cs\f(π,6)))的值是________.
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3) sin\f(π,6),sin\f(π,3) cs\f(π,6)))=cseq \f(π,3)cseq \f(π,6)-sineq \f(π,3)sineq \f(π,6)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)+\f(π,6)))=cseq \f(π,2)=0.
[答案] 0
7.若cs(α+β)=eq \f(1,5),cs(α-β)=eq \f(3,5),则tanα·tanβ=_____.
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csα+β=\f(1,5),csα-β=\f(3,5),))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csαcsβ-sinαsinβ=\f(1,5),,csαcsβ+sinαsinβ=\f(3,5).))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csα·csβ=\f(2,5),,sinα·sinβ=\f(1,5),))
所以tanα·tanβ=eq \f(sinαsinβ,csαcsβ)=eq \f(1,2).
[答案] eq \f(1,2)
8.A,B均为锐角,cs(A+B)=-eq \f(24,25),sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B+\f(π,3)))=eq \f(3,5),则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A-\f(π,3)))=________.
[解析] 因为A,B均为锐角,
cs(A+B)=-eq \f(24,25),sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B+\f(π,3)))=eq \f(3,5),
所以0
可得sin(A+B)=eq \r(1-cs2A+B)=eq \f(7,25),
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B+\f(π,3)))=-eq \r(1-sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B+\f(π,3))))
=-eq \f(4,5),可得
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A-\f(π,3)))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(A+B-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B+\f(π,3)))))
=eq \f(7,25)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5)))-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(24,25)))×eq \f(3,5)=eq \f(44,125).
[答案] eq \f(44,125)
三、解答题
9.已知sin(α-β)csα-cs(β-α)sinα=eq \f(4,5),β是第三象限角,求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β+\f(π,4)))的值.
[解] ∵sin(α-β)csα-cs(β-α)sinα
=sin(α-β)csα-cs(α-β)sinα
=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sinβ=eq \f(4,5),
∴sinβ=-eq \f(4,5),又β是第三象限角,
∴csβ=-eq \r(1-sin2β)=-eq \f(3,5).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β+\f(π,4)))=sinβcseq \f(π,4)+csβsineq \f(π,4)
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)
=-eq \f(7\r(2),10).
10.化简:sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,3)))+2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))-eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)-x)).
[解] 原式=sinxcseq \f(π,3)+csxsineq \f(π,3)+2sinxcseq \f(π,3)-2csxsineq \f(π,3)-eq \r(3)cseq \f(2π,3)csx-eq \r(3)sineq \f(2π,3)sinx=eq \f(1,2)sinx+eq \f(\r(3),2)csx+sinx-eq \r(3)csx+eq \f(\r(3),2)csx-eq \f(3,2)sinx
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)+1-\f(3,2)))sinx+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)-\r(3)+\f(\r(3),2)))csx=0.
综合运用
11.在△ABC中,2csBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
[解析] ∵在△ABC中,C=π-(A+B),∴2csBsinA=sin[π-(A+B)]
=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB.
∴-sinAcsB+csAsinB=0,
即sin(B-A)=0,∴A=B.故选A.
[答案] A
12.若eq \r(3)sinx+csx=4-m,则实数m的取值范围是( )
A.2≤m≤6 B.-6≤m≤6
C.2
[解析] ∵eq \r(3)sinx+csx=4-m,
∴eq \f(\r(3),2)sinx+eq \f(1,2)csx=eq \f(4-m,2),
∴sineq \f(π,3)sinx+cseq \f(π,3)csx=eq \f(4-m,2),
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))=eq \f(4-m,2).∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(π,3)))))≤1,
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4-m,2)))≤1,∴2≤m≤6.
[答案] A
13.eq \f(sin27°+cs45°sin18°,cs27°-sin45°sin18°)=________.
[解析] 原式=eq \f(sin45°-18°+cs45°sin18°,cs45°-18°-sin45°sin18°)
=eq \f(sin45°cs18°-cs45°sin18°+cs45°sin18°,cs45°cs18°+sin45°sin18°-cs45°sin18°)
=tan45°=1.
[答案] 1
14.已知sinα-csβ=eq \f(1,2),csα-sinβ=eq \f(1,3),则sin(α+β)=________.
[解析] 由sinα-csβ=eq \f(1,2)两边平方得
sin2α-2sinαcsβ+cs2β=eq \f(1,4),①
由csα-sinβ=eq \f(1,3)两边平方得
cs2α-2csαsinβ+sin2β=eq \f(1,9),②
①+②得:(sin2α+cs2α)-2(sinαcsβ+csαsinβ)+(cs2β+sin2β)=eq \f(1,4)+eq \f(1,9).
∴1-2sin(α+β)+1=eq \f(13,36).∴sin(α+β)=eq \f(59,72).
[答案] eq \f(59,72)
15.已知csα=eq \f(\r(5),5),sin(α-β)=eq \f(\r(10),10),且α,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))).
求:(1)sin(2α-β)的值;
(2)β的值.
[解] (1)因为α,β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),
所以α-β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,2),\f(π,2))),
又sin(α-β)=eq \f(\r(10),10)>0,所以0<α-β
所以sinα=eq \r(1-cs2α)=eq \f(2\r(5),5),
cs(α-β)=eq \r(1-sin2α-β)=eq \f(3\r(10),10),
sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]
=sinαcs(α-β)+csαsin(α-β)
=eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)+eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)=eq \f(7\r(12),10).
(2)csβ=cs[α-(α-β)]
=csαcs(α-β)+sinαsin(α-β)
=eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)+eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)=eq \f(\r(2),2),
又因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),所以β=eq \f(π,4).
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