高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的定义域为( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)，x∈R))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,4)，x∈R))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，x∈R，k∈Z))))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(3π,4)，x∈R，k∈Z))))


[解析] ∵y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))


∴x－eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)


即x≠kπ＋eq \f(3π,4)，(k∈Z)．


[答案] D


2．与函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的图象不相交的一条直线是( )


A．x＝eq \f(π,2) B．x＝－eq \f(π,2)


C．x＝eq \f(π,4) D．x＝eq \f(π,8)


[解析] 当x＝eq \f(π,8)时，2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，而eq \f(π,2)的正切值不存在，所以直线x＝eq \f(π,8)与函数的图象不相交．故选D.


[答案] D


3．函数y＝eq \f(tanx,1＋csx)( )


A．是奇函数


B．是偶函数


C．既是奇函数，又是偶函数


D．既不是奇函数，又不是偶函数


[解析] 函数的定义域为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)))且x≠π＋2kπ，k∈Z))，关于原点对称．


设y＝f(x)＝eq \f(tanx,1＋csx)，


则f(－x)＝eq \f(tan－x,1＋cs－x)＝eq \f(－tanx,1＋csx)＝－f(x)．


所以y＝f(x)是奇函数．故选A.


[答案] A


4．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq \f(π,4)所得线段长为eq \f(π,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值是( )


A．0 B．1


C．－1 D.eq \f(π,4)


[解析] 由题意，T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,4)，∴ω＝4，∴f(x)＝tan4x, feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝tanπ＝0，故选A.


[答案] A


5．方程taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝eq \r(3)在[0,2π)上的解的个数是( )


A．5 B．4


C．3 D．2


[解析] 由题意知，2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，又x∈[0,2π)．所以x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，共4个．故选B.


[答案] B


二、填空题


6．函数y＝tanxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤x≤\f(3π,4)，且x≠\f(π,2)))的值域是________．


[解析] 因为y＝tanx在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))上都是增函数，


所以y≥taneq \f(π,4)＝1或y≤taneq \f(3π,4)＝－1.


[答案] (－∞，－1]∪[1，＋∞)


7．使函数y＝2tanx与y＝csx同时单调递增的区间是________．


[解析] 由y＝2tanx与y＝csx的图象知，同时单调递增的区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ))(k∈Z)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋π，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．


[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ))(k∈Z)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋π，2kπ＋\f(3π,2)))


(k∈Z)


8．已知函数f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．


[解析] 设g(x)＝x＋tanx，显然g(x)为奇函数．


∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，


∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.


[答案] 0


三、解答题


9．设函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))).


(1)求函数f(x)的周期，对称中心；


(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．


[解] (1)∵ω＝eq \f(1,2)，∴周期T＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,\f(1,2))＝2π.


令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，


则x＝kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，


∴f(x)的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)．


(2)令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝0，则x＝eq \f(2π,3)；令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，则x＝eq \f(5π,3)；


令eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,2)，则x＝－eq \f(π,3).


∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3)))的图象与x轴的一个交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，0))，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－eq \f(π,3)，x＝eq \f(5π,3)，从而得到函数y＝f(x)在一个周期eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))内的简图(如图)．





10．已知函数f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))(k∈N*)的最小正周期T满足1

[解] 因为1

所以1

因为k∈N*，


所以k＝3，则f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3))).


由3x－eq \f(π,3)≠eq \f(π,2)＋kπ得，x≠eq \f(5π,18)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z，定义域不关于原点对称，


所以f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))是非奇非偶函数．


由－eq \f(π,2)＋kπ<3x－eq \f(π,3)

所以f(x)＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))的单调增区间为


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)＋\f(kπ,3)，\f(5π,18)＋\f(kπ,3)))，k∈Z.


综合运用


11．下列关于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的说法正确的是( )


A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递增


B．最小正周期是2π


C．图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))成中心对称


D．图象关于直线x＝eq \f(π,6)成轴对称


[解析] 令kπ－eq \f(π,2)

[答案] C


12．已知函数y＝tanωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，则( )


A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0


C．ω≥1 D．ω≤－1


[解析] ∵y＝tanωx在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是减函数，


∴ω<0且T＝eq \f(π,|ω|)≥π.


∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.


[答案] B


13．已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))且|φ|

[解析] 由题意得eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(kπ,2)(k∈Z)，即φ＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)(k∈Z)，又|φ|

[答案] eq \f(π,6)或－eq \f(π,3)


14．函数f(x)＝lgeq \f(tanx＋1,tanx－1)为________函数(填“奇”或“偶”)．


[解析] 由eq \f(tanx＋1,tanx－1)>0，


得tanx>1或tanx<－1.


∴函数定义域为


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ－\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)关于原点对称．


f(－x)＋f(x)＝lgeq \f(tan－x＋1,tan－x－1)＋lgeq \f(tanx＋1,tanx－1)


＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－tanx＋1,－tanx－1)·\f(tanx＋1,tanx－1)))＝lg1＝0.


∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．


[答案] 奇


15．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq \r(3)]，其中


θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).


(1)当θ＝－eq \f(π,6)时，求函数的最大值和最小值；


(2)求使y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数的θ的取值范围．


[解] (1)当θ＝－eq \f(π,6)时，


f(x)＝x2－eq \f(2\r(3),3)x－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(3),3)))2－eq \f(4,3).


因为x∈[－1，eq \r(3)]，


所以当x＝eq \f(\r(3),3)时，f(x)取得最小值－eq \f(4,3)，当x＝－1时，f(x)取得最大值eq \f(2\r(3),3).


(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为x＝－tanθ.


因为y＝f(x)在区间[－1，eq \r(3)]上是单调函数，


所以－tanθ≤－1或－tanθ≥eq \r(3)，


即tanθ≥1或tanθ≤－eq \r(3).


又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


所以θ的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).