高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品综合训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．下列函数中，周期为4π的是( )


A．y＝sin4x B．y＝cs2x


C．y＝taneq \f(x,2) D．y＝sineq \f(x,2)


[解析] D中：T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，故选D.


[答案] D


2．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )


A．－4eq \r(3) B．±4eq \r(3)


C.eq \r(3) D．4eq \r(3)


[解析] ∵tan600°＝eq \f(a,－4)＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝eq \r(3)，∴a＝－4eq \r(3).


[答案] A


3．若将函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为( )


A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))


C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))


[解析] 因为T＝eq \f(2π,2)＝π，eq \f(T,4)＝eq \f(π,4)，





y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))，


所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).故选D.


[答案] D


4．对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是( )


A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是递增的


B．f(x)的图象关于原点对称


C．f(x)的最小正周期为2π


D．f(x)的最大值为2


[解析] 因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故f(x)的图象关于原点对称，选B.


[答案] B


5．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))


[解析] y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，


由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(3,2)π＋2kπ(k∈Z)，


可得eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(5,6)π＋kπ(k∈Z)，


∵x∈[0，π]，∴单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))).


[答案] C


二、填空题


6．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，则csα＝_____________.


[解析] 由tanα＝eq \f(sinα,csα)＝2，sin2α＋cs2α＝1，联立得cs2α＝eq \f(1,5)，由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))知csα<0，所以csα＝－eq \f(\r(5),5).


[答案] －eq \f(\r(5),5)


7．函数y＝eq \r(16－x2)＋eq \r(sinx)的定义域为______________．


[解析] 依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－x2≥0，,sinx≥0.))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4≤x≤4，,2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.))


如图，可得函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．





[答案] [－4，－π]∪[0，π]


8．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是__________________．


[解析] 任取x<0，则－x>0，


∴f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，又f(x)是偶函数，


∴f(－x)＝f(x)＝－sinx，故有f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，x≥0,－sinx，x<0))


[答案] f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，x≥0,－sinx，x<0))


三、解答题


9．已知tanα＝－eq \f(3,4).


(1)求2＋sinαcsα－cs2α的值；


(2)求eq \f(sin4π－αcs3π＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,2)π－α)),csπ－αsin3π－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,2)π＋α)))


的值．


[解] (1)2＋sinαcsα－cs2α


＝eq \f(2sin2α＋cs2α＋sinαcsα－cs2α,sin2α＋cs2α)


＝eq \f(2sin2α＋sinαcsα＋cs2α,sin2α＋cs2α)


＝eq \f(2tan2α＋tanα＋1,1＋tan2α)，


把tanα＝－eq \f(3,4)代入，得


原式＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))＋1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2)


＝eq \f(\f(9,8)－\f(3,4)＋1,1＋\f(9,16))＝eq \f(22,25).


(2)原式＝


eq \f(－sinα－csα－sinαcs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(7π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),－csαsinπ－α[－sinπ＋α]sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))))


＝eq \f(－sin2αcsα\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))),－csαsinα[－－sinα]sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))


＝eq \f(sin2αcsαsinα,－csαsin2αcsα)＝－eq \f(sinα,csα)＝－tanα，


把tanα＝－eq \f(3,4)代入，得原式＝eq \f(3,4).


10．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：


(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．


①y>1；②y<1.


(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．


[解] 列表如下：


描点并将它们用光滑的曲线连接起来：





(1)由图象可知图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，


所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1.


(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1

所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．


综合运用


11．化简eq \r(1－2sinπ＋4csπ＋4)等于( )


A．sin4－cs4 B．cs4－sin4


C．－sin4－cs4 D．sin4＋cs4


[解析] 原式＝eq \r(1－2sin4cs4)＝eq \r(sin4－cs42)＝


|sin4－cs4|，因为eq \f(5,4)π<4sin4.


所以|sin4－cs4|＝cs4－sin4.故选B.


[答案] B


12．函数y＝lncsxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)




[解析] ∵lncseq \f(π,4)＝lncseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝lneq \f(\r(2),2)

[答案] A


13．在△ABC中，C>eq \f(π,2)，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )


A．f(csA)>f(csB)


B．f(sinA)>f(sinB)


C．f(sinA)>f(csB)


D．f(sinA)

[解析] 由题意，在△ABC中，由C>eq \f(π,2)，可得0f(csB)，即C正确．


[答案] C


14．对于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinx，sinx≥csx，,csx，sinx

A．该函数的值域是[－1,1]


B．当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最大值1


C．当且仅当x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数取得最小值－1


D．当且仅当2kπ＋π

[解析] 画出此函数的图象(图略)，由图象容易看出：该函数的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))；当且仅当x＝2kπ＋eq \f(π,2)或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z时，函数取得最小值－eq \f(\r(2),2)；当且仅当2kπ＋π

[答案] D


15．函数f(x)＝1－2a－2acsx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．


(1)求g(a)；


(2)若g(a)＝eq \f(1,2)，求a及此时f(x)的最大值．


[解] (1)∵f(x)＝2cs2x－2acsx－2a－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx－\f(a,2)))2－eq \f(a2,2)－2a－1，且csx∈[－1,1]．


当eq \f(a,2)<－1时，则a<－2时，g(a)＝1；


当－1≤eq \f(a,2)≤1，即－2≤a≤2时，


g(a)＝－eq \f(a2,2)－2a－1；


当eq \f(a,2)>1，即a>2时，g(a)＝－4a＋1.


∴g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，a<－2，,－\f(a2,2)－2a－1，－2≤a≤2，,－4a＋1，a>2.))


(2)g(a)＝eq \f(1,2)，则a＝－1.


∴f(x)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csx＋\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)，∴f(x)max＝5.


x
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
sinx
0
－1
0
1
0
1－2sinx
1
3
1
－1
1