高中数学第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）优秀测试题

这是一份高中数学第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）优秀测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )


A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝lnx＋3


C．f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1


[解析] 因为f(x)＝x2＋2eq \r(2)x＋2＝(x＋eq \r(2))2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．


[答案] C


2．下列函数中表示的函数能用二分法求零点的是( )





[解析] 由于只有图C满足图象连续，且f(a)·f(b)<0，故只有C能用二分法求零点．


[答案] C


3．下面关于二分法的叙述中，正确的是( )


A．用二分法可求所有函数零点的近似值


B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位


C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成


D．只能用二分法求函数的零点


[解析] 用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.


[答案] B


4．设函数y＝x2与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )


A．(0,1)B．(1,2)


C．(2,3)D．(3,4)


[解析] 令f(x)＝x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2，


因f(1)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－2＝1－2<0，


f(2)＝22－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＝4－1>0，


故x0∈(1,2)，故选B.


[答案] B


5．设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的解落在区间( )


A．(2,2.25)B．(2.25,2.5)


C．(2.5,2.75)D．(2.75,3)


[解析] 因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)，选C.


[答案] C


二、填空题


6．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．


[解析] 因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．


[答案] (2,3)


7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．


[解析] ∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.


[答案] a2＝4b


8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：


那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为________．


[解析] 依据题意，∵f(1.4375)≈0.162，且f(1.375)≈－0.260，∴方程的一个近似解为1.4.


[答案] 1.4


三、解答题


9．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的解的情况．


[解] 图象如图所示，





因为f(0)＝－1<0，f(2)＝1>0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有解x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1<0，所以f(1)·f(2)<0，解x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25<0，所以f(1.5)·f(2)<0，解x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.3125>0，所以f(1.5)·f(1.75)<0，解x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似解．


10．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．


[证明] 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．


下面用二分法求解：


因为f(1.1875)·f(1.25)<0，且|1.1875－1.25|＝0.0625<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.


综合运用


11．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )


A．[1,4]B．[－2,1]


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(5,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))


[解析] 由于第一次所取的区间为[－2,4]，


∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，


第三次所取区间为


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))或eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，4)).


[答案] D


12．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：


则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )


A．1.125B．1.3125


C．1.4375D．1.46875


[解析] 因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0.1，因此1.3125是一个近似解，故选B.


[答案] B


13．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为( )


A．6B．7


C．8D．9


[解析] 函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为eq \f(1,27)<0.01.


[答案] B


14．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)


[解析] ∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，


∴方程的解在(0.6875,0.75)上，而|0.75－0.6875|<0.1.


∴方程的一个近似解为0.6875.


[答案] 0.6875


15．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是_____________．


[解析] 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．


[答案] 1.5,1.75,1.875,1.8125


16．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正实数解(精确度为0.1)．


[解] 令f(x)＝x2－5，


因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，


所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，


取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29>0，


因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)．


再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625>0，


因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)．


由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，


所以原方程的近似正实数解可取为2.25.





f(1)≈－2
f(1.5)≈0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.40625)≈－0.054
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
1.328
(1,1.5)
1.25
0.128
(1,1.25)
1.125
－0.444
(1.125,1.25)
1.1875
－0.160
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.0794
0.1918
－0.3604
－0.9989