人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，ac<0，则函数的零点个数是( )


A．1B．2


C．0D．无法确定


[解析] 因为ac<0，所以b2－4ac>0，所以二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，故函数有2个零点．


[答案] B


2．下列函数不存在零点的是( )


A．y＝x－eq \f(1,x)B．y＝eq \r(2x2－x－1)


C．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,x－1，x>0))D．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥0，,x－1，x<0))


[解析] 由x－eq \f(1,x)＝0，得x＝±1，故选项A不适合；由2x2－x－1＝0得x＝1或x＝－eq \f(1,2)，故选项B不适合；由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝0，,x≤0))得x＝－1，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝0，,x>0))得x＝1，故选项C不适合；选项D中函数无零点．故选D.


[答案] D


3．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－x＋2的零点所在的一个区间是( )


A．(－1,0)B．(0,1)


C．(1,2)D．(2,3)


[解析] 由f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－x＋2，得f(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－2＋2>0，f(3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3－3＋2<0，∴f(2)·f(3)<0，∴函数的零点在(2,3)内．


[答案] D


4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )


A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0


B．若f(a)·f(b)<0，则只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0


C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0


D．若f(a)·f(b)<0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0


[解析] 当零点在区间(a，b)内时，f(a)·f(b)>0也可能成立，因此A不正确，C正确；若y＝f(x)满足零点存在性定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确．


[答案] C


5．方程lg3x＋x＝3的解所在的区间为( )


A．(0,2)B．(1,2)


C．(2,3)D．(3,4)


[解析] 令f(x)＝lg3x＋x－3，则f(2)＝lg32＋2－3＝lg3eq \f(2,3)<0，f(3)＝lg33＋3－3＝1>0，所以方程lg3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．


[答案] C


二、填空题


6．函数y＝x2－4的零点是________．


[解析] 令x2－4＝0，解得x＝±2，所以函数y＝x2－4的零点是±2.


[答案] ±2


7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．


[解析] 解法一：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0<0，,f1>0.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b<0，,1＋b>0.))∴－1

解法二：由x＋b＝0得x＝－b，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内．∴0<－b<1，∴－1

[答案] (－1,0)


8．函数f(x)＝lg2x＋2x－7的零点个数为________，它的一个大致区间是________．


[解析]





设y1＝lg2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，


由图可知y1与y2只有一个交点，则lg2x＋2x－7＝0只有一个实数根，∴函数f(x)只有一个零点．


∵f(2)＝lg22＋22－7＝－2<0，


f(3)＝lg23＋23－7＝lg23＋1>0，


∴f(2)·f(3)<0，∴零点的一个大致区间为(2,3)．


[答案] 1 (2,3)


三、解答题


9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．


(1)f(x)＝eq \f(x＋3,x)；


(2)f(x)＝x2＋2x＋4；


(3)f(x)＝1－lg3x；


(4)f(x)＝(2x－3)(x2－4)．


[解] (1)令eq \f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，


所以函数f(x)＝eq \f(x＋3,x)存在零点，且零点为x＝－3.


(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，


所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，


所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．


(3)令1－lg3x＝0，解得x＝3，


所以函数f(x)＝1－lg3x存在零点，且零点为x＝3.


(4)令(2x－3)(x2－4)＝0，得2x＝3或x2＝4，所以x＝lg23或x＝±2，


所以函数f(x)＝(2x－3)(x2－4)存在零点，且零点为lg23,2与－2.


10．求函数f(x)＝lnx－|x－2|的零点个数．


[解] 令f(x)＝0，得lnx－|x－2|＝0，





即lnx＝|x－2|，


令y1＝lnx，y2＝|x－2|.


在同一坐标系中作出函数y1＝lnx和y2＝|x－2|的图象，如图所示．


由两图象有2个交点，可知函数f(x)＝lnx－|x－2|有2个零点．


综合运用


11．若x0是方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝的解，则x0属于区间( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))





所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))<0，


故函数f(x)的零点所在的区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))，


即方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝的解x0属于区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))).


[答案] C


12．函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )


A．(1,3)B．(1,2)


C．(0,3)D．(0,2)


[解析] 根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a在区间(1,2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，所以f(1)<0，且f(2)>0，求解可得0

[答案] C


13．若a

A．(a，b)和(b，c)内


B．(－∞，a)和(a，b)内


C．(b，c)和(c，＋∞)内


D．(－∞，a)和(c，＋∞)内


[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋


(x－c)(x－a)，


∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，


f(c)＝(c－a)(c－b)，


∵a0，f(b)<0，f(c)>0，


∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．


[答案] A


14．已知函数f(x)＝mx2＋2x－1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________________．


[解析] 当m＝0时，零点为x＝eq \f(1,2)，满足题意．


当m≠0时，Δ＝4＋4m≥0，解得m≥－1且m≠0，


设x1，x2是函数的两个零点，则x1＋x2＝－eq \f(2,m)，x1x2＝－eq \f(1,m).


若m＝－1，函数只有一个零点1，满足题意；


若－1

若m>0，则x1，x2一正一负，满足题意．


综上，实数m的取值范围是{－1}∪[0，＋∞)．


[答案] {－1}∪[0，＋∞)





15．若函数f(x)＝|x2－2x|－a有4个零点，求实数a的取值范围．


[解] 函数f(x)＝|x2－2x|－a的零点就是方程


|x2－2x|－a＝0的解．


由|x2－2x|－a＝0，得|x2－2x|＝a.





在平面直角坐标系中，画出函数y＝|x2－2x|的图象，再作出直线y＝a，使它们有4个交点，如图，


则实数a的取值范围是(0,1).