人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）同步测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）同步测试题，共5页。试卷主要包含了函数y＝4x－2的零点是，对于函数f，若f·f<0，则等内容，欢迎下载使用。

1．函数y＝4x－2的零点是( )


A．2B．(－2,0)


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)) D.eq \f(1,2)


[解析] 令y＝4x－2＝0，得x＝eq \f(1,2).


∴函数y＝4x－2的零点为eq \f(1,2).


[答案] D


2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )


A．方程f(x)＝0一定有实数解


B．方程f(x)＝0一定无实数解


C．方程f(x)＝0一定有两实数解


D．方程f(x)＝0可能无实数解


[解析] ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．


[答案] D


3．函数y＝lgx－eq \f(9,x)的零点所在的大致区间是( )


A．(6,7)B．(7,8)


C．(8,9)D．(9,10)


[解析] 因为f(9)＝lg9－1<0，





f(10)＝lg10－eq \f(9,10)＝1－eq \f(9,10)>0，所以f(9)·f(10)<0，所以y＝lgx－eq \f(9,x)在区间(9,10)上有零点，故选D.


[答案] D


4．函数f(x)＝lnx＋3x－2的零点个数是________．


[解析] 解法一：由f(x)＝lnx＋3x－2＝0，得lnx＝2－3x，设g(x)＝lnx，h(x)＝2－3x，图象





如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)＝lnx＋3x－2有一个零点．


解法二：函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝eq \f(3,e)－3<0，


f(1)＝1>0，所以函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))内有唯一零点．


[答案] 1


5．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？


[解] 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－eq \f(1,2)<0，


f(0)＝20－02＝1>0，


而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．


课内拓展 课外探究


一元二次方程根的分布情况


依据函数零点与方程实数根的联系，可以用函数零点的存在性定理及二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根的分布情况．


设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a>0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且m













【典例】 已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.


(1)若方程有两实根，其中一实根在区间(－1,0)内，另一实根在区间(1,2)内，求m的取值范围；


(2)若方程有两个不相等的实根，且均在区间(0,1)内，求m的取值范围．


[解]





(1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出函数的大致图象如右图所示．


由图象得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝2>0，,f0＝2m＋1<0，,f1＝4m＋2<0，,f2＝6m＋5>0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<－\f(1,2)，,m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6)，)) ∴－eq \f(5,6)




即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)，－\f(1,2))).





(2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0,1)内，画出函数的大致图象如右图所示．


由图象得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,0<－m<1，,f0>0，,f1>0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>1＋\r(2)或m<1－\r(2)，,－1－\f(1,2)，,m>－\f(1,2)，)) ∴－eq \f(1,2)

即m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1－\r(2))).


[点评] 解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合思想，根据判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．