高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品综合训练题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：


则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a，b为待定系数)( )


A．y＝a＋bxB．y＝a＋bx


C．y＝ax2＋bD．y＝a＋eq \f(b,x)


[解析] 在坐标系中描出各点，可知函数y＝a＋bx更接近．


[答案] B


2．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1




[解析] ∵v1

[答案] B


3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2016年的湖水量为m，从2016年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )





[答案] C


4．下面对函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是( )


A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快，h(x)的衰减速度越来越慢


B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢，h(x)的衰减速度越来越快


C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢，h(x)的衰减速度越来越慢


D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快，h(x)的衰减速度越来越快


[解析]





函数f(x)＝，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的大致图象如右图所示．


观察图象，可知函数f(x)的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上衰减较慢，且衰减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上衰减较慢，且衰减速度越来越慢．函数h(x)的图象在区间(0,1)上衰减较快，但衰减速度越来越慢；在区间(1，＋∞)上衰减较慢，且衰减速度越来越慢，故选C.


[答案] C


5．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是( )


A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)


B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系


C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系


D．信件的邮资与其重量间的函数关系


[解析] A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B.


[答案] B


二、填空题


6．小明2017年用8100元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值________元．


[解析] 三年后的价格为8100×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝2400(元)．


[答案] 2400


7．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．


[解析] 当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长得要快．


[答案] y＝x2


8.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．





以下四种说法：


①前三年产量增长的速度越来越快；


②前三年产量增长的速度越来越慢；


③第三年后这种产品停止生产；


④第三年后产量保持不变．


其中说法正确的序号是________．


[解析] 由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xa(0

[答案] ②③


三、解答题


9．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．


方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；


方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：


(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；


(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？


[解] 设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知


y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.


y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.


(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，


∵y1

(2)当x＝6000时，


y1＝114000, y2＝108000，


∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．


10．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图．





(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；


(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．


[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，


C2对应的函数为f(x)＝lgx.


(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；


当x∈(x1，x2)时，g(x)

当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．


综合运用


11．三个变量y1，y2，y3，随着自变量x的变化情况如下表：


则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ( )


A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3


C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2


[解析] 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.


[答案] C


12．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了，下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )





[解析] 观察选项A中的图象，体温逐渐降低，不符合题意；选项B中的图象不能反映“下午他的体温又开始上升”这一过程；选项D中的图象不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”的过程．


[答案] C


13.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )








[解析]





取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半．易知B符合题意．


[答案] B


14．若已知16

[解析] 作出f(x)＝和g(x)＝lg2x的图象，如图所示：





由图象可知，在(0,4)内，>lg2x；


x＝4或x＝16时，＝lg2x；


在(4,16)内lg2x.


[答案] >lg2x


15．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型


y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？


[解] 依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·12＋b·1＋c＝52，,a·22＋b·2＋c＝54，,a·32＋b·3＋c＝58，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝52，,4a＋2b＋c＝54，,9a＋3b＋c＝58，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，,c＝52，))


所以甲：y1＝x2－x＋52，


又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p·q1＋r＝52，,p·q2＋r＝54，,p·q3＋r＝58，))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,②,③))


②－①，得p·q2－p·q1＝2，④


③－②，得p·q3－p·q2＝4，⑤


⑤÷④，得q＝2.


将q＝2代入④式，得p＝1.


将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，


所以乙：y2＝2x＋50.


计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；


当x＝5时，y1＝72，y2＝82；


当x＝6时，y1＝82，y2＝114.


可见，乙选择的模型较好．





x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4