高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优秀课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优秀课堂检测，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．下列函数为奇函数的是( )


A．y＝－|x|B．y＝2－x


C．y＝eq \f(1,x3)D．y＝－x2＋8


[解析] A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．


[答案] C


2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )





[解析] 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.


[答案] B


3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )


A．奇函数


B．偶函数


C．既是奇函数又是偶函数


D．非奇非偶函数


[解析] F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．


又x∈(－a，a)关于原点对称，


∴F(x)是偶函数．


[答案] B


4．对于定义在R上的函数f(x)，有下面四个结论：


①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；


②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；


③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；


④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．


其中正确的个数为( )


A．1B．2


C．3D．4


[解析] ①正确；②错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；③正确；④错误，反例：f(x)＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．


[答案] B


5．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )


A．奇函数B．偶函数


C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数


[解析] ∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，


∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.


∴g(x)＝ax3＋cx.


∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，


∴g(x)为奇函数．


[答案] A


二、填空题


6．奇函数f(x)的定义域是(t,2t＋3)，则t＝________.


[解析] 由奇函数f(x)的定义域关于原点对称，知t＋2t＋3＝0，得t＝－1.


[答案] －1


7．函数f(x)＝x3＋ax，若f(1)＝3，则f(－1)的值为________．


[解析] ∵x∈R，且f(－x)＝－x3－ax＝－f(x)，


∴f(x)是奇函数．


∴f(－1)＝－f(1)＝－3.


[答案] －3


8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.


[解析] 由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.


[答案] －5


三、解答题


9．判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝eq \f(x2＋x,x＋1)；


(2)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2)；


(3)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1.


[解] (1)由x＋1≠0，得f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以函数f(x)＝eq \f(x2＋x,x＋1)不具有奇偶性．


(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,|x＋2|≠2，))∴－1≤x≤1且x≠0，


∴定义域为{x|－1≤x≤1，且x≠0}．


∴f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)，


∴f(－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，


∴f(x)是奇函数．


(3)f(x)的定义域为R，


f(－x)＝x2＋|x－a|＋1.


又f(x)＝x2＋|x＋a|＋1，


当a＝0时，f(－x)＝f(x)，此时f(x)为偶函数；


当a≠0时，|x－a|≠|x＋a|，此时f(x)不具有奇偶性．


10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．





(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．


[解] (1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.





(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．


综合运用


11．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )


A．|f(x)|－g(x)是奇函数


B．f(x)－|g(x)|是奇函数


C．|f(x)|＋g(x)是偶函数


D．f(x)＋|g(x)|是偶函数


[解析] ∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，


∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．


对于选项A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；


对于选项B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函数为偶函数；


对于选项C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；


对于选项D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函数为偶函数．


综上，选D.


[答案] D


12．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )


A．4B．3


C．2D．1


[解析] 由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.


[答案] B


13．若函数f(x)＝eq \f(x,2x＋1x－a)为奇函数，则a等于________．


[解析] 函数f(x)的定义域为{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(1,2)，且x≠a)).


又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝eq \f(1,2).


[答案] eq \f(1,2)


14．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．


[解析] 因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.


[答案] 5


15．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．


(1)求证：f(x)是奇函数；


(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．


[解] (1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，


令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，


令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.


所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，


故f(x)是奇函数．


(2)因为f(x)为奇函数．


所以f(－3)＝－f(3)＝a，


所以f(3)＝－a.


又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，


所以f(12)＝－4a.