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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数优秀习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数优秀习题，共6页。
复习巩固
[答案] B
2．下列各式成立的是( )
[解析] 被开方数是和的形式，运算错误，A选项错；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝eq \f(b2,a2)，B选项错；eq \r(6,－32)>0，(－3) eq \s\up15( eq \f (1,3)) <0，C选项错，故选D.
[答案] D
3．若a
A.eq \r(2a－1)B．－eq \r(2a－1)
C.eq \r(1－2a)D．－eq \r(1－2a)
[解析] ∵a
∴eq \r(4,2a－12)＝eq \r(1－2a).
[答案] C
[答案] C
5．若(1－2x) eq \s\up15(－eq \f (3,4)) 有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈RB．x∈R且x≠eq \f(1,2)
C．x>eq \f(1,2)D．x
[解析] ∵(1－2x) eq \s\up15(－eq \f (3,4)) ＝eq \f(1,\r(4,1－2x3))，∴1－2x>0，得x
[答案] D
[答案] eq \r(5)
[答案] －23
[答案] eq \f(2\r(2),9)
三、解答题
9．计算下列各式的值：
10．(1)已知x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(2,3)，求eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq \f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))的值；
(2)已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值．
[解] (1)eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq \f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))＝eq \f(\r(x)＋\r(y)2,x－y)－eq \f(\r(x)－\r(y)2,x－y)＝eq \f(4\r(xy),x－y).
将x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(2,3)代入上式得
原式＝eq \f(4\r(\f(1,2)×\f(2,3)),\f(1,2)－\f(2,3))＝eq \f(4\r(\f(1,3)),－\f(1,6))＝－24eq \r(\f(1,3))＝－8eq \r(3).
(2)∵x－3＋1＝a，∴x－3＝a－1.
又∵x－6＝(x－3)2，∴x－6＝(a－1)2.
∴a2－2ax－3＋x－6＝a2－2a(a－1)＋(a－1)2
＝a2－(2a2－2a)＋(a2－2a＋1)＝1.
综合运用
11．设a>0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂，其结果是( )
[答案] C
12．设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10)B．10
C．20D．100
[答案] A
13．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
[解析] 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝eq \f(1,5).即2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq \f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝2 eq \s\up15( eq \f (1,5)) .
[答案] eq \f(1,4) 2 eq \s\up15( eq \f (1,5))
14．化简 eq \r(10－4\r(3＋2\r(2)))的值为________．
[解析] 原式＝ eq \r(10－4\r(2)＋1)
＝ eq \r(22－4\r(2)＋\r(2)2)
＝2－eq \r(2)
[答案] 2－eq \r(2)
(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,ab＝4.))
∵a>b>0，∴eq \r(a)>eq \r(b)，∴eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))>0.
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))))2＝eq \f(a＋b－2\r(ab),a＋b＋2\r(ab))＝eq \f(6－2\r(4),6＋2\r(4))＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，
∴eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))＝ eq \r(\f(1,5))＝eq \f(\r(5),5).
复习巩固
[答案] B
2．下列各式成立的是( )
[解析] 被开方数是和的形式，运算错误，A选项错；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝eq \f(b2,a2)，B选项错；eq \r(6,－32)>0，(－3) eq \s\up15( eq \f (1,3)) <0，C选项错，故选D.
[答案] D
3．若a
A.eq \r(2a－1)B．－eq \r(2a－1)
C.eq \r(1－2a)D．－eq \r(1－2a)
[解析] ∵a
∴eq \r(4,2a－12)＝eq \r(1－2a).
[答案] C
[答案] C
5．若(1－2x) eq \s\up15(－eq \f (3,4)) 有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈RB．x∈R且x≠eq \f(1,2)
C．x>eq \f(1,2)D．x
[解析] ∵(1－2x) eq \s\up15(－eq \f (3,4)) ＝eq \f(1,\r(4,1－2x3))，∴1－2x>0，得x
[答案] D
[答案] eq \r(5)
[答案] －23
[答案] eq \f(2\r(2),9)
三、解答题
9．计算下列各式的值：
10．(1)已知x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(2,3)，求eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq \f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))的值；
(2)已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值．
[解] (1)eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq \f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))＝eq \f(\r(x)＋\r(y)2,x－y)－eq \f(\r(x)－\r(y)2,x－y)＝eq \f(4\r(xy),x－y).
将x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(2,3)代入上式得
原式＝eq \f(4\r(\f(1,2)×\f(2,3)),\f(1,2)－\f(2,3))＝eq \f(4\r(\f(1,3)),－\f(1,6))＝－24eq \r(\f(1,3))＝－8eq \r(3).
(2)∵x－3＋1＝a，∴x－3＝a－1.
又∵x－6＝(x－3)2，∴x－6＝(a－1)2.
∴a2－2ax－3＋x－6＝a2－2a(a－1)＋(a－1)2
＝a2－(2a2－2a)＋(a2－2a＋1)＝1.
综合运用
11．设a>0，将eq \f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂，其结果是( )
[答案] C
12．设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10)B．10
C．20D．100
[答案] A
13．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
[解析] 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝eq \f(1,5).即2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq \f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝2 eq \s\up15( eq \f (1,5)) .
[答案] eq \f(1,4) 2 eq \s\up15( eq \f (1,5))
14．化简 eq \r(10－4\r(3＋2\r(2)))的值为________．
[解析] 原式＝ eq \r(10－4\r(2)＋1)
＝ eq \r(22－4\r(2)＋\r(2)2)
＝2－eq \r(2)
[答案] 2－eq \r(2)
(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两个实数根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝6，,ab＝4.))
∵a>b>0，∴eq \r(a)>eq \r(b)，∴eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))>0.
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))))2＝eq \f(a＋b－2\r(ab),a＋b＋2\r(ab))＝eq \f(6－2\r(4),6＋2\r(4))＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，
∴eq \f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))＝ eq \r(\f(1,5))＝eq \f(\r(5),5).
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