初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形综合与测试单元测试同步训练题

这是一份初中数学浙教版九年级上册第4章 相似三角形综合与测试单元测试同步训练题，共19页。试卷主要包含了下列各组线段中，成比例的是，若＝＝，则的值是，如图，已知，有下列四种说法等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共12小题，满分36分）


1．下列各组线段中，成比例的是（ ）


A．2cm，3cm，4cm，5cmB．2cm，4cm，6cm，8cm


C．3cm，6cm，8cm，12cmD．1cm，3cm，5cm，15cm


2．若2x＝3y，且x≠0，则的值为（ ）


A．B．C．D．


3．若＝＝，则的值是（ ）


A．B．﹣C．﹣16D．﹣


4．如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（ ）





A．B．C．D．


5．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）





A．B．C．D．


6．如图，已知：△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，∠BAD的度数为（ ）





A．36°B．117°C．143°D．153°


7．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC．若△ADC的面积为a，则△ABC的面积为（ ）





A．4aB．aC．aD．2a


8．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）


①两个菱形相似；


②两个矩形相似；


③两个平行四边形相似；


④两个正方形相似


A．4个B．3个C．2个D．1个


9．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（ ）





A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm


10．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）





A．16B．17C．24D．25


11．如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（ ）





A．（﹣3，2）B．（﹣3，1）C．（2，﹣3）D．（﹣2，3）


12．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断：


①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；


③若S1＝S2，则S3＝S4；④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4．其中正确的是（ ）





A．①②③B．②③④C．②③D．①②③④


二．填空题（共8小题，满分24分）


13．在一幅比例尺是1：6000000的图纸上，量得两地的图上距离是2厘米，则两地的实际距离是 千米．


14．已知（z≠0），则x：y＝ ．


15．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则的值为 ．





16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B＝ 度．





17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方，过点D作DF⊥AC于点F，连结CD，若△CFD与△AOC相似，则点D的坐标是 ．





18．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应周长的比值是 ．


19．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．





20．如图，△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，若点B的坐标为（﹣2，1），则点C的坐标为 ．





三．解答题（共7小题，满分60分）


21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求树高AB．





22．（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；


（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）





23．如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为：T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．


（1）以点T为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，画出四边形TA'B'C'．


（2）写出点A'、B'、C'的坐标：


A'（ ），B'（ ），C'（ ）．





24．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，已知PE⊥EC．


（1）求证：△AEP∽△DEC；


（2）若AB＝3，BC＝5，求AP的长．





25．如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C'的位置，点B'刚好在BC上，连接CC'，AC，B'C'交AC于点E．


（1）请写出图中所有的相似三角形 （不包括全等）；


（2）求证：∠B＝∠ACC'．





26．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．


（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？


（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？





27．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN．直线BD与MN相交于E．


（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD﹣2DE＝BM；


（2）如图2，当点M在BC延长线上时，连接BN交AD于点F．若DE＝，且AB：ND＝1：2时，求线段BN的长．








参考答案


一．选择题（共12小题）


1．解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；


B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；


C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；


D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例．


故选：D．


2．解：∵2x＝3y，且x≠0，


∴两边除以2y得：＝，


∴＝﹣1＝﹣1＝，


故选：C．


3．解：∵＝＝，


∴设a＝2x，则b＝3x，c＝4x，


故原式＝


＝


＝﹣．


故选：B．


4．解：A、∵a∥b∥c，


∴＝，本选项结论正确，不符合题意；


B、∵a∥b∥c，


∴＝，本选项结论正确，不符合题意；


C、∵a∥b∥c，


∴＝，本选项结论正确，不符合题意；


D、连接AF，交BE于H，


∵b∥c，


∴△ABH∽△ACF，


∴＝≠，本选项结论不正确，符合题意；


故选：D．





5．解：∵DE∥AB，


∴＝＝，


∴的值为，


故选：A．


6．解：∵△ABC∽△DAC，


∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，


∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝153°，


故选：D．


7．解：∵∠ACD＝∠BCA，∠BAC＝∠ADC．


∴△CAD∽△CBA，


∵＝（）2＝（）2＝4，


∴S△ABC＝4a．


故选：A．


8．解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；


②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；


③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；


④两个正方形相似，正确．


故选：D．


9．解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，





∵练习本中的横格线都平行，


∴△AOB∽△DOC，


∴＝，即＝，


∴CD＝6cm．


故选：C．


10．解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，


∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，


∴∠BAF＝∠F，


∴∠DAF＝∠F，


∴DF＝AD＝15，


同理BE＝AB＝10，


∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；


∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，


在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，


∴AE＝2AG＝12，


∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，


∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AB∥CF，


∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，


∴△CEF的周长为16．


故选：A．





11．解：如图点P为位似中心，


∴＝，即＝，


解得，PB＝3，


∴点P的坐标为（﹣3，2），


故选：A．





12．解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC＝BD＝5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；


②若△PAB≌△PCD，则PA＝PC，PB＝PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；


③如图，若S1＝S2，


过点P作PH⊥BC于H，HP的延长线交AD于G，


则PG⊥AD．


∴四边形ABHG是矩形，


∴GH＝AB，


∴S2+S4＝AD•PH+BC•PG＝BC•（PH+PG）＝BC•GH＝BC•AB，


过点P作PM⊥AB于M，MP的延长线交CD于N，


同理S1+S3＝BC•AB，


∴S1+S3＝S2+S4，则S3＝S4，故③正确；


④若△PAB～△PDA，则∠PAB＝∠PDA，∠PAB+∠PAD＝∠PDA+∠PAD＝90°，∠APD＝180°﹣（∠PDA+∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，B、P、D三点共线，PA是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA＝2.4，故④正确．


故选：D．





二．填空题（共8小题）


13．解：因为比例尺＝，


所以实际距离＝＝2×6000000＝12000000（厘米），


12000000厘米＝120千米．


故答案为：120．


14．解：原方程组化为：，


①+②得：5x＝3z，


解得：x＝z，


把x＝z代入②得：z﹣y＝z，


解得：y＝z，


所以x：y＝（z）：（z）＝3：4，


故答案为：3：4．


15．解：∵l1∥l2∥l3，


∴＝，


∵＝，


∴，


∴＝．


16．解：由作图可知，AD平分∠CAB，


∴∠CAD＝∠DAB，


∵△DAC∽△ABC，


∴∠CAD＝∠B，


∴∠CAB＝2∠B，


∵∠CAB+∠B＝90°，


∴3∠B＝90°，


∴∠B＝30°，


故答案为30．


17．解：∠AOC＝∠DFC＝90°，


若∠DCF＝∠ACO时，△DCF∽△ACO，


如图1，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，


∵∠DCQ＝∠AOC，


∴∠DCF+∠ACQ＝90°，即∠ACO+∠ACQ＝90°，


而∠ACO+∠CAO＝90°，


∴∠ACQ＝∠CAO，


∴QA＝QC，


设Q（m，0），则m+4＝，解得m＝﹣，


∴Q（﹣，0），


∵∠QCO+∠DCG＝90°，∠QCO+∠CQO＝90°，


∴∠DCG＝∠CQO，


∴Rt△DCG∽Rt△CQO，


∴＝，即＝＝＝，


设DG＝4t，CG＝3t，则D（﹣4t，3t+2），


把D（﹣4t，3t+2）代入y＝﹣x2﹣x+2得﹣8t2+6t+2＝3t+2，


整理得8t2﹣3t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，


∴D（﹣，）；


当∠DCF＝∠CAO时，△DCF∽△CAO，则CD∥AO，


∴点D的纵坐标为2，


把y＝2代入y＝﹣x2﹣x+2得﹣x2﹣x+2＝2，解得x1＝﹣3，x2＝0（舍去），


∴D（﹣3，2），


综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．


故答案为：（﹣，）或（﹣3，2）．








18．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，


∴对应周长的比值为3：2，


故答案为：3：2．


19．解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；


易知：△APM∽△BPN；


∴＝，


∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为5：1，


∴＝，即AM＝4BN；


∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；


故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压32cm．


故答案为：32．





20．解：∵△OAB与△ODC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，1），


∴点C的横纵坐标都乘以﹣2，即C点坐标为：（4，﹣2）．


故答案为：（4，﹣2）．


三．解答题（共8小题）


21．解：在Rt△DEF中，DE2+EF2＝DF2，


即：402+EF2＝502，


∴EF＝30，


由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，


∴△DCB∽△DEF，


∴＝，


∵EF＝30cm＝0.3m，DE＝40cm＝0.4m，CD＝12m，


∴＝，


解得：BC＝9米，


∵AC＝1.5m，


∴AB＝AC+BC＝1.5+9＝10.5m．


22．（1）解：∵△APB∽△ABC，


∴＝，


∴＝，


∴AP＝，


故答案为．


（2）解：作∠DEQ＝∠F


如图点Q就是所求作的点．





23．解：（1）如图所示：四边形TA'B'C'即为所求．





（2）A′（3，5），B′（5，5），C′（7，3）．


故答案为：（3，5）；（5，5）；（7，3）．


24．（1）证明：∵AE⊥BD，PE⊥EC，


∴∠AED＝∠PEC＝90°，


∴∠AEP＝∠DEC，


∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，


∴∠EAP＝∠EDC，


∴△AEP∽△DEC；


（2）解：在Rt△ADE和Rt△BAE中，


∠AEB＝∠AED＝90°，


又∵∠DAE+∠BAE＝90°，


∠DAE+∠ADE＝90°，


∴∠BAE＝∠ADE，


∴△AEB∽△AED，


∴，


由（2）知，△AEP∽△DEC，


∴，


即，


∴AP＝．


25．解：（1）由旋转的性质可知：∠B＝∠AB′C′，∠AC′B′＝∠ACB，AB＝AB′，AC′＝AC，


∴∠CAC′＝∠C′B′C，


∵∠BAC＝∠B′AC′，


∴∠BAB′＝∠CAC′，


∴∠B＝∠AB′B＝∠AB′C′＝∠ACC′，


∠B′AC＝∠B′C′C，


∴△AB′E∽△C′CE，△ABB′∽△ACC′，


故答案为：△AB′E∽△C′CE，△ABB′∽△ACC′，△AEC′∽△B'EC；


（2）由题意可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAC＝∠B′AC′，


∴∠BAB′＝∠CAC′，∠B＝∠AB′B，∠ACC′＝∠AC′C，


∴＝，


即∠B＝∠ACC′．


26．解：（1）设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的，


＝，


解得：x1＝x2＝4，


答：经过4秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的；


（2）设经过t秒，△PCQ与△ABC相似，


因为∠C＝∠C，


所以分为两种情况：①＝，


＝，


解得：t＝；


②＝，


＝，


解得：t＝；


答：经过秒或秒时，△PCQ与△ABC相似．


27．解：（1）如图1，过点M作MF⊥BC交BD于点F，





∵四边形ABCD是正方形，


∴∠C＝90°，


∴FM∥CD，


∴∠NDE＝∠MFE，


∴FM＝BM，


∵BM＝DN，


∴FM＝DN，


在△EFM和△EDN中，


，


∴△EFM≌△EDN（AAS），


∴EF＝ED，


∴BD﹣2DE＝BF，


根据勾股定理得：BF＝BM，


即BD﹣2DE＝BM；


（2）过点M作MF⊥BC交BD的延长线于点H，





∵四边形ABCD是正方形，


∴∠BCD＝90°，


∴HM∥CD，


∴∠NDE＝∠MHE，


∴HM＝BM，


∵BM＝DN，


∴HM＝DN，


∵∠NED＝∠MEH，


∴△EHM≌△EDN（AAS），


∴EH＝ED，


∴BD+2DE＝BF，


根据勾股定理得：BF＝BM，


即BD+2DE＝BM，


∴BD＝BC，


∵DE＝，


∴CM＝2，


∵AB：ND＝1：2，


∴CD：ND＝1：2，


即CD：（CD+2）＝1：2，


解得CD＝2，


∴ND＝4，


∴CN＝CD+ND＝6，


∴．