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2019-2020学年安徽省合肥市蜀山区八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年安徽省合肥市蜀山区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则边AC的长为（ ）
A．5 B． C． D．1
4．（3分）方程2x2﹣4x+2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝100°，BE平分∠ABC交AD于点E，则∠AEB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（3分）一位射击运动员在一次训练效果测试中，射击了五次，成绩如图所示，对于这五次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（ ）
A．平均数是9 B．中位数是10 C．众数是10 D．方差是2
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC⊥BD
8．（3分）已知，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的是（ ）
A．c＝b B．c＝2a C．b2＝3a2 D．a2+b2＝c2
9．（3分）某景区2018年比2017年旅游人数增加了8%，2019年比2018年旅游人数增加了x%，已知2017年至2019年景区的旅游人数平均年增长率为19%，则下列方程正确的是（ ）
A．（1+8%）（1+19%）＝（1+x）2
B．（1+8%）（1+x%）＝1+19%×2
C．（1+8%）（1+19%）＝（1+x%）2
D．（1+8%）（1+x%）＝（1+19%）2
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．5 B． C．3+3 D．2
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）九边形的内角和为 度．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣5x+m﹣1＝0的一个根是x＝2，则m的值为 ．
14．（3分）已知，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6、8，则这个菱形的周长为 ．
15．（3分）如图，在一个长20m，宽10m的矩形草地内修建宽度相等的小路（阴影部分），若剩余草地（空白部分）的面积171m2，则小路的宽度为 m．
16．（3分）在矩形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且满足在△EFG中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，EF＝10，当EF经过线段BG的中点时，BG的长为 ．
三、解答题（共52分）
17．（6分）计算：（）2+4（﹣1）﹣．
18．（6分）解方程：x（x﹣1）＝3（x﹣1）．
19．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点都在正方形网格的格点上．
（1）请在下面的网格中作出菱形ABCD（点C，D都在正方形网格的格点上，作出一个符合题意的图形即可）；
（2）在（1）中作出的菱形面积是 ．
20．（8分）某水果连锁店将进货价为20元/千克的某种热带水果现在以25元/千克的价格售出，每日能售出40千克．
（1）现在每日的销售利润为 元．
（2）调查表明：售价在25元/千克～32元/千克范围内，这种热带水果的售价每千克上涨1元，其销售量就减少2千克，若要使每日的销售利润为300元，售价应为多少元/千克？
21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，分别连接BE，CE，若点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）设四边形EFGH的面积为S1，四边形ABCD的面积为S2，请直接写出S1：S2的值．
22．（8分）端午节是中华民族的传统节目，为弘扬传统文化，培育爱国情怀，某校组织“端午话粽情”知识大赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据成绩绘制了如下不完整的频数分布直方图和频数分布表（每组包含最小值，不含最大值）：
成绩
频数
频率
60﹣70
15
m
70﹣80
20
0.4
80﹣90
n
0.2
90﹣100
5
0.1
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）共抽取了 名学生进行调查，m＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果成绩80分及以上者为“优秀”，请你估计全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生约有多少人？
23．（10分）在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝ ；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
2019-2020学年安徽省合肥市蜀山区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝3，不是最简二次根式，不合题意；
D、＝，不是最简二次根式，不合题意；
故选：B．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则边AC的长为（ ）
A．5 B． C． D．1
【分析】根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，
∴AC＝＝＝．
故选：C．
4．（3分）方程2x2﹣4x+2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：∵△＝（﹣4）2﹣4×2×2＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝100°，BE平分∠ABC交AD于点E，则∠AEB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，由平行线的性质得出∠AEB＝∠CBE，∠ABC＝80°，由角平分线定义求出∠CBE＝40°，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBE，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝40°，
∴∠AEB＝40°；
故选：B．
6．（3分）一位射击运动员在一次训练效果测试中，射击了五次，成绩如图所示，对于这五次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（ ）
A．平均数是9 B．中位数是10 C．众数是10 D．方差是2
【分析】首先根据折线统计图得出五次射击的成绩，再根据平均数、中位数、众数以及方差的算法进行计算，即可得出答案．
【解答】解：由图可得，五次射击的成绩按从小到大的顺序排列为：6，9，10，10，10，
平均数为（6+9+10×3）＝9，
第三个数字是10，中位数是10，
数据10出现3次，次数最多，所以众数为10，
方差为[（6﹣9）2+（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝2.4，
故A、B、C正确，D不正确．
故选：D．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC⊥BD
【分析】根据菱形的判定方法和矩形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；
故选：D．
8．（3分）已知，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的是（ ）
A．c＝b B．c＝2a C．b2＝3a2 D．a2+b2＝c2
【分析】先由在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3得出∠A、∠B和∠C的度数，再分别利用勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半、锐角三角函数等得出a、b、c的数量关系，结合选项即可得出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∵BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴a2+b2＝c2，c＝2a，＝tan60°＝，＝sin60°＝，
∴b＝a，c＝b
∴b2＝3a2，
故B、C、D均正确，A错误．
故选：A．
9．（3分）某景区2018年比2017年旅游人数增加了8%，2019年比2018年旅游人数增加了x%，已知2017年至2019年景区的旅游人数平均年增长率为19%，则下列方程正确的是（ ）
A．（1+8%）（1+19%）＝（1+x）2
B．（1+8%）（1+x%）＝1+19%×2
C．（1+8%）（1+19%）＝（1+x%）2
D．（1+8%）（1+x%）＝（1+19%）2
【分析】根据题意，可以先设2017年的旅游人数，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：设2017年的旅游人数为a人，
a（1+8%）（1+x%）＝a（1+19%）2，
即（1+8%）（1+x%）＝（1+19%）2，
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．5 B． C．3+3 D．2
【分析】由S△PAB＝3S△PCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是3的直线l上，作A关于直线l的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P，当B，P，A'三点共线时，A'B的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABA'中，由勾股定理求得A'B的值，即为PA+PB的最小值．
【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝3S△PCD，
∴AB•h＝3×CD•（4﹣h），
∴h＝3，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是3的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点A'，连接A'P，当B，P，A'三点共线时，A'B的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABA'中，∵AB＝3，AA'＝3+3＝6，
∴BA'＝＝＝3，
即PA+PB的最小值为．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
12．（3分）九边形的内角和为 1260 度．
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入求值即可．
【解答】解：九边形的内角和为（9﹣2）•180＝1260°．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣5x+m﹣1＝0的一个根是x＝2，则m的值为 7 ．
【分析】把x＝2代入方程x2﹣5x+m﹣1＝0得4﹣10+m﹣1＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣5x+m﹣1＝0得4﹣10+m﹣1＝0，解得m＝7．
故答案为7．
14．（3分）已知，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6、8，则这个菱形的周长为 20 ．
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
【解答】解：由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，
则AB＝＝5，
故可得周长L＝4AB＝20；
故答案为：20．
15．（3分）如图，在一个长20m，宽10m的矩形草地内修建宽度相等的小路（阴影部分），若剩余草地（空白部分）的面积171m2，则小路的宽度为 1 m．
【分析】设小路的宽度为xm，根据剩余草地（空白部分）的面积171m2，列出方程即可求解．
【解答】解：设小路的宽度为xm，根据题意列方程得
（20﹣x）（10﹣x）＝171，
整理得：x2﹣30x+29＝0，
解得：x1＝1，x2＝29（不合题意，舍去）．
故小路的宽度为1m．
故答案为：1．
16．（3分）在矩形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且满足在△EFG中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，EF＝10，当EF经过线段BG的中点时，BG的长为 10或5 ．
【分析】①当点F不与点C重合时，设EF的中点为O，连接OB、OG，设EF与BG交于H，由直角三角形斜边上的中线性质得OB＝OE＝OF＝EF＝5，OG＝OE＝OF＝5，由等腰三角形的性质得∠OEG＝∠OGE＝30°，GH＝BH＝BG，OH⊥BG，由三角形外角性质得∠GOH＝∠OEG+∠OGE＝60°，在Rt△GOH中，sin∠GOH＝，求出GH，即可得出结果；
②当点F与点C重合时，则四边形BCGE是矩形，BG＝EF＝10．
【解答】解：①当点F不与点C重合时，
设EF的中点为O，连接OB、OG，设EF与BG交于H，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EBF＝90°，
∵O为EF的中点，
∴OB＝OE＝OF＝EF＝5，
∵∠EGF＝90°，O为EF的中点，
∴OG＝OE＝OF＝5，
∴∠OEG＝∠OGE＝30°，OB＝OG，
∵H为BG的中点，
∴GH＝BH＝BG，OH⊥BG，
∵∠GOH＝∠OEG+∠OGE＝30°+30°＝60°，
在Rt△GOH中，sin∠GOH＝，
∴GH＝OG•sin∠GOH＝5×sin60°＝5×＝，
∴BG＝2GH＝2×＝5；
②当点F与点C重合时，如图2所示：
则四边形BCGE是矩形，EF与BG相互平分，
BG＝EF＝10；
综上所述，BG的长为10或5；
故答案为：10或5．
三、解答题（共52分）
17．（6分）计算：（）2+4（﹣1）﹣．
【分析】先利用二次根式的性质化简，然后合并即可．
【解答】解：原式＝5+4﹣4﹣4
＝1．
18．（6分）解方程：x（x﹣1）＝3（x﹣1）．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：原方程移项得：x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0；，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝1或x2＝3．
19．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点都在正方形网格的格点上．
（1）请在下面的网格中作出菱形ABCD（点C，D都在正方形网格的格点上，作出一个符合题意的图形即可）；
（2）在（1）中作出的菱形面积是 20 ．
【分析】（1）构造边长为5的菱形即可．
（2）根据菱形的面积＝底×高计算即可．
【解答】解：（1）如图所示菱形ABCD即为所求．
（2）S菱形ABCD＝5×4＝20，
故答案为20．
20．（8分）某水果连锁店将进货价为20元/千克的某种热带水果现在以25元/千克的价格售出，每日能售出40千克．
（1）现在每日的销售利润为 200 元．
（2）调查表明：售价在25元/千克～32元/千克范围内，这种热带水果的售价每千克上涨1元，其销售量就减少2千克，若要使每日的销售利润为300元，售价应为多少元/千克？
【分析】（1）根据每日的销售利润＝每千克的利润×日销售量，即可求出结论；
（2）设每千克上涨x元，则售价为（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，根据每日的销售利润为300元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）（25﹣20）×40＝200（元）．
故答案为：200．
（2）设每千克上涨x元，则售价为（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，
依题意，得：（25+x﹣20）（40﹣2x）＝300，
整理，得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
当x＝5时，25+x＝30，符合题意；
当x＝10时，25+x＝35＞32，不合题意，舍去．
答：售价应为30元/千克．
21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，分别连接BE，CE，若点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）设四边形EFGH的面积为S1，四边形ABCD的面积为S2，请直接写出S1：S2的值．
【分析】（1）由中位线定理可得出结论；
（2）连接GE，则S△GEF＝S△GFC，S△GEH＝S△GHB，S1＝S△BCE；可得出答案．
【解答】（1）证明：∵点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点，
∴GF∥BE，且GF＝BE＝HE，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：∵点F，H分别是EC，BE的中点，
连接GE；
则S△GEF＝S△GFC，S△GEH＝S△GHB，
∴S1＝S△BCE；
又S2＝2S△BCE，
∴S1：S2＝1：4．
22．（8分）端午节是中华民族的传统节目，为弘扬传统文化，培育爱国情怀，某校组织“端午话粽情”知识大赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据成绩绘制了如下不完整的频数分布直方图和频数分布表（每组包含最小值，不含最大值）：
成绩
频数
频率
60﹣70
15
m
70﹣80
20
0.4
80﹣90
n
0.2
90﹣100
5
0.1
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）共抽取了 50 名学生进行调查，m＝ 0.3 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果成绩80分及以上者为“优秀”，请你估计全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生约有多少人？
【分析】（1）由统计图表可知，70～80的学生有20人，占调查学生人数的40%（0.4），可求出调查人数，根据频数、频率、总数之间的关系可以求出m、n的值；
（2）求出n的值，即可补全条形统计图；
（3）样本估计总体，样本中优秀占（0.2+0.1），即30%，因此估计总体1500人的30%是优秀的人数．
【解答】解：（1）20÷0.4＝50（人），15÷50＝0.3，
故答案为：50； 0.3；
（2）n＝50×0.2＝10（人），补全频数分布直方图如图所示：
（3）1500×（0.2+0.1）＝450（人）
答：全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生约有450人．
23．（10分）在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝ 5 ；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
【分析】（1）如图1，连接CG，证明△CBD≌△CBG（SAS），可得G，C，D三点共线，利用勾股定理可得AG的长；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE≌△BKG，可得AK和KG的长，利用勾股定理计算AG的长；
（3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG（AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；
②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝＝＝5；
故答案为：5；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，
∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，
∴AK＝10，
由勾股定理得：AG＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝5，
∵AG＝，
由勾股定理得：KG＝＝，
∴CE＝KG＝，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，
同理得：DE＝；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝，
∴DE＝5+＝，
综上，DE的长是或．
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则边AC的长为（ ）
A．5 B． C． D．1
4．（3分）方程2x2﹣4x+2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝100°，BE平分∠ABC交AD于点E，则∠AEB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（3分）一位射击运动员在一次训练效果测试中，射击了五次，成绩如图所示，对于这五次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（ ）
A．平均数是9 B．中位数是10 C．众数是10 D．方差是2
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC⊥BD
8．（3分）已知，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的是（ ）
A．c＝b B．c＝2a C．b2＝3a2 D．a2+b2＝c2
9．（3分）某景区2018年比2017年旅游人数增加了8%，2019年比2018年旅游人数增加了x%，已知2017年至2019年景区的旅游人数平均年增长率为19%，则下列方程正确的是（ ）
A．（1+8%）（1+19%）＝（1+x）2
B．（1+8%）（1+x%）＝1+19%×2
C．（1+8%）（1+19%）＝（1+x%）2
D．（1+8%）（1+x%）＝（1+19%）2
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．5 B． C．3+3 D．2
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）九边形的内角和为 度．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣5x+m﹣1＝0的一个根是x＝2，则m的值为 ．
14．（3分）已知，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6、8，则这个菱形的周长为 ．
15．（3分）如图，在一个长20m，宽10m的矩形草地内修建宽度相等的小路（阴影部分），若剩余草地（空白部分）的面积171m2，则小路的宽度为 m．
16．（3分）在矩形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且满足在△EFG中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，EF＝10，当EF经过线段BG的中点时，BG的长为 ．
三、解答题（共52分）
17．（6分）计算：（）2+4（﹣1）﹣．
18．（6分）解方程：x（x﹣1）＝3（x﹣1）．
19．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点都在正方形网格的格点上．
（1）请在下面的网格中作出菱形ABCD（点C，D都在正方形网格的格点上，作出一个符合题意的图形即可）；
（2）在（1）中作出的菱形面积是 ．
20．（8分）某水果连锁店将进货价为20元/千克的某种热带水果现在以25元/千克的价格售出，每日能售出40千克．
（1）现在每日的销售利润为 元．
（2）调查表明：售价在25元/千克～32元/千克范围内，这种热带水果的售价每千克上涨1元，其销售量就减少2千克，若要使每日的销售利润为300元，售价应为多少元/千克？
21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，分别连接BE，CE，若点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）设四边形EFGH的面积为S1，四边形ABCD的面积为S2，请直接写出S1：S2的值．
22．（8分）端午节是中华民族的传统节目，为弘扬传统文化，培育爱国情怀，某校组织“端午话粽情”知识大赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据成绩绘制了如下不完整的频数分布直方图和频数分布表（每组包含最小值，不含最大值）：
成绩
频数
频率
60﹣70
15
m
70﹣80
20
0.4
80﹣90
n
0.2
90﹣100
5
0.1
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）共抽取了 名学生进行调查，m＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果成绩80分及以上者为“优秀”，请你估计全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生约有多少人？
23．（10分）在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝ ；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
2019-2020学年安徽省合肥市蜀山区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解答】解：A、＝，不是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝3，不是最简二次根式，不合题意；
D、＝，不是最简二次根式，不合题意；
故选：B．
2．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则边AC的长为（ ）
A．5 B． C． D．1
【分析】根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，
∴AC＝＝＝．
故选：C．
4．（3分）方程2x2﹣4x+2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：∵△＝（﹣4）2﹣4×2×2＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝100°，BE平分∠ABC交AD于点E，则∠AEB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，由平行线的性质得出∠AEB＝∠CBE，∠ABC＝80°，由角平分线定义求出∠CBE＝40°，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBE，∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝40°，
∴∠AEB＝40°；
故选：B．
6．（3分）一位射击运动员在一次训练效果测试中，射击了五次，成绩如图所示，对于这五次射击的成绩有如下结论，其中不正确的是（ ）
A．平均数是9 B．中位数是10 C．众数是10 D．方差是2
【分析】首先根据折线统计图得出五次射击的成绩，再根据平均数、中位数、众数以及方差的算法进行计算，即可得出答案．
【解答】解：由图可得，五次射击的成绩按从小到大的顺序排列为：6，9，10，10，10，
平均数为（6+9+10×3）＝9，
第三个数字是10，中位数是10，
数据10出现3次，次数最多，所以众数为10，
方差为[（6﹣9）2+（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝2.4，
故A、B、C正确，D不正确．
故选：D．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB⊥BC C．AC＝BD D．AC⊥BD
【分析】根据菱形的判定方法和矩形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；
故选：D．
8．（3分）已知，在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的是（ ）
A．c＝b B．c＝2a C．b2＝3a2 D．a2+b2＝c2
【分析】先由在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3得出∠A、∠B和∠C的度数，再分别利用勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半、锐角三角函数等得出a、b、c的数量关系，结合选项即可得出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∵BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴a2+b2＝c2，c＝2a，＝tan60°＝，＝sin60°＝，
∴b＝a，c＝b
∴b2＝3a2，
故B、C、D均正确，A错误．
故选：A．
9．（3分）某景区2018年比2017年旅游人数增加了8%，2019年比2018年旅游人数增加了x%，已知2017年至2019年景区的旅游人数平均年增长率为19%，则下列方程正确的是（ ）
A．（1+8%）（1+19%）＝（1+x）2
B．（1+8%）（1+x%）＝1+19%×2
C．（1+8%）（1+19%）＝（1+x%）2
D．（1+8%）（1+x%）＝（1+19%）2
【分析】根据题意，可以先设2017年的旅游人数，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：设2017年的旅游人数为a人，
a（1+8%）（1+x%）＝a（1+19%）2，
即（1+8%）（1+x%）＝（1+19%）2，
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．5 B． C．3+3 D．2
【分析】由S△PAB＝3S△PCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是3的直线l上，作A关于直线l的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P，当B，P，A'三点共线时，A'B的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABA'中，由勾股定理求得A'B的值，即为PA+PB的最小值．
【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝3S△PCD，
∴AB•h＝3×CD•（4﹣h），
∴h＝3，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是3的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点A'，连接A'P，当B，P，A'三点共线时，A'B的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABA'中，∵AB＝3，AA'＝3+3＝6，
∴BA'＝＝＝3，
即PA+PB的最小值为．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
12．（3分）九边形的内角和为 1260 度．
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入求值即可．
【解答】解：九边形的内角和为（9﹣2）•180＝1260°．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣5x+m﹣1＝0的一个根是x＝2，则m的值为 7 ．
【分析】把x＝2代入方程x2﹣5x+m﹣1＝0得4﹣10+m﹣1＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣5x+m﹣1＝0得4﹣10+m﹣1＝0，解得m＝7．
故答案为7．
14．（3分）已知，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6、8，则这个菱形的周长为 20 ．
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
【解答】解：由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，
则AB＝＝5，
故可得周长L＝4AB＝20；
故答案为：20．
15．（3分）如图，在一个长20m，宽10m的矩形草地内修建宽度相等的小路（阴影部分），若剩余草地（空白部分）的面积171m2，则小路的宽度为 1 m．
【分析】设小路的宽度为xm，根据剩余草地（空白部分）的面积171m2，列出方程即可求解．
【解答】解：设小路的宽度为xm，根据题意列方程得
（20﹣x）（10﹣x）＝171，
整理得：x2﹣30x+29＝0，
解得：x1＝1，x2＝29（不合题意，舍去）．
故小路的宽度为1m．
故答案为：1．
16．（3分）在矩形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，且满足在△EFG中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，EF＝10，当EF经过线段BG的中点时，BG的长为 10或5 ．
【分析】①当点F不与点C重合时，设EF的中点为O，连接OB、OG，设EF与BG交于H，由直角三角形斜边上的中线性质得OB＝OE＝OF＝EF＝5，OG＝OE＝OF＝5，由等腰三角形的性质得∠OEG＝∠OGE＝30°，GH＝BH＝BG，OH⊥BG，由三角形外角性质得∠GOH＝∠OEG+∠OGE＝60°，在Rt△GOH中，sin∠GOH＝，求出GH，即可得出结果；
②当点F与点C重合时，则四边形BCGE是矩形，BG＝EF＝10．
【解答】解：①当点F不与点C重合时，
设EF的中点为O，连接OB、OG，设EF与BG交于H，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EBF＝90°，
∵O为EF的中点，
∴OB＝OE＝OF＝EF＝5，
∵∠EGF＝90°，O为EF的中点，
∴OG＝OE＝OF＝5，
∴∠OEG＝∠OGE＝30°，OB＝OG，
∵H为BG的中点，
∴GH＝BH＝BG，OH⊥BG，
∵∠GOH＝∠OEG+∠OGE＝30°+30°＝60°，
在Rt△GOH中，sin∠GOH＝，
∴GH＝OG•sin∠GOH＝5×sin60°＝5×＝，
∴BG＝2GH＝2×＝5；
②当点F与点C重合时，如图2所示：
则四边形BCGE是矩形，EF与BG相互平分，
BG＝EF＝10；
综上所述，BG的长为10或5；
故答案为：10或5．
三、解答题（共52分）
17．（6分）计算：（）2+4（﹣1）﹣．
【分析】先利用二次根式的性质化简，然后合并即可．
【解答】解：原式＝5+4﹣4﹣4
＝1．
18．（6分）解方程：x（x﹣1）＝3（x﹣1）．
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：原方程移项得：x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0；，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝1或x2＝3．
19．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点都在正方形网格的格点上．
（1）请在下面的网格中作出菱形ABCD（点C，D都在正方形网格的格点上，作出一个符合题意的图形即可）；
（2）在（1）中作出的菱形面积是 20 ．
【分析】（1）构造边长为5的菱形即可．
（2）根据菱形的面积＝底×高计算即可．
【解答】解：（1）如图所示菱形ABCD即为所求．
（2）S菱形ABCD＝5×4＝20，
故答案为20．
20．（8分）某水果连锁店将进货价为20元/千克的某种热带水果现在以25元/千克的价格售出，每日能售出40千克．
（1）现在每日的销售利润为 200 元．
（2）调查表明：售价在25元/千克～32元/千克范围内，这种热带水果的售价每千克上涨1元，其销售量就减少2千克，若要使每日的销售利润为300元，售价应为多少元/千克？
【分析】（1）根据每日的销售利润＝每千克的利润×日销售量，即可求出结论；
（2）设每千克上涨x元，则售价为（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，根据每日的销售利润为300元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）（25﹣20）×40＝200（元）．
故答案为：200．
（2）设每千克上涨x元，则售价为（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，
依题意，得：（25+x﹣20）（40﹣2x）＝300，
整理，得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
当x＝5时，25+x＝30，符合题意；
当x＝10时，25+x＝35＞32，不合题意，舍去．
答：售价应为30元/千克．
21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，分别连接BE，CE，若点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）设四边形EFGH的面积为S1，四边形ABCD的面积为S2，请直接写出S1：S2的值．
【分析】（1）由中位线定理可得出结论；
（2）连接GE，则S△GEF＝S△GFC，S△GEH＝S△GHB，S1＝S△BCE；可得出答案．
【解答】（1）证明：∵点F，G，H分别是EC，BC，BE的中点，
∴GF∥BE，且GF＝BE＝HE，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：∵点F，H分别是EC，BE的中点，
连接GE；
则S△GEF＝S△GFC，S△GEH＝S△GHB，
∴S1＝S△BCE；
又S2＝2S△BCE，
∴S1：S2＝1：4．
22．（8分）端午节是中华民族的传统节目，为弘扬传统文化，培育爱国情怀，某校组织“端午话粽情”知识大赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据成绩绘制了如下不完整的频数分布直方图和频数分布表（每组包含最小值，不含最大值）：
成绩
频数
频率
60﹣70
15
m
70﹣80
20
0.4
80﹣90
n
0.2
90﹣100
5
0.1
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）共抽取了 50 名学生进行调查，m＝ 0.3 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果成绩80分及以上者为“优秀”，请你估计全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生约有多少人？
【分析】（1）由统计图表可知，70～80的学生有20人，占调查学生人数的40%（0.4），可求出调查人数，根据频数、频率、总数之间的关系可以求出m、n的值；
（2）求出n的值，即可补全条形统计图；
（3）样本估计总体，样本中优秀占（0.2+0.1），即30%，因此估计总体1500人的30%是优秀的人数．
【解答】解：（1）20÷0.4＝50（人），15÷50＝0.3，
故答案为：50； 0.3；
（2）n＝50×0.2＝10（人），补全频数分布直方图如图所示：
（3）1500×（0.2+0.1）＝450（人）
答：全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生约有450人．
23．（10分）在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
（1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝ 5 ；
（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；
（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．
【分析】（1）如图1，连接CG，证明△CBD≌△CBG（SAS），可得G，C，D三点共线，利用勾股定理可得AG的长；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE≌△BKG，可得AK和KG的长，利用勾股定理计算AG的长；
（3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG（AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；
②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．
【解答】解：（1）如图1，连接CG，
∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，
∴∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠CBD，
∵BC＝BC，
∴△CBD≌△CBG（SAS），
∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，
∴G，C，D三点共线，
∴AG＝＝＝5；
故答案为：5；
（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，
∵DE＝2，DC＝5，
∴CE＝3，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，
∴∠EBC＝∠GBK，
∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，
∴△BCE≌△BKG（AAS），
∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，
∴AK＝10，
由勾股定理得：AG＝＝；
（3）分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），
∴BC＝BK＝5，
∵AG＝，
由勾股定理得：KG＝＝，
∴CE＝KG＝，此种情况不成立；
②当点E在边CD上时，如图4，
同理得：DE＝；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，
同理得CE＝GK＝，
∴DE＝5+＝，
综上，DE的长是或．
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