2019-2020学年河南省新乡市新乡县八年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年河南省新乡市新乡县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．任何实数
2．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
3．（3分）一次函数y＝kx+3的函数值y随x的増大而増大，则图象不可能经过下列哪个点（　　）
A．（2，4） B．（﹣1，2） C．（5，1） D．（﹣1，﹣4）
4．（3分）下列四边形对角线垂直但不一定相等的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．（3分）一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（　　）

A．60 B．30 C．24 D．12
6．（3分）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）已知，则2xy的值为（　　）
A．﹣15 B．15 C． D．
8．（3分）从鱼塘捕获同时放养的草鱼240条，从中任选8条称得每条鱼的质量分别为：1.5，1.6，1.4，1.3，1.5，1.2，1.7，1.8（单位：千克），那么可估计这240条鱼的总质量大约为（　　）
A．300千克 B．360千克 C．36千克 D．30千克
9．（3分）汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（10，0），OB＝8，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　）

A．（0，0） B．（，） C．（，） D．（，）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：　 　．（填“＞、＜、或＝”）
12．（3分）某中学规定学生的学期体育总评成绩满分为100分，其中平均成绩占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小彤的三项成绩（百分制）依次为95，90，88，则小彤这学期的体育总评成绩为　 　．
13．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为　 　．

14．（3分）若直线y1上的每个点都可以表示为（m﹣2，m），且直线y1和y轴交点为点A，和直线y2＝x交点为点B，若点O为坐标原点，则△AOB的面积为　 　．
15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间　 　秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

三、解答题（共8题，共75分）
16．（12分）计算：
（1）（5﹣6+4）÷；
（2）（3+2）（3﹣2）；
（3）先化简，再求值：（6x•+）﹣（4y•+），其中x＝+1，y＝．
17．（8分）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若AO＝3，∠OBC＝30°，求矩形的周长和面积．

18．（8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？

19．（8分）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km．
（1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明．
（2）求这个最短距离．

20．（9分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果AC＝4，求DE的长．

21．（9分）某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格60元/张，另一类为团体门票（一次性购买门票10张及以上），每张门票价格在散客价格基础上打8折．某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游x人，购买门票需要y元．
（1）如果每人分别买票，求y与x之间的函数解析式．
（2）如果买团体票，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案．
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P是对角线AC上一个动点，连接PD，过点P向P点右侧作PD的垂线PQ交射线BC于点Q，连接DQ．
（1）如图1，PM⊥BC，PN⊥CD，求证：DP＝PQ；
（2）如图2，连接AQ，在点P从点A向点C运动过程中，求△AQD周长的最小值．
（3）直接写出当PC为何值时，△PQC是等腰三角形．

23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，直线L2：y＝﹣x+6与L1：y＝x交于点A，分别与x轴、y轴交于点B、C．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点．
①如图2，过点P作PQ∥OC，且使四边形OCPQ为菱形，请直接写出点Q的坐标；
②在平面内是否存在其它点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2019-2020学年河南省新乡市新乡县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．任何实数
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
2．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC D．AB＝AD，CB＝CD
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
【解答】解：如图示，根据平行四边形的判定定理知，只有C符合条件．
故选：C．

3．（3分）一次函数y＝kx+3的函数值y随x的増大而増大，则图象不可能经过下列哪个点（　　）
A．（2，4） B．（﹣1，2） C．（5，1） D．（﹣1，﹣4）
【分析】由一次函数y＝kx+3可知函数经过（0，3），函数值y随x的増大而増大，函数图象从左向右上升，可知不经过（5，1）．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3
∴函数经过（0，3），
∵函数值y随x的増大而増大，
∴函数图象从左向右上升，
∴可知不经过（5，1）．
故选：C．
4．（3分）下列四边形对角线垂直但不一定相等的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】由平行四边形，正方形，菱形，矩形的性质可求解．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，不一定垂直，故该选项错误；
B、矩形的对角线相等，不一定垂直，故该选项错误；
C、菱形的对角线垂直，不一定相等，故该选项正确；
D、正方形的对角线垂直且相等，故该选项错误；
故选：C．
5．（3分）一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（　　）

A．60 B．30 C．24 D．12
【分析】连接AC，利用勾股定理解出直角三角形ABC的斜边，通过三角形ACD的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差．
【解答】解：连接AC，
∵在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠B＝90°，
∴AC＝5，
∵在△ACD中，AC＝5，DC＝12，AD＝13，
∴DC2+AC2＝122+52＝169，AD2＝132＝169，∴DC2+AC2＝AD2，△ACD为直角三角形，AD为斜边，
∴木板的面积为：S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝24．
故选：C．

6．（3分）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）

A． B． C． D．
【分析】图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣4，﹣2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【解答】解：函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2），
即x＝﹣4，y＝﹣2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解是．
故选：B．
7．（3分）已知，则2xy的值为（　　）
A．﹣15 B．15 C． D．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求出x的值，然后代入式子求出y的值，最后求出2xy的值．
【解答】解：要使有意义，则，
解得x＝，
故y＝﹣3，
∴2xy＝2××（﹣3）＝﹣15．
故选：A．
8．（3分）从鱼塘捕获同时放养的草鱼240条，从中任选8条称得每条鱼的质量分别为：1.5，1.6，1.4，1.3，1.5，1.2，1.7，1.8（单位：千克），那么可估计这240条鱼的总质量大约为（　　）
A．300千克 B．360千克 C．36千克 D．30千克
【分析】先计算出8条鱼的平均质量，然后乘以240即可．
【解答】解：8条鱼的质量总和为（1.5+1.6+1.4+1.3+1.5+1.2+1.7+1.8）＝12千克，每条鱼的平均质量＝12÷8＝1.5（千克），可估计这240条鱼的总质量大约为1.5×240＝360（千克）．
故选：B．
9．（3分）汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，所以前1小时路程随时间增大而增大，后来以100千米/时的速度匀速行驶，路程的增加幅度会变大一点．据此即可选择．
【解答】解：由题意知，前1小时路程随时间增大而增大，1小时后路程的增加幅度会变大一点．
故选：C．
10．（3分）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（10，0），OB＝8，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　）

A．（0，0） B．（，） C．（，） D．（，）
【分析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．
【解答】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．

∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC＝AG，OG＝BG＝4，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD＝PA+PD＝DA，
∴此时PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG＝＝＝2，
∴AC＝4，
∵OA•BK＝•AC•OB，
∴BK＝16，AK＝＝6，
∴点B坐标（16，8），
∴直线OB解析式为y＝x，直线AD解析式为y＝﹣x+1，
由解得，
∴点P坐标（，）．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：　＜　．（填“＞、＜、或＝”）
【分析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解．
【解答】解：∵（）2＝12，（3）2＝18，
而12＜18，
∴2＜3．
故答案为：＜．
12．（3分）某中学规定学生的学期体育总评成绩满分为100分，其中平均成绩占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小彤的三项成绩（百分制）依次为95，90，88，则小彤这学期的体育总评成绩为　90分　．
【分析】根据加权平均数的计算方法，求出小彤这学期的体育总评成绩为多少即可．
【解答】解：95×20%+90×30%+88×50%
＝19+27+44
＝90（分）
∴小彤这学期的体育总评成绩为90分．
故答案为：90分．
13．（3分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为　1　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∠AFB＝90°，
∴DE＝BC，DF＝AB，
∵AB＝6，BC＝8，
∴DE＝×8＝4，DF＝×6＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
14．（3分）若直线y1上的每个点都可以表示为（m﹣2，m），且直线y1和y轴交点为点A，和直线y2＝x交点为点B，若点O为坐标原点，则△AOB的面积为　8　．
【分析】根据直线y1上的每个点都可以表示为（m﹣2，m），且直线y1和y轴交点为点A，得到方程m﹣2＝0，求得m＝4，得到A（0，4），由于直线y1和直线y2＝x交点为点B，得到方程m﹣2＝m，求得m＝﹣4，得到B（﹣4，﹣4），于是结论可得．
【解答】解：∵直线y1上的每个点都可以表示为（m﹣2，m），且直线y1和y轴交点为点A，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝4，
∴A（0，4），
∵直线y1和直线y2＝x交点为点B，
∴m﹣2＝m，
∴m＝﹣4，
∴B（﹣4，﹣4），
∴S△AOB＝×4×4＝8，
故答案为：8．
15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间　2或　秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

【分析】由已知以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形有两种情况，（1）当Q运动到E和B之间，（2）当Q运动到E和C之间，根据平行四边形的判定，由AD∥BC，所以当PD＝QE时为平行四边形．根据此设运动时间为t，列出关于t的方程求解．
【解答】解：由已知梯形，
（1）当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
2t﹣＝6﹣t，
解得：t＝，

（2）当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝2，
故答案为：2或．

三、解答题（共8题，共75分）
16．（12分）计算：
（1）（5﹣6+4）÷；
（2）（3+2）（3﹣2）；
（3）先化简，再求值：（6x•+）﹣（4y•+），其中x＝+1，y＝．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算；
（2）利用平方差公式计算；
（3）先把二次根式化为最简二次根式，合并得到原式＝﹣，然后把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（15﹣18+4）÷
＝（4﹣3）÷
＝4﹣3；
（2）原式＝9﹣8
＝1；
（3）∵x＝+1＞0，y＝＞0，
∴xy＝（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，
原式＝6+3﹣4﹣6
＝﹣
＝﹣
＝﹣1．
17．（8分）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若AO＝3，∠OBC＝30°，求矩形的周长和面积．

【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，AD＝BC，AB＝DC，AO＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出AC＝BD＝2AO＝6，OB＝OC，求出AB、BC，最后求出周长和面积即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AO＝3，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC，AB＝DC，AO＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴AC＝BD＝2AO＝6，OB＝OC，
∵∠OBC＝30°，∠DCB＝90°，
∴AB＝CD＝BD＝3，
由勾股定理得：BC＝3，
∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝3，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝6+6，
矩形ABCD的面积是AB×BC＝3×3＝9．
18．（8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量（单位：吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？

【分析】（1）根据条形图中数据得出平均用水11吨的户数，进而画出条形图即可；
（2）根据平均数、中位数、众的定义分别求解即可；
（3）根据样本估计总体得出答案即可．
【解答】解：（1）根据条形图可得出：
平均用水11吨的用户为：100﹣20﹣10﹣20﹣10＝40（户），
如图所示：

（2）平均数为：（20×10+40×11+12×10+13×20+10×14）＝11.6（吨），
根据11出现次数最多，故众数为：11，
根据100个数据的最中间为第50和第51个数据，
按大小排列后第50，51个数据是11，故中位数为：11；
答：这100个样本数据的平均数，众数和中位数分别是11.6，11，11；
（3）样本中不超过12吨的有20+40+10＝70（户），
答：黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：500×＝350（户）．

19．（8分）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km．
（1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明．
（2）求这个最短距离．

【分析】（1）根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置；
（2）结合勾股定理得出即可．
【解答】解：（1）如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建出口，
此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长．

（2）作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8 km，DC＝6 km．
∴AC＝10 km，
∴这个最短距离为10 km．

20．（9分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠ABC的度数；
（2）如果AC＝4，求DE的长．

【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据菱形的四条边都相等可得AB＝AD，然后求出AB＝AD＝BD，从而得到△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出△DAB＝60°，然后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（2）根据菱形的对角线互相平分求出AO，再根据等边三角形的性质可得DE＝AO．
【解答】解：（1）∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠DAB＝60°．
∵菱形ABCD的边AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣60°＝120°，
即∠ABC＝120°；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×4＝2，
由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE＝AO＝2．
21．（9分）某景点的门票销售分两类：一类为散客门票，价格60元/张，另一类为团体门票（一次性购买门票10张及以上），每张门票价格在散客价格基础上打8折．某班部分同学要去景点旅游，设参加旅游x人，购买门票需要y元．
（1）如果每人分别买票，求y与x之间的函数解析式．
（2）如果买团体票，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）请根据人数变化设计一种比较省钱的购票方案．
【分析】（1）买散客门票价格为60元/张，利用票价乘人数即可，即y＝60x；
（2）买团体票，不超过10人时，y＝60x，需要一次购买门票10张及以上，即x≥10，利用打折后的票价乘人数即可；
（3）根据（1）（2）分情况探讨得出答案即可．
【解答】解：（1）y＝60x；
（2）团体票：当0≤x＜10时，y＝60x，
当x≥10时，y＝60×0.8x＝48x（x≥10）；
综上，y与x之间的函数解析式为：；
（3）因为60×8＝48×10，
所以当人数为8人，x＝8时，两种购票方案相同；
当人数少于8人，x＜8时，按散客门票购票比较省钱；
当人数多于8人，x＞8时，按团体票购票比较省钱．
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P是对角线AC上一个动点，连接PD，过点P向P点右侧作PD的垂线PQ交射线BC于点Q，连接DQ．
（1）如图1，PM⊥BC，PN⊥CD，求证：DP＝PQ；
（2）如图2，连接AQ，在点P从点A向点C运动过程中，求△AQD周长的最小值．
（3）直接写出当PC为何值时，△PQC是等腰三角形．

【分析】（1）根据正方形的对角线平分一组对角可得：∠ACB＝∠ACD，由角平分线的性质得：PM＝PN，证明△DPN≌△QPM，可得结论；
（2）先确定△AQD周长的最小值时点Q的位置，因为△ADQ的周长＝AQ+DQ+AD，这三条线段中，AD为定值，所以AQ+DQ的最小值，就是△AQD周长的最小值，根据轴对称的最短路径先作辅助线，根据勾股定理可得A'D的值，从而得结论；
（3）通过画图可知，存在两种情况：
①如图3，当P与A重合，Q与B重合时，PQ＝CQ，此时PC＝4；
②如图4，当Q在BC的延长线上时，PC＝CQ时，作辅助线，构建全等三角形，易得△DGP≌△PHQ根据GH＝AB＝4，列方程可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵PM⊥BC，PN⊥CD，
∴∠PMQ＝∠PND＝90°，
∴PM＝PN，∠NPM＝90°，
∵DP⊥PQ，
∴∠DPQ＝90°，
∴∠DPN＝∠QPM，
∴△DPN≌△QPM，
∴DP＝PQ；
（2）作A关于BC的对称点A'，连接A'D，当Q在AD上时，如图2，此时△AQD的周长最小，
∵AB＝A'B＝AD＝4，
Rt△DAA'中，A'D＝＝＝4，
∴△ADQ的周长＝AQ+DQ+AD＝A'Q+DQ+AD＝A'D+AD＝4+4，
即△AQD周长的最小值是4+4；
（3）存在两种情况：
①如图3，当P与A重合，Q与B重合时，PQ＝CQ，此时PC＝4；
②如图4，当Q在BC的延长线上时，PC＝CQ时，过P作GH⊥AD，则GH⊥BC，
易得△DGP≌△PHQ，
∴PG＝QH，
设CH＝x，则PH＝x，PC＝CQ＝x，
∴PG＝HQ＝x+x，
∵GH＝AB＝4，
∴2x+x＝4，
x＝4﹣2，
∴PC＝x＝4﹣4；
综上所述，当PC的长为4或4﹣4时，△PQC是等腰三角形．



23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，直线L2：y＝﹣x+6与L1：y＝x交于点A，分别与x轴、y轴交于点B、C．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点．
①如图2，过点P作PQ∥OC，且使四边形OCPQ为菱形，请直接写出点Q的坐标；
②在平面内是否存在其它点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）构建方程组确定交点A的坐标，利用待定系数法确定B，C两点坐标即可．
（2）设D（m，m），利用三角形的面积公式，构建方程求出m的值，再利用待定系数法即可解决问题．
（3）①构建OC＝PC，设P（m，m），利用两点间距离公式，构建方程求出m即可．
②如图2﹣1中，当OC为菱形的对角线时，OC垂直平分线段OC，利用对称性解决问题即可．
③当OC＝OP时，P″（6，3），Q″（6，6）．
【解答】解：（1）由，解得，
∴A（6，3）．
∵y＝﹣x+6与分别与x轴、y轴交于点B、C，
∴C（0，6），B（12，0）．

（2）设D（m，m），
由题意：OC＝6，△COD的面积为12，
∴×6×m＝12，
∴m＝4，
∴D（4，2），∵C（0，6），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6．

（3）①∵四边形OCPQ是菱形，
∴OC＝PC＝6，
设P（m，﹣m+6），
∴m2+m2＝36，
∴m＝3或﹣3，
∴P（3，﹣3+6），
∵PQ∥OC，PQ＝OC，
∴Q（3，﹣3），

②如图2﹣1中，当OC为菱形的对角线时，OC垂直平分线段OC，

易知P′（3，3），Q′（﹣3，3），
∴满足条件的点Q′的坐标为（﹣3，3）．
③当OC＝OP时，P″（6，3），Q″（6，6）．