还剩52页未读，
继续阅读
初中数学华师大版八年级上册第13章 全等三角形综合与测试示范课ppt课件
展开
这是一份初中数学华师大版八年级上册第13章 全等三角形综合与测试示范课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了命题是陈述句，概念学习，综合法，分析法，反证法，举反例，两个角不相等，证明命题的一般步骤，1全等三角形，几何语言表达等内容，欢迎下载使用。
1.1—1.2 命题、定理与证明
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
1、能清楚地规定某一名称或术语的意义 的句子叫做定义。
2、对某一件事情作出正确或不正确的 判断的句子叫做命题。
3、命题由条件和结论两部分组成。
4、命题可以写成“如果...那么...”的形式， 在如果后写条件，在那么后写结论。
5、命题是陈述句。
概念学习：
命题
真命题
假命题
公理
定理
证明
综合法
分析法
反证法
举反例
证明
反例：具有命题条件，但不具有命题结论的例子。
概念学习：
推理方向是从已知到求证的思考方法 叫做综合法.
先假设命题不成立，从这样的假设出发， 经过推理得出和已知条件矛盾，或者与 定义、公理、定理等矛盾，从而得出假 设不成立是错误的，即所求证命题正确， 这样的思考方法叫做反证法。
概念学习：
推理方向是从求证到已知的思考方法 叫做分析法.
观察、猜想、度量、实验得出的结论未必都正确； 一个命题的真假，常常需要进行有理有据的推理才能作出正确的判断，这个推理过程叫做命题的证明．把经过证明的真命题叫做定理．
强调：
下列语句中哪些是命题？请判断其中命题的真假，并说明理由。
（1）每单位面积所受到的压力叫做压强.
（2）两个奇数的和是偶数.
（3）两个无理数的乘积一定是无理数.
（4）偶数一定是合数吗？
（5）连结AB.
（6）不相等的两个角不可能是对顶角.
巩固：
练习：将下列命题改写成“如果…那么…” 的形式，然后指出这个命题的题设和结论。
（1）同角的补角相等。（2）两直线平行，同位角相等。（3）在同一平面内，同垂直于第三条 直线的两直线平行。
分析命题“不相等的两个角不可能是对顶角”
条件：
结论：
改写成“如果……，那么……”的形式：
两个角不相等
这两个角不可能是对顶角
如果两个角不相等，那么这两个角不可能是对顶角。
★ 两点之间，线段最短。
★ 两点确定一条直线。
★ 过直线外一点，有且只有一条直线与 已知直线平行。
★ 同位角相等，两直线平行。
★ 两直线平行，同位角相等。
★ 全等三角形的对应角相等，对应边相等。
公理：公认为正确的命题。
★ 三角形任何两边的和大于第三边.★ 内错角相等, 两条直线平行.★ 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等.
前面我们已经学过的，用推理的方法得到的那些用黑体字表述的图形的性质都可以作为定理.
定理：用推理的方法判断为正确的命题。
反证法
2、步骤:
从假设出发
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
1、概念：
假设命题不成立
推出矛盾
得出结论
假设不成立
求证的命题正确
证明命题的一般步骤:
(2)理解题意: ※分清命题的条件(已知)、结论(求证); ※结合图形，用符号语言写出“已知” 和“求证”;
(1)根据题意,画出图形;
(3)分析题意,探索证明思路；依据思路, 运用数学符号和数学语言条理清晰地 写出证明过程。
例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线。求证：BD=CE.
例2 如图在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90º，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F。 ⑴求证：AE=CF；⑵是否还有其它结论？
例3 已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D.求证：AE=CD.
说明：在三角形中，有多个垂直关系时，常利用“同角(或等角)的余角相等”来证明两个角相等，从而证明三角形全等.
证明：
∵∠ACB=90°，CF⊥AE
∴∠EAC+∠ACF=90°， ∠DCB+∠ACF=90°
∵BD⊥BC ∴∠DBC =90º=∠ACB
又∵AC=BC
∴△AEC≌△CDB
∴AE=CD
∴∠EAC=∠DCB
例4 已知：如图，AD是△ABD和△ACD的 公共边，求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C。
证法一：∵在△ABD中, ∠1＝180º－∠B－∠3 在△ADC中, ∠2＝180º－∠C－∠4 又∵∠BDC＝360º－∠1－∠2∴∠BDC ＝360º-( 180º-∠B-∠3)- ( 180° -∠C-∠4)＝ ∠B+∠C+∠3+∠4. 又∵ ∠BAC＝∠3+∠4,∴ ∠BDC ＝∠B+∠C+∠BAC.
1
2
3
4
证法二：如图，连接BC.∵在△ABC中, ∠BAC +∠ABC +∠ACB ＝180º 在△BDC中, ∠BDC+∠1+∠2＝180º又∵∠ABC＝∠ABD+∠1,∠ACB＝∠ACD+∠2 ∴ ∠BDC ＝∠ABD+∠ACD+∠BAC.
证法三：如图，延长AD.∵∠1=∠3+∠C ，∠2=∠4+∠B ∴ ∠1+∠2=∠3+∠C+∠4+∠B
即 ∠BDC ＝∠BAC+∠B+∠C.
2.1全等三角形
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
1、下列两个三角形是怎样由一个三角形 得到另一个三角形？它们有什么特点？
D
E
D
观察思考
一个三角形经过平移、旋转、翻折等位移变换后得到另一个三角形。位置改变，但形状、大小不变。
结论：
A
B
C
D
E
F
2、下列各图中的两个三角形是全等形吗？
结论：经过平移、旋转、翻折等位移变换 得到的三角形与原三角形全等。
观察思考
1、能够完全重合的两个三角形,叫做 全等三角形。
2、把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
归纳
表示图中的△ABC和△DEF全等：
3、全等三角形的表示法：
记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.
注意
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有没有变化？由此你能得到什么结论？
E
A
D
C
B
F
观察思考
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
如图，∵△ABC≌△DEF ∴ AB=DE, BC=EF, AC=DF；
几何语言表达：
全等三角形的性质
如图，∵△ABC≌△DEF ∴ ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.
归纳
A
B
C
L
N
M
根据图形变换，写出全等式，再指出它们的对应边和对应角.
应用交流
△ABC≌△LMN
对应边:AB和LM, BC和MN, AC和LN；
对应角:∠A和∠L, ∠B和∠M, ∠C和∠N.
(1)
A
B
C
D
规律一：有公共边的，公共边是对应边.
△ABC≌△ABD
对应边:AB和AB, BC和BD, AC和AD；
对应角:∠BAC和∠BAD, ∠ABC和∠ABD, ∠C和∠D.
A
B
C
D
E
△ABC≌△ADE
对应边:AB和AD, AC和AE, BC和DE；
对应角:∠ACB和∠AED, ∠B和∠D, ∠BAC和∠DAE.
规律二：有公共角的，公共角是对应角.
A
C
规律三：有对顶角的，对顶角是对应角.
△AOC≌△BOD
对应边:OA和OB,OC和OD, AC和BD；
对应角:∠AOC和∠BOD, ∠A和∠B, ∠C和∠D.
O
A
B
C
F
D
E
△ABC≌△DEF
对应边:AB和DE, AC和DF, BC和EF；
对应角:∠A和∠D, ∠B和∠E, ∠C和∠F.
规律四：最长的边是对应边，最短的边是对应边;
规律五：最大的角是对应角，最小的角是对应角.
3.有公共角的，公共角一定是对应角。
4.对应角所对的边是对应边， 对应边所对的角是对应角．
5.在两个全等三角形中 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角。
1.有公共边的，公共边一定是对应边。
2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。
规律总结
6.根据书写规范,按对应顶点找对应边(角)。
1、有公共边
2、有公共顶点
典型图例
写出下列全等三角形中相等的边和角：
课堂练习
△ABD≌△CBD
(1)
AB=CB, AD=CD, BD=BD;
∠A=∠C, ∠ABD=∠CBD, ∠ADB=∠CDB.
(2)
△OAB≌△OCD
OA=OC, OB=OD, AB=CD;
∠A=∠C,∠B=∠D, ∠AOB=∠COD.
△ABC≌△ADE
(3)
AB=AD, AC=AE, BC=DE;
∠B=∠D, ∠C=∠E, ∠BAC=∠DAE.
(4)
△ADE≌△CBF
AD=CB, AE=CF, DE=BF;
∠A=∠C, ∠ADE=∠CBF, ∠AED=∠CFB.
△ABN≌△ACM
(5)
AB=AC, AN=AM, BN=CM;
∠B=∠C, ∠ANB=∠AMC, ∠BAN=∠CAM.
(6)
△AOB≌△DOC
AB=DC, AO=DO, BO=CO;
∠A=∠D, ∠AOB=∠DOC, ∠ABO=∠DCO.
O
△ABC≌△DCB
AB=DC, AC=DB, BC=CB;
∠A=∠D, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC.
1、若△AOC≌△BOD， 则AC= ，∠A＝ .
A
B
O
C
D
2、若△ABD≌△ACE， 则BD= ,∠BDA= .
3、若△ABC≌△CDA, 则AB= ，∠BAC= .
填空：
BD
∠B
CE
∠CEA
CD
∠DCA
公共点
公共角
公共边
(2)已知△ABC≌△CDA，则AC边的对应边为 .
(1)已知△ABC≌△ADE，则∠A的对应角为 .
(3)已知△ABC≌△DEF，则AB边的对应边为 ,∠C的对应角为 .
CA
∠A
DE
∠F
填一填：
1、如图,已知△AOC≌△BOD, 求证：AC∥BD.
拓展提高
证明：
∵△AOC≌△BOD,
(已知)
∴∠A=∠B,
(全等三角形的对应角相等)
∴AC∥BD.
(内错角相等，两直线平行)
2、如图,已知△ABD≌△ACE,且∠C=50º, ∠A=30º，AC= 8，AE = 5，求∠ADB及DC.
解：
∵△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠C=50°
？
(全等三角形的对应角相等)
∵∠A=30°,
∴∠ADB=180°-∠A-∠B =100°.
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE=5.
(全等三角形的对应边相等)
∵AC= 8,
∴DC=AC-AD=3.
5
5
3
3、如图, △EFG≌△NMH.
(2)如果EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm, 求NM、HG的长.
(1)请找出对应边和对应角。
(3)在(2)的条件下,若FG=4cm, 求△NMH的周长.
2.1
1.1
3.3
2.1
2.2
(4)这两个三角形的面积相等吗？
互相重合的角叫做 .
互相重合的边叫做 ，
其中：互相重合的顶点叫做 ，
2. 叫全等三角形.
1.能够重合的两个图形叫做 。
全等形
4.全等三角形的 和 相等.
对应边
对应角
对应顶点
课堂小结
能够完全重合的两个三角形
3.“全等”用符号“ ”来表示， 读作“ ”.
对应边
对应角
5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上.
全等于
≌
2.2全等三角形 的判定条件
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
1. 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫全等三角形。
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④∠A=∠D
⑤∠B=∠E
⑥∠C=∠F
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④∠A=∠D
⑤∠B=∠E
⑥∠C=∠F
我们知道：若两个三角形的三条边与三个角都分别对应相等，那么这两个三角形一定可以互相重合，即全等。如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗？
1.一个条件可以吗？
(1)有一条边相等的两个三角形
不一定全等
探究活动
(2)有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论:只有一条边或一个角对应相等 的两个三角形不能保证一定全等.
(1)两边；
(3)两角。
(2)一边一角；
2. 如果满足两个条件，有哪几种可能？
如三角形的两边分别为4cm，6cm时:
4cm
6cm
6cm
4cm
结论:两条边对应相等的两个三角形 不一定全等.
探究活动
4cm
4cm
30◦
30◦
如三角形的一边为4cm,一内角为30°时:
结论:一条边一个角对应相等的 两个三角形不一定全等.
如三角形的两个内角分别为30º,45º时:
结论:两个角对应相等的两个三角形 不一定全等.
两个条件：①两角；②两边；③一边一角。
综上可得：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。
一个条件：①一角；②一边；
你能得到什么结论？
3.满足三个条件，有哪几种可能的情况？
(1)三角；
(2)三边；
(3)两边一角；
(4)两角一边.
如：一个三角板上的大小两个三角形的三个内角分别为30°、60°、90°，它们显然不全等.这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180°,已知两个角时，则第三个角可确定。故三内角对应相等的两个三角形不一定全等.
只有一条边相等的两个三角形 ；
通过本节课的探索，我们得到以下信息：
不全等
课堂小结
只有一个角相等的两个三角形 ；
有两条边对应相等的两个三角形 ；
不全等
不一定全等
有两个角对应相等的两个三角形 ；
不一定全等
有三个角对应相等的两个三角形 ；
不一定全等
课后思考作业
我们由一角、一边、两角、两边甚至 三角的相等都不能保证三角形全等. 那么，要判定两个三角形的全等究竟 至少要哪些边角相等的条件呢？ 请大家课后用作图的方法继续探索， 和同学积极交流自己的发现。
2.3全等三角形的判定 ---边角边(SAS)
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
若△AOC≌△BOD，对应边: AC= ， AO= ， CO= ；对应角: ∠A= ， ∠C= ， ∠AOC= .
温故知新：全等三角形的性质
BD
BO
DO
∠B
∠D
∠BOD
思考：如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？
上节课给大家留了这样一个思考题，你们想好了吗？
有以下的四种情况：1、三角；2、两边一角；3、两角一边；4、三边．
本节课我们探索：2、两角一边
探索：如果已知两个三角形有两边一角对应相等时，应分为几种情形讨论？
第一种：
边--角--边
第二种：
边--边--角
作图
画一个三角形，使它的一个内角为45°,夹这个角的一条边为３厘米，另一条边长为４厘米.
步骤：1.画一线段AB,使它等于4cm；
△ABC就是所求作的三角形.
4cm
2.画∠MAB=45°；
M
3.在射线AM上截取AC=3cm；
C
4.连结BC.
比较：你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
实践检验
全等!
同桌两个同学自行约定：各画一个三角形，使它们具有相同的两条边和一个夹角，比较一下，可以得出什么结论？
实践与探索
在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等(简记为S.A.S)
结论：
温馨提示:
这是一个公理
全等三角形判定公理“S.A.S”的几何表示：
在△ABC与△DEF中，
∵
AB=DE，
∠A＝∠D，
AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（S.A.S.）
例1:如图,在△ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC. 求证：△ABD≌△ACD．
证明:
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC，(已知) ∠BAD＝∠CAD，(已证) AD＝AD，(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.A.S.）
∵
A
B
C
D
巩固练习1.在下列图中找出全等三角形：
2、如图，已知AB和CD相交于O, OA=OB, OC=OD.说明 △OAD与△OBC全等的理由.
∴△OAD≌△OBC (S.A.S)
解：在△OAD 和△OBC中
∵
3、如图所示, 根据题目条件，判断下面的 三角形是否全等．（1）AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF；（2）BC＝BD， ∠ABC＝∠ABD．
例２：小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？
解：在△EDH和△FDH中： ED＝FD （已知） ∠EDH=∠FDH（已知） DH＝DH（公共边）
∴△EDH≌△FDH（S.A.S）
∴EH=FH(全等三角形对应边相等)
链接生活：
小明不小心打翻了墨水，将自己所画的三角形涂黑了，你能帮小明想想办法，画一个与原来完全一样的三角形吗？
∵ AB = A’B’ ，∠B =∠B’ ，BC =B’C’
∴ △ ABC≌ △A’B’C’（S.A.S）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ａ’
Ｂ’
Ｃ’
做一做：以3cm、4cm为三角形的两边，长度3cm的边所对的角为45° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
边边角对应相等的情况又会怎样呢？
探索：
A
B
C
3cm
4cm
45°
3cm
M
B'
步骤：1.画一线段AC,使它等于4cm ；
显然： △ABC与△AB’C不全等！
4.连结CB、CB' .
2.画∠CAM= 45º；
3.以C为圆心, 3cm长为半径画弧, 交AM于点B和点B'；
△ABC与AB'C就是所求作的三角形.
结论：两边及其一边所对的角相等， 两个三角形不一定全等.
课堂小结
1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应 相等的两个三角形全等。（S.A.S）
2、边角边公理的应用中所用到的数学方法: 转化法——要证明线段(或角)相等， 证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
课后作业： 1、已知：如图，AB=AC，AD = AE . 求证：△ABE≌△ACD.
2、如图:己知AD∥BC，AE=CF，AD=BC， E、F都在直线AC上，试说明DE∥BF。
3、如图1:若AB=AC，则添加什么条件可得 △ABD≌△ACD?
4、如图2:若AB=AD，∠1=∠2，则添加什么 条件可得△ABC≌△ADE?
2.4全等三角形的判定 ---角边角(A.S.A)
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
回顾: 三角形全等判定方法1
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
AB=DE∠B=∠EBC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“S.A.S”
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
议一议
如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？
这时应该有两种不同的情况：
（1）两个角及两角的夹边；
（2）两个角及其中一角的对边
问题导入
如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.
做一做
把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？
A
A
B
B
40º
60º
4.5cm
全等三角形的判定方法2:
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.
在△ABC和△ A'B'C'中
∠A= ∠A'
AB= A'B'
∠B= ∠B'
(A.S.A)
例题：如图，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明△ABC≌△DCB.
解:
∵ ∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，(已知)
又∵ BC为公共边且对应相等，
∴△ABD≌△ACD.
（A.S.A.）
思考:如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否全等?
全等三角形的判定方法3:
如果两个三角形的两个角及一角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等.
在△ABC和△ A'B'C'中
∠B= ∠B'
AB= A'B'
∠C= ∠C'
(A.A.S)
练 习 1. 根据题目条件，判别下面的两个 三角形是否全等，并说明理由.
D
2.要使下列各对三角形全等，需要增加什么条件？（1） （2）
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
3.如图，已知AB与CD 相交于O，∠A＝∠D，CO＝BO，说明△AOC与△DOB全等的理由.
4. 已知：如图，△ABC ≌△A’B’C’，AD、A’D’ 分别是△ABC 和△A’B’C’的高。试说明AD＝ A’D’ ，并用一句话说出你的发现。
思考题:
全等三角形对应边上的高也相等。
5、△ABC是等腰三角形，AD、BE 分别是∠A、∠B 的角平分线，△ABD和△BAE 全等吗？试说明理由.
∵ △ABC是等腰三角形
∴ AC=BC ∠A＝∠B
又∵ AD、BE 分别是∠A、∠B 的角平分线
解
∴ ∠BAD＝0.5∠A ∠ABE＝0.5∠B
∴ ∠BAD =∠ABE
∴△ABD≌△BAE (A.S.A)
课堂小结
1、角边角定理：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.（A.S.A.）
2、角角边定理：如果两个三角形的两个角及一角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等.（A.A.S.）
1、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE 和△ACD全等吗？为什么？
课后作业
（ASA）
∴ △ABE ≌△ACD
（已知）
AB=AC
∠B=∠C
∠A= ∠A
（公共角）
∵在△ABE与△ACD中
证明:
(已知)
2、如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？
（全等三角形对应边相等）
∴ BE=CD
（AAS）
∴ △ABE ≌△ACD
（已知）
AE=AD
∠B=∠C
∠A= ∠A
（公共角）
在△ABE与△ACD中
证明:
答:BE =CD
(已知)
3、已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D 求证：AC=AD.
证明：
2.5全等三角形的判定 ---边边边(S.S.S)
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm,它们一定全等吗？
三条边
探索三角形全等的条件:
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A'B'C',使A'B'= AB ,B'C' =BC, A'C'=AC.把画好△A'B'C'的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？
画法: 1.画线段 B'C'=BC;
2.分别以B' 、C'为圆心，BA、BC为半径画弧，两弧交于点A';
3. 连接线段 A'B'， A'C' .
A
B
C
A'
三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“S.S.S.”
边边边公理：
注： 这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原因。
在△ABC与△DEF中
AB=DEAC=DFBC=EF
∴△ABC≌△DEF(S.S.S.)
如何用符号语言来表达边边边公理呢?
A
C
B
D
证明：∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD与△ACD中
AB=AC（已知）
BD=CD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（S.S.S.）
例1 如图, △ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架,求证:△ABD≌△ACD.
求证：∠B=∠C.
∴∠B=∠C.
归纳
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
证明的书写步骤：
练习: 1.已知如图，AB=AD，BC=DC， 求证：△ABC≌ △ADC.
A
B
C
D
AC=AC
AB=AD ( )BC=DC ( )
∴ △ABC≌△ADC(S.S.S.)
证明：在△ABC和△ADC中
已知
已知
(公共边)
解： △ABC≌△DCB. 理由如下： AB = CD AC = BD .
2.如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
BC = CB
∴ △ABC≌ ( )
△DCB
S.S.S.
BF=CD
或BD=CF
证明：∵ AD=FB ∴ AB=FD（等式性质） 在△ABC和△FDE 中
AC=FE（已知）BC=DE（已知）AB=FD（已证）∴△ABC≌△FDE（S.S.S.）
=
=
∴ ∠C=∠E(全等三角形的对应角相等)
例2: 已知如图，AC=FE，AD=FB，BC=DE. 求证：△ABC≌△FDE.
求证：∠C=∠E.
求证：AC∥EF；DE∥BC
∴∠A=∠F,∠ABC=∠FDE,
∴AC∥EF，DE∥BC.
(内错角相等，两直线平行)
例3: 已知:如图，AB=AC,DB=DC, 请说明∠B=∠C成立的理由.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC (已知）
DB=DC （已知）
AD=AD （公共边）
∴△ABD≌△ACD (S.S.S.)
解：连接AD.
∴ ∠B =∠C (全等三角形的对应角相等）
例4: 已知: 如图, 四边形ABCD中， AD=CB,AB=CD，求证：∠A＝∠C.
A
C
D
B
分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。
构造公共边是常添的辅助线
解：连接BD. 在△ABD和△CDB中， ∵ AD=CB, AB=CD, BD=DB, ∴△ABD≌△CDB(S.S.S.) ∴∠A＝∠C.
例4: 已知: 如图, 四边形ABCD中， AD=CB,AB=CD，求证：∠A＝∠C.
A
C
D
B
1
2
3
4
(法二)：连接AC. 在△ABC和△CDA中， ∵ AB=CD, BC=DA, AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(S.S.S.) ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴∠2+∠3＝∠1+∠4 即∠A＝∠C.
1.有三边对应相等的两个三角形全等. 简写成“边边边”（S.S.S.）
2.边边边公理发现过程中用到的数学方法（包括画图、猜想、分析、归纳等.)
3.边边边公理在应用中用到的数学方法: 证明线段(或角)相等转化为 证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
两个三角形全等的注意点：
1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
小结:
3. 有时需添辅助线(如:造公共边)
1、已知：AC=AD,BC=BD, 求证：AB是∠DAC的平分线.
课后作业
2、已知：四边形ABCD中,对角线相交于点O,AD=BC,AC=BD. 求证：(1)∠ADB=∠BCA;(2)△AOD≌△BOC ;(3)AB∥CD.
2.6斜边直角边H.L.
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
1、判定两个三角形全等方法： ， ， ， 。
S.S.S.
A.S.A.
A.A.S.
S.A.S.
3、如上图2，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
2、如图，Rt∆ABC中，直角边是 、 ，斜边是 。
BC
AC
AB
(1)若∠A=∠D，AB=DE，则根据 (用简写法)，可得∆ABC与∆DEF .(填“全等”或“不全等”)
全 等
A.S.A
知识回顾
(2)若∠A=∠D，BC=EF，则根据 (用简写法)，可得∆ABC与∆DEF .(填“全等”或“不全等”)
A.A.S.
全 等
(3)若AB=DE，BC=EF，则根据 (用简写法)，可得∆ABC与∆DEF .(填“全等”或“不全等”)
S.A.S.
全 等
(4)若AB=DE，BC=EF，BC=EF，则根据 (用简写法)，可得∆ABC与∆DEF .(填“全等”或“不全等”)
S.S.S.
全 等
如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (A.A.S.)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应 的锐角. (A.S.A.)或(A.A.S.)
⑵ 如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？
下面让我们一起来验证这个结论。
做一做
如图，已知线段a、c(a＜c)，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=90°，CB=a，AB=c.
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=90°;
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
⑶ 以B为圆心,c为半径画弧,交射线CN于点A;
⑷ 连接AB.
a
c
和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“H.L.”.
直角三角形全等的条件：
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.、S.S.S.，还有直角三角形特殊的判定方法:H.L.
想一想：
例1 如图,AC=AD，∠C、∠D是直角,将上述条件标注在图中,你能说明BC与BD相等吗？
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (H.L.)
∴BC=BD.
H.L.判定法只能用于直角三角形.表达时必须使用符号Rt△.
例2 如图,两根相同长度的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明你的理由.
解：BD=CD ∵∠ADB=∠ADC=90° AB=AC AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(H.L.)∴BD=CD
即两个木桩离旗杆底部 的距离相等.
例3 如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
∠ABC+∠DFE=90°
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (H.L.)
∴ ∠ABC=∠DEF
又∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
课堂小结
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“H.L.”.
2、H.L.判定法只能用于直角三角形. 表达时必须使用符号Rt△.
1、已知，如图，在四边形ABCD中， AB=AD，AB⊥BC，AD⊥DC。 求证：DC=CB.
课后作业
2、已知：如图，AB=CD，DE⊥AC， BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF. 求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD.
课后作业
3.1等腰三角形的性质
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
一、基本概念
1.定义：
两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图：AB=AC，∆ABC就是等腰三角形.
2.等腰三角形的基本要素：
相等的两边叫做腰
另一边叫做底(边)
底
两腰的夹角叫做顶角
顶角
腰和底边的夹角叫做底角
底角
底角
腰：底边：顶角：底角：
找一找
BC、AC
AB
∠C
∠A、∠B
腰：底边：顶角：底角：
AB、CB
AC
∠B
∠A、∠C
二、等腰三角形性质的探索
A
B
C
操作：将∆ABC对折，使两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.
D
观察：你发现了什么？
重合的线段：
AB=AC
BD=CD
∠B=∠C
∠BAD=∠CAD
重合的角：
∠ADB=∠ADC
思考：除了两腰相等， 等腰三角形还 有哪些性质？
归纳：
1、等腰三角形是轴对称图形， AD所在直线是对称轴;
2、∠B=∠C;
3、BD=CD，AD是底边的中线;
4、∠BAD=∠CAD，AD是顶角平分线;
5、∠ADB=∠ADC=90°，AD是底边上的高.
其中，“∠B=∠C”用文字如何表述？
等腰三角形的两底角相等.(简称为“等边对等角”)
已知：如图，∆ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
D
证明：过点A作AD⊥BC于点D,
则∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中,
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC (H.L.)
∴ ∠B=∠C.
定理：
分析：要证明两角相等，通常先证明这两个角所在的两个三角形全等，此题需要添加辅助线构造全等三角形.
已知：如图，∆ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
E
法二：作∠BAC的平分线AE交BC点E,
则∠BAE=∠CAE.
在△AEB和△AEC中,
∴ △AEB≌△AEC (S.A.S.)
∴ ∠B=∠C.
已知：如图，∆ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
F
法三：作BC的中线AF交BC点F,
则BF=CF.
在△AFB和△AFC中,
∴ △AFB≌△AFC (S.S.S.)
∴ ∠B=∠C.
归纳：
1、等腰三角形是轴对称图形， AD所在直线是对称轴;
2、∠B=∠C;
3、BD=CD，AD是底边的中线;
4、∠BAD=∠CAD，AD是顶角平分线;
5、∠ADB=∠ADC=90°，AD是底边上的高.
其中3、4、5用一句话可以归纳为什么？
等边对等角
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边的中线互相重合.(简称“三线合一”)
注意
“等腰三角形”是三线合一的大前提；
一定要明确是哪三线.
用几何语言表示等腰三角形的性质
在∆ABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C.(等边对等角)
在∆ABC中，AB=AC时，
(1) ∵AD是BC的高，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.(三线合一)
(2) ∵AD是BC的中线，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.(三线合一)
(3) ∵AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC.(三线合一)
判断下列命题是否正确：
1、等腰三角形的角平分线、中线和高 互相重合. ( )
2、有一个角是60°的等腰三角形，其余 两个内角也是60°. ( )
3、等腰三角形的底角都是锐角. ( )
4、钝角三角形不可能是等腰三角形. ( )
错
对
错
对
及时反馈
1、等腰三角形的一个角是70°，它的另外两个角为 .
2、等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角为 .
3、等腰三角形有两边长是4和7，则它的周长为 .
70°,40°或55°,55°
35°,35°
15或18
4、等腰三角形有两边长是3和7，则它的周长为 .
17
及时反馈
1.已知在∆ABC中，AB=AC， ∠C=80°，求∠A和∠B的度数.
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=80°. (等边对等角)
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-80°-80°=20°
例题解析
2.如图，在∆ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，∠B=30°，求∠ADC和∠1的度数.
解：∵AB=AC且D是BC边的中点，
∴AD是∠BAC的平分线及BC边的高. (三线合一)
∵∠1+∠B=∠ADC，
∴∠ADC=90°
∠B=30°，
∴∠1=90°-30°=60°
三、等边三角形
1、定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形).
如图，∠A=∠B=∠C=60°.
如图，AB=BC=AC，∆ABC是等边三角形.
三条边都相等.
2、等边三角形的性质：
三个角都相等，都等于60°.
如图，AB=BC=AC.
1、等腰三角形的性质：
(1)等边对等角.
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边的中线互相重合.(简称“三线合一”)
“三线合一”性质在实际应用中，只要其中一个结论成立，另外两个一定成立。
2、等边三角形的性质：
三条边相等；三个角都是60°.
知识小结
1、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于E， DF⊥ AC于F。求证：DE=DF.
课后作业
F
2、如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD.
3.2等腰三角形的判定
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
等腰三角形有什么性质？
1、等腰三角形的两底角相等. (简称为“等边对等角”)
如图，∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边的中线互相重合.(简称“三线合一”)
∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=CD，AD⊥BC
3、等腰三角形是轴对称图形.
请问：等腰三角形的对称轴是什么？
探索等腰三角形的判定定理
1、命题“等腰三角形的两底角相等”的 题设和结论是什么？
题设：一个三角形中有两条边相等
结论：这两条边所对的角相等
2、这个命题的证明方法是什么？
添加辅助线构造全等三角形.
3、如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边有什么关系？
你能类比性质定理的证明方法进行证明吗？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称为“等角对等边”)
已知：如图，∆ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
D
证明：过点A作AD⊥BC于点D,
则∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADB和△ADC中,
∵∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD
∴ △ADB≌△ADC (A.A.S.)
∴ AB=AC.
已知：如图，∆ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
E
证明：作∠BAC的平分线AE交BC点E,
则∠BAE=∠CAE.
在△AEB和△AEC中,
∴ △AEB≌△AEC (A.A.S.)
∴ AB=AC.
已知：如图，∆ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
F
证明：作BC的中线AF交BC点F,
则BF=CF.
在△AFB和△AFC中,
∴ △AFB≌△AFC (S.S.A.)
∴ ∠B=∠C.
课堂练习
1、如图，∠A=36º,∠DBC=36º,∠C=72º,图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明.
2、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图：证明：
3、已知：如图，DE∥BC，∠1=∠2. 求证：BD=CE.
4、如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
5、如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E是BC边上的两点，且BD=CE，求证：∠ADE=∠AED.
探索等边三角形的判定定理
1、三个角相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，△ABC中，∠A=∠B=∠C.求证：AB=AC=BC.
证明：∵在△ABC中，∠A=∠B ∴BC=AC. 同理，AC=AB， ∴AB=AC=BC.
探索等边三角形的判定定理
2、有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=60º.求证：AB=AC=BC.
证明：∵在△ABC中，AB=AC ∴∠C=∠B. ∵∠A=60º， ∴∠C=∠B=60º， ∴AB=AC=BC.
第一种情况：顶角是60º；
探索等边三角形的判定定理
2、有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=60º.求证：AB=AC=BC.
证明：∵在△ABC中，AB=AC ∴∠C=∠B. ∵∠B=60º， ∴∠C=60º， ∴∠A=60º， ∴AB=AC=BC.
第二种情况：一个底角是60º.
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=60º，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB.则图中一共有 个等腰三角形.
O
课堂练习
1、等腰三角形的判定：
等角对等边.
*如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等 腰三角形.
2、等边三角形的判定：
(1)三个角相等的三角形是等边三角形.
知识小结
(2)有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形.
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，则△ABO和△ACO全等吗？试证明.
课后作业
2、如图∠PDA=135º，∠C=45º，BD平分∠ABC，求证：AB=AD.
D
P
3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36º，D、E是BC边上的两点，∠ADE=∠AED=2∠BAD，求∠EAC的度数.
4、求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
5、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD.
6、如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G，求证：DG=EG.
4.尺规作图
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
情境导入
上数学课的时候，老师说：“任意一个三角形的三条内角平分线都会交于同一个点，三边中线、三边上的高也有相同的性质。我们不仅可以证明，还可以用作图的方法来验证。”
怎么能准确地作出需要的图形呢？我们这节课就来学习一个重要的作图方式——尺规作图。
学习目标
1、掌握五种基本尺规作图的方法及一般步骤， 并能熟练掌握基本作图语言；
2、通过动手操作、合作探究，培养作图能力、 语言表达能力、逻辑思维和推理能力；
3、认识到尺规作图与实际生活的紧密联系， 激发学习兴趣。
了解：
1、根据需要，几何作图分为作草图和尺规作图两种方式。作草图一般用于分析图形问题，要求准确度不高的时候。
2、尺规作图是用不带刻度的直尺(或三角尺)和圆规进行准确的作图。直尺的主要作用是连结两个点、作直线、线段等；圆规的主要作用是作弧线。
3、最基本、最常用的尺规作图通常称为基本作图，一些复杂的尺规作图都是由基本作图组合的。
1、作一条线段等于已知线段。
已知：线段a，求作：线段MN，使MN=a.
a
作法：
基本作图
(1)作射线MP；
(2)以点M为圆心，线段a的长为半径作弧，交MP于点N.
N
则线段MN为所求。
任意画出两条线段AB和CD，再作一条线段，使它等于AB+2CD.
已知：线段AB、CD，求作：线段MN，使MN=AB+2CD.
作法：
及时反馈
(1)作射线MP；
(2)在射线MP上截取ME=AB；
E
则线段MN为所求。
(3)在射线EP上截取EF=CD；
F
G
(4)在射线FP上截取FG=CD.
2、作一个角等于已知角。
已知：∠AOB，求作：∠A'O'B'， 使∠A'O'B'=∠AOB.
作法：
基本作图
(1)作射线O'B'；
(2)以点O为圆心，任意长度为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
(3)以点O'为圆心，ON的长为半径作弧，交O'B'于点N'.
(4)以点N'为圆心，MN的长为半径作弧，交前弧于点A'.
N'
A'
(5)连接O'A'，并延长.
则∠A'O'B'为所求。
2、任意画出两个角α、β(α＞β)，再作一个角，使它等于(1)α+β；(2)α-β.
及时反馈
1、为什么两个角相等？你会证明吗？
3、作已知线段的垂直平分线.
已知：线段AB，求作：直线MN，使MN垂直平分AB.
A B
作法：
基本作图
(1)分别以点A、B为圆心，大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；
(2)连接MN并双向延长.
N
则直线MN为所求。
M
2、已知线段AB，请作出该线段的四等分点.
及时反馈
1、为什么用这样的方法作出的直线MN是AB的垂直平分线？你能证明吗？
A B
4、作已知角的角平分线.
已知：∠AOB.求作：射线OP， 使∠AOP=∠BOP.
作法：
基本作图
(1)以点O为圆心，任意长度为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M、N为圆心，大于MN长的一半为半径作弧，两弧交于点P.
P
(3)连接OP，并延长.
则射线OP为所求。
及时反馈
1、为什么两个角相等？你会证明吗？
5、过一点作已知直线的垂线.
已知：直线AB和线上一点P.求作：直线MN，使MN经过点P且MN⊥AB.
作法：
基本作图
(1)以点P为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C、D；
(2)分别以点C、D为圆心，大于CD的一半长为半径作弧，两弧交于点M；
N
则直线MN为所求。
M
(1)点在直线上.
(3)连接MP，作直线MN.
5、过一点作已知直线的垂线.
已知：直线l和线外一点P.求作：直线MN，使MN经过点P且MN⊥l.
作法：
基本作图
(1)以点P为圆心，以大于P点到直线l的距离为半经画弧，交l于点A、B；
(2)分别以点A、B为圆心，大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M；
N
则直线MN为所求。
M
(1)点在直线外.
(3)连接MP，作直线MN.
P
及时反馈
1、如图，过点P画∠O两边的垂线.
2、如图，已知线段m、n，求作Rt△ABC,使∠B=90º，AB=m，BC=n.
1、如图，已知线段m、n、∠β，求作△ABC, 使∠A=β，AB=m，AC=n.
应用提升
2、如图，已知线段m、∠α、∠β，求作 △ABC,使∠A=α，AB=m，∠B=β.
3、如图，已知线段m、n、l，求作△ABC, 使AB=m，AC=n，BC=l.
应用提升
4、如图，已知线段m、n，求作 等腰△ABC,使底边BC=m，BC的高AD=n.
今天我们主要学习了尺规作图.
五种基本(尺规)作图：
知识小结
1、作一条线段等于已知线段。
2、作一个角等于已知角。
3、作已知线段的垂直平分线.
4、作已知角的角平分线.
5、过一点作已知直线的垂线.
(1)点在直线上；(2)点在直线外.
用尺规作图分别作出锐角三角形三边的中线、三边的高、三内角平分线.观察图形，写出你得到的结论.
课后作业
5.1互逆命题与互逆定理
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
1、命题的概念：
可以判断正确或错误的句子叫做命题。
2、命题都有两部分：
题设和结论
例如：命题“对顶角相等”。题设：两个角是对顶角，结论：这两个角相等。完整地说：如果两个角是对顶角， 那么这两个角相等。
温故知新
3、正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。
判断下列命题真假并说出下列命题的题设和结论：1、平行四边形的对边互相平行；2、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；3、等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
及时反馈
观察下面三组命题,你发现了什么?
1、(1)两直线平行,内错角相等； (2)内错角相等,两直线平行.
探索发现
2、(1)全等三角形对应角相等； (2)对应角相等的三角形全等.
3、(1)平行四边形的对边互相平行； (2)对边互相平行的四边形是平行四边形.
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
归纳：
例1：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。
1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余.
题设：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
2、等边三角形的每个角都等于60°
题设：一个三角形是等边三角形.
结论：它的每个角都等于60°
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°， 那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等.
题设：两个三角形是全等三角形.
结论：它们的对应角相等.
逆命题：如果两个三角形的对应角相等， 那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上.
逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等.
题设：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
例2：写出下列命题的逆命题，并判断其真假.
1、同旁内角互补，两直线平行.
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.
3、如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
真
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.
真
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
假
4、如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.
假
讨论交流：
在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明。
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理。
注意： 1、逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题！
2、不是所有的定理都有逆定理.
其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
归纳：
例3：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。②自然数必为有理数；③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形。 ——真命题
逆命题：有理数必为自然数。——假命题
逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。——假命题。
知识小结
这节课我们学到了什么？
①逆命题、逆定理的概念。②能写出一个命题的逆命题。③知道互逆命题和互逆定理之间 的关系。
1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。
(1) 如果x=y,那么x2 =y2；
(2) 如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的 另外两个角是锐角；
(3) 如果a=b,那么a-b=0；
(4) 如果a>b,则ac2>bc2；
(5) 菱形的两条对角线互相垂直；
(6) 三角形的一条中线平分三角形的面积.
课后作业
2、举例说明下列定理的逆命题是假命题。 (先写出下列定理的逆命题)
(1)全等三角形的对应角相等。
(2)互为邻补角的两个角的和为180°。
(3) 矩形的两条对角线相等。
(4) 对顶角相等。
3、如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、 CD上两点，连接AE，BF.请你再从下面四个 反映图中边角关系的式子(1)AB=BC;(2)BE=CF; (3)AE=BF;(4)∠AEB=∠BFC中选两个作为已知 条件，选一个作为结论，组成一个真命题， 并证明这个命题。
A
B
D
C
E
F
5.2线段的垂直平分线
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
1、线段垂直平分线的定义是什么？
如果一条直线垂直平分已知线段，那么该直线是已知线段的垂直平分线(简称“中垂线”)。
如图，直线l⊥AB于点O且OA=OB,
则直线l是AB的垂直平分线。
l
O
已知：线段AB，求作：直线MN，使MN垂直平分AB.
A B
作法：
(1)分别以点A、B为圆心，大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；
(2)连接MN并双向延长.
N
则直线MN为所求。
M
2、如何用尺规作图作出已知线段的垂直平分线？
温故知新
探索发现：
在l上任取一点P，连结PA、PB；量一量PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得出什么规律?
如图，直线l是AB的垂直平分线。
P
发现规律：
已知:如图,直线l⊥AB，垂足是O， 且OA=OB，点P在直线l上.
线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。
求证:PA=PB.
证明：∵直线l⊥AB，∴∠AOP=∠BOP=90°.
在△AOP和△BOP中,
∵OA=OB,∠AOP=∠BOP, OP=OP
∴ △AOP≌△BOP (S.A.S.)
∴ PA=PB.
逆命题:到一条线段两端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。
证明：如图,过点P作PH⊥AB于点H.
∵PA=PB，且PH⊥AB∴AH=BH.
∴ PH垂直平分AB,
已知：如图,PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
即点P在线段AB的垂直平分线上.
H
观察比较：
线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。
点P在线段AB的垂直平分线上.
PA=PB
线段垂直平分线的性质定理
到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的判定定理
比较：
线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。
线段垂直平分线的性质定理
到一条线段两端点的距离相等的点在该线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的判定定理
结论：线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。
已知：如图，△ABC中，直线PD、PE分别垂直平分AB、BC，点P为PD、PE的交点.
求证：点P在AC的垂直平分线上.
证明：连接PA、PB、PC.
∵直线PD垂直平分AB，
∴PA=PB.
例1：求证：三角形三边的垂直平分线交于一点。
同理可得PB=PC.
∴PA=PC,
∴点P在AC的垂直平分线上.
及时总结：
三角形三边的垂直平分线交于一点。
了解：三角形三边中垂线的交点叫 这个三角形的外心。
三角形三边的中线交于一点(重心)。
三角形三边的高线交于一点(垂心)。
已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.求证:点C在AD的垂直平分线上.
证明：
∵BD=BC+AC，
∴AC=DC,
例2：
∴点C在AD的垂直平分线上.
又∵BD=BC+DC，
课堂练习
1、如图在△ABC中,AB＝AC，ED垂直平分AB.(1)若∠A=50º,则∠ABD= º,∠DBC= º.(2)若BD＝10，则AD= .(3)若AB＝14，△BCD的周长为24，则BC= .
课堂练习
2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系不成立的是( ) A．∠B=∠CAE B．∠DEA=∠CEA C．∠B=∠BAE D．AC=2EC
1、线段垂直平分线的性质定理: 线段垂直平分线上的点到该线段 两端点的距离相等。
知识小结
2、线段垂直平分线的判定定理: 到一条线段两端点的距离相等的点 在该线段的垂直平分线上。
3、线段垂直平分线的性质定理 和判定定理是互逆定理。
1、如图，在直线l上找出一点P，使得点P 到已知点A、B的距离相等。
课后作业
2、如图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线 交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm， BD=6cm，求△ABC的周长．
D
E
A
B
l
3、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，求∠BCD的度数。
课后作业
D
M
4、如图，MN垂直平分线段AB、CD，垂足分别为E、F，求证：AC=BD，∠ACD=BDC。
课后作业
5、如图，已知AE=CE，BD⊥AC， 求证：DA+BA=BC+DC.
课后作业
E
5.3角的平分线
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
1、角平分线的定义是什么？
如果一条射线平分已知角，那么该射线是已知角的平分线。
则射线OP是∠AOB的平分线。
P
1 2
2、如何用尺规作图作已知角的角平分线.
已知：∠AOB.求作：射线OP， 使∠AOP=∠BOP.
作法：
(1)以点O为圆心，任意长度为半径作弧， 交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M、N为圆心，大于MN长的一半 为半径作弧，两弧交于点P.
P
(3)连接OP，并延长.
则射线OP为所求。
温故知新
探索发现：
在OC上任取一点P，过点P作PG⊥OA，PH⊥OB；
如图，射线OC是∠AOB的平分线.
P
C
量一量PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得出什么规律?
G
H
发现规律：
已知:如图,OP平分∠AOB， PG⊥OA，PH⊥OB.
角平分线上的点 到这个角两边的距离相等。
求证:PG=PH.
证明:∵OP平分∠AOB， ∴∠AOP=∠BOP.
∵∠AOP=∠BOP, ∠OGP=∠OHP,OP=OP
∴ △OGP≌△OHP (A.A.S.)
∴ PG=PH.
P
G
H
∵PG⊥OA，PH⊥OB，∴∠OGP=∠OHP=90º.
透过现象看本质：
在一张白纸上画出一条线段或一个角，然后按如图所示方式进行对折.
通过观察、测量，我们能得出很多组相等的线段、相等的角.
所以，线段中垂线的性质和角平分线的性质，本质上都是图形的轴对称性。
逆命题:到一个角两边的距离相等的点 在这个角的平分线上。
角的平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
证明：
∵PG⊥OA，PH⊥OB，∴∠OGP=∠OHP=90º.
∴Rt△OGP≌Rt△OHP (H.L.)
已知：如图，PG⊥OA，PH⊥OB，PG=PH.求证：点P在∠AOB的平分线上.
∴点P在∠AOB的平分线上.
∵PG=PH，OP=OP，
观察比较：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
点P在∠AOB的平分线上.
PG=PH
角平分线的性质定理
到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
角平分线的判定定理
比较：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
角平分线的性质定理
到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
角平分线的判定定理
结论：角平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。
已知：如图△ABC中，BD、AE分别平分∠ABC、∠BAC，点P为BD、AE的交点.
求证：点P在∠ACB的平分线上.
证明：过点P作PG⊥AB于点G、PH⊥BC于点H、PI⊥AC于点I.
∵BD平分∠ABC，
∴PG=PH.
例1：求证：三角形三内角的平分线交于一点。
同理可得PG=PI.
∴PH=PI,
∴点P在∠ACB的平分线上.
G
H
I
及时总结：
三角形三内角的平分线交于一点。
了解：三角形三内角平分线的交点叫 这个三角形的内心。
三角形三边的中线交于一点(重心)。
三角形三边的高线交于一点(垂心)。
三角形三边的垂直平分线交于一点(外心)。
已知：如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
∵CF平分∠ECB，
∴FG=FH.
例2：
过点F作FG⊥AE于点G、FH⊥BC于点H、FI⊥AD于点I.
G
H
I
同理可得FH=HI.
∴FG=FI，
∴点F在∠DAE的平分线上.
了解：
三角形三内角平分线交于一点(内心)。
三角形三边的中线交于一点(重心)。
三角形三边的高线交于一点(垂心)。
三角形三边的垂直平分线交于一点(外心)。
三角形两外角平分线的交点叫这个三角形的旁心(只有旁心才是三个)。
课堂练习
1、如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P′分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP′ ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 .①∠OCP= ∠OCP′ ;②∠OPC= ∠OP′C;③PC= P′C;④PP′⊥OC.
课堂练习
2、如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是( )袋. A.1号 B.2号 C.3号 D.4号
课堂练习
3、如图，Rt△ABC中，∠C=90º，∠B=30º，AE平分∠BAC交BC于点E，求证：AB=2AC.
1、角平分线的性质定理: 角平分线上的点到这个角两边 的距离相等。
知识小结
2、角平分线的判定定理: 到一个角两边的距离相等的点 在这个角的平分线上。
3、角平分线的性质定理和判定定理 是互逆定理。
1、求证：在直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半。【用两种不同的方法证明】
课后作业
2、如图:△ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。求证：MD=ME.
3、如图，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。求证： ∠BDP= ∠CDP.
课后作业
D
P
4、如图，在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2. 求证：AB=AC+CD.
课后作业
章末复习
华师版八年级上学期第13章《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(1)在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角 对应相等，那么这两个三角形全等. (简记为S.A.S)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
∴△ABC≌△DEF（S.A.S）
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(2)如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应 相等，那么这两个三角形全等. (简记为A.S.A)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
∴△ABC≌△DEF（A.S.A）
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(3)如果两个三角形的两个角及一角的对边分别 对应相等,那么这两个三角形全等. (简记为A.A.S)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
∴△ABC≌△DEF（A.A.S）
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(4)在两个三角形中,如果有三条边对应相等， 那么这两个三角形全等. (简记为S.S.S)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
∴△ABC≌△DEF（S.S.S）
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(5)如果两个直角三角形的一条直角边及斜边 分别对应相等,那么这两个直角三角形全等. (简记为H.L)
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
应用格式：
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（H.L）
知识要点
2、全等三角形的性质定理：
如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等.
应用格式：
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF； ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
应用举例
例1：已知：如图，AB=CD，AD=CB. 求证：AD∥BC.
A
B
C
D
点拨：由题意先证△ABC≌△CDA，再由全等三角形的性质得对应角的相等，进而得证.
变式1：已知：如图，AB∥DE，AB=DE， AF=CD. 求证：BC=EF.
点拨：由题意先证△ABC≌△DEF， 再由全等三角形的性质得证.
变式2：已知在△ABC和△ADC中，AB=CD. 若不添加任何字母和辅助线，要使△ABC≌△CDA，则还需增加一个条件是 .
点拨：相当于已知两组边对应相等，要得到全等，可用“边角边”或“边边边”.
变式3：如图，在△ABD中，AB=BD. 要使BE=BC，需增加一个条件是 .
解法：(1)AE=DC;
(3)AC=DE;
(2)∠ABE＝∠DBC;
(4)∠ABC＝∠DBE;
(5)∠AEB＝∠DCB;
(6)∠ACB＝∠DEB.
变式1：已知：如图，AB∥DE，AB=DE， AF=CD. 求证：BC=EF.
点拨：由题意先证△ABC≌△DEF， 再由全等三角形的性质得证.
应用举例
例2：如图，在等边△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA上一点(不是中点)，且AD=BE=CF. 则图中全等的三角形共有 对.
A
F
H
D
N
提醒：全等有传递性.
15
应用举例
例3：求证：(1)全等三角形对应边上的高相等。 (2)全等三角形对应边的中线相等。 (3)全等三角形对应角的平分线相等。 (4)全等三角形的周长相等。 (5)全等三角形的面积相等。
点拨：应用全等三角形的判定和性质进行转换.
例4: 如图所示，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证: AC＝AB。
证明：
连结AP.∵∠PDA=∠PEA=90º，PD=PE，PA=PA，∴△PDA≌△PEA（HL）∴AD＝AE∵∠CAE=∠BAD∴△ACE≌△ABD（ASA）∴AC＝AB
D
P
例5：求证：三角形一边上的中线小于其他 两边之和的一半。
E
证明步骤：
延长AD到E，使DE＝AD，连结CE.
已知：如图，AD是△ABC 的中线，求证：AB+AC＞2AD.
证△DCE≌△DBA.
在△ACE中用三角形的三边关系得到结果.
例6：
N
证法一：作MN⊥AD于D.
已知：如图，∠B=∠C=90º，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
证法二：在AD上截取DN=DC，连接MN.
证法三：延长DM，交AB的延长线于点E.
E
例7： 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
思路提示：利用全等变换中的“旋转”
证明：延长CB到G，使BG=DF. ∵BG=DF，∠ABG=∠D=90°，AB=AD, ∴△ADF≌△ABG （SAS） ∴∠GAB=∠FAD,AG=AF. 又∵BE+DF=EF，∴EF=EG. ∵EF=EG，AG=AF，AE=AE, ∴△AEF≌△AEG （SSS） ∴∠GAE=∠FAE ∵∠BAF+∠FAD=∠BAF+∠GAB=∠GAF=90°， ∴∠EAF=1/2∠GAF=45°.
G
一、判断题：1.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 2.有两条边对应相等的两个直角三角形全等. 3.有一个角与一条边对应相等的两个三角形全等. 4.只有一条高在三角形内部的三角形是直角三角形. 5.已知一条直角边和一条斜边不能做一个直角三角形.6.有一边对应相等的两个等腰三角形全等.
巩固练习
1、已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 .
二、填空题：
2、如图△ABC≌△EBD，若∠ABE=68º，则∠CBD= º.
三、解答题：
1、如图所示，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：(1)BD=DE+CE；(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE.
2、如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90º，BC与DE相交于点F，连接CD、EB. (1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF=EF.
知识要点
3、等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两底角相等.(简称“等边对等角”)
应用格式：
∵ AB=AC，
∴∠B＝∠C.
D
(2)等腰三角形的顶角平分线、 底边上的高、底边的中线互相重合. (简称“三线合一”)
应用格式：
∵ AB=AC，AD⊥BC
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.
(3)等边三角形的三条边都相等.
或
∵ AB=AC，BD＝CD
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
或
∵ AB=AC，∠BAD＝∠CAD
∴AD⊥BC，BD＝CD.
(4)等边三角形的三个角都相等，都等于60°.
应用格式：
∵ △ABC中，AB=AC=BC
∴∠A＝∠B＝∠C=60°.
知识要点
4、等腰三角形的判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称为“等角对等边”)
应用格式：
∵ ∠B＝∠C，
∴ AB=AC.
应用格式：
∵ ∠A＝∠B＝∠C，
∴ AB=AC=BC.
(2)三个角相等的三角形是等边三角形.
应用格式：
∵ AB=AC，∠A=60º
∴△ABC是等边三角形.
(3)有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形.
或
∵ AB=AC，∠B=60º
∴△ABC是等边三角形.
学习小结：有三种等腰三角形大家要多注意探索特殊性——顶角分别是60º、90º、36º.
1.一次数学实践活动的内容是测量河宽.如图，即测量A、B之间的距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发沿着与直线AB成60º角的AC方向前进至C，在C处测得∠C=30º .量出AC的长,它就是河的宽度(即A、B之间的距离). 这个方法正确吗?请说明理由.
巩固练习
2.如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E． 判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由．
3. 如图，AB=BC=CD=DE=EF=FG， 且GF⊥AF于F，求∠A的度数.
4.如图，在△ABC中，AB=AC，直线DE交AB、BC于点D、F，交AC延长线于E.若DF=EF，求证：BD=CE.
5.在△ABC中,BG平分∠ABC,CG平分∠ACB.过点G作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.（1）图中有多少个等腰三角形?说明理由. （2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有是什么关系?
知识要点
5、尺规作图.
五种基本作图：
(1)作一条线段等于已知线段.
a
N
(2)作一个角等于已知角.
N'
A'
五种基本作图：
(3)作已知线段的垂直平分线.
(4)作已知角的角平分线.
A B
N
M
P
五种基本作图：
(5)过一点作已知直线的垂线.
②点在直线外.
①点在直线上.
N
M
P
N
M
知识要点
6、互逆命题和互逆定理.
(1)一般来说，在两个命题中，如果第一个命题 的题设是第二个命题的结论，而第一个命题 的结论是第二个命题的题设，那么这两个命 题叫做互逆命题。
(2)互逆定理一定是互逆命题， 互逆命题不一定是互逆定理.
知识要点
7、线段的垂直平分线.
(1)性质：线段垂直平分线上的点 到该线段两端点的距离相等。
(2)判定：到一条线段两端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。
知识要点
8、角的平分线.
(1)性质：角平分线上的点 到这个角两边的距离相等。
(2)判定：到一个角两边的距离相等的点 在这个角的平分线上。
角平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。
例：如图，要在P区建一个加工厂，使它到AB、BC两条公路的距离相等，且工厂到两路的交叉点B的实际距离为5千米.比例尺为1:200000，则工厂应建在 ，且到点B的图上距离是 厘米.
A
B
C
P区
5千米=500000厘米
500000÷200000=2.5
2.5厘米
∠ABC的角平分线上
2.5
1、如图，AB∥CD，O为∠BAC和∠ACD的 平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE=4， 则两平行线之间的距离为 .
巩固练习
2、如图所示，在△ABC中，∠C=90º，AD平分 ∠BAC，交BC于点D，若AB=10cm，CD= 3cm，则△ABD的面积为 .
巩固练习
3、如图所示，△ABC的三边AB、BC、CA的长 分别为12、10、6，其三条角平分线的交点为 O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= .
巩固练习
4、如图所示，在△ABC中，∠C=90º，AD平分 ∠BAC，BC=30，BD:CD=3:2，则点D到AB 的距离为 .
巩固练习
5、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于 点D，则下列结论中，正确的是 . ①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE； ③D在∠BAC的平分线上.
巩固练习
6、如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90º，沿着 过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰 好落在AB边的中点D处，则∠A等于 º.
巩固练习
7、如图，在△ABC中，∠B=90º，AB=7， BC=24，AC=25. (1)△ABC内是由有一点P到各边的距离相等？ 如果有，作出这一点，并说明理由； (2)求出这个距离.
巩固练习
在三角形中辅助线的作法
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
1.1—1.2 命题、定理与证明
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
1、能清楚地规定某一名称或术语的意义 的句子叫做定义。
2、对某一件事情作出正确或不正确的 判断的句子叫做命题。
3、命题由条件和结论两部分组成。
4、命题可以写成“如果...那么...”的形式， 在如果后写条件，在那么后写结论。
5、命题是陈述句。
概念学习：
命题
真命题
假命题
公理
定理
证明
综合法
分析法
反证法
举反例
证明
反例：具有命题条件，但不具有命题结论的例子。
概念学习：
推理方向是从已知到求证的思考方法 叫做综合法.
先假设命题不成立，从这样的假设出发， 经过推理得出和已知条件矛盾，或者与 定义、公理、定理等矛盾，从而得出假 设不成立是错误的，即所求证命题正确， 这样的思考方法叫做反证法。
概念学习：
推理方向是从求证到已知的思考方法 叫做分析法.
观察、猜想、度量、实验得出的结论未必都正确； 一个命题的真假，常常需要进行有理有据的推理才能作出正确的判断，这个推理过程叫做命题的证明．把经过证明的真命题叫做定理．
强调：
下列语句中哪些是命题？请判断其中命题的真假，并说明理由。
（1）每单位面积所受到的压力叫做压强.
（2）两个奇数的和是偶数.
（3）两个无理数的乘积一定是无理数.
（4）偶数一定是合数吗？
（5）连结AB.
（6）不相等的两个角不可能是对顶角.
巩固：
练习：将下列命题改写成“如果…那么…” 的形式，然后指出这个命题的题设和结论。
（1）同角的补角相等。（2）两直线平行，同位角相等。（3）在同一平面内，同垂直于第三条 直线的两直线平行。
分析命题“不相等的两个角不可能是对顶角”
条件：
结论：
改写成“如果……，那么……”的形式：
两个角不相等
这两个角不可能是对顶角
如果两个角不相等，那么这两个角不可能是对顶角。
★ 两点之间，线段最短。
★ 两点确定一条直线。
★ 过直线外一点，有且只有一条直线与 已知直线平行。
★ 同位角相等，两直线平行。
★ 两直线平行，同位角相等。
★ 全等三角形的对应角相等，对应边相等。
公理：公认为正确的命题。
★ 三角形任何两边的和大于第三边.★ 内错角相等, 两条直线平行.★ 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等.
前面我们已经学过的，用推理的方法得到的那些用黑体字表述的图形的性质都可以作为定理.
定理：用推理的方法判断为正确的命题。
反证法
2、步骤:
从假设出发
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
1、概念：
假设命题不成立
推出矛盾
得出结论
假设不成立
求证的命题正确
证明命题的一般步骤:
(2)理解题意: ※分清命题的条件(已知)、结论(求证); ※结合图形，用符号语言写出“已知” 和“求证”;
(1)根据题意,画出图形;
(3)分析题意,探索证明思路；依据思路, 运用数学符号和数学语言条理清晰地 写出证明过程。
例1证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线。求证：BD=CE.
例2 如图在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90º，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F。 ⑴求证：AE=CF；⑵是否还有其它结论？
例3 已知如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D.求证：AE=CD.
说明：在三角形中，有多个垂直关系时，常利用“同角(或等角)的余角相等”来证明两个角相等，从而证明三角形全等.
证明：
∵∠ACB=90°，CF⊥AE
∴∠EAC+∠ACF=90°， ∠DCB+∠ACF=90°
∵BD⊥BC ∴∠DBC =90º=∠ACB
又∵AC=BC
∴△AEC≌△CDB
∴AE=CD
∴∠EAC=∠DCB
例4 已知：如图，AD是△ABD和△ACD的 公共边，求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C。
证法一：∵在△ABD中, ∠1＝180º－∠B－∠3 在△ADC中, ∠2＝180º－∠C－∠4 又∵∠BDC＝360º－∠1－∠2∴∠BDC ＝360º-( 180º-∠B-∠3)- ( 180° -∠C-∠4)＝ ∠B+∠C+∠3+∠4. 又∵ ∠BAC＝∠3+∠4,∴ ∠BDC ＝∠B+∠C+∠BAC.
1
2
3
4
证法二：如图，连接BC.∵在△ABC中, ∠BAC +∠ABC +∠ACB ＝180º 在△BDC中, ∠BDC+∠1+∠2＝180º又∵∠ABC＝∠ABD+∠1,∠ACB＝∠ACD+∠2 ∴ ∠BDC ＝∠ABD+∠ACD+∠BAC.
证法三：如图，延长AD.∵∠1=∠3+∠C ，∠2=∠4+∠B ∴ ∠1+∠2=∠3+∠C+∠4+∠B
即 ∠BDC ＝∠BAC+∠B+∠C.
2.1全等三角形
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
1、下列两个三角形是怎样由一个三角形 得到另一个三角形？它们有什么特点？
D
E
D
观察思考
一个三角形经过平移、旋转、翻折等位移变换后得到另一个三角形。位置改变，但形状、大小不变。
结论：
A
B
C
D
E
F
2、下列各图中的两个三角形是全等形吗？
结论：经过平移、旋转、翻折等位移变换 得到的三角形与原三角形全等。
观察思考
1、能够完全重合的两个三角形,叫做 全等三角形。
2、把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
归纳
表示图中的△ABC和△DEF全等：
3、全等三角形的表示法：
记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF.
注意
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有没有变化？由此你能得到什么结论？
E
A
D
C
B
F
观察思考
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
如图，∵△ABC≌△DEF ∴ AB=DE, BC=EF, AC=DF；
几何语言表达：
全等三角形的性质
如图，∵△ABC≌△DEF ∴ ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.
归纳
A
B
C
L
N
M
根据图形变换，写出全等式，再指出它们的对应边和对应角.
应用交流
△ABC≌△LMN
对应边:AB和LM, BC和MN, AC和LN；
对应角:∠A和∠L, ∠B和∠M, ∠C和∠N.
(1)
A
B
C
D
规律一：有公共边的，公共边是对应边.
△ABC≌△ABD
对应边:AB和AB, BC和BD, AC和AD；
对应角:∠BAC和∠BAD, ∠ABC和∠ABD, ∠C和∠D.
A
B
C
D
E
△ABC≌△ADE
对应边:AB和AD, AC和AE, BC和DE；
对应角:∠ACB和∠AED, ∠B和∠D, ∠BAC和∠DAE.
规律二：有公共角的，公共角是对应角.
A
C
规律三：有对顶角的，对顶角是对应角.
△AOC≌△BOD
对应边:OA和OB,OC和OD, AC和BD；
对应角:∠AOC和∠BOD, ∠A和∠B, ∠C和∠D.
O
A
B
C
F
D
E
△ABC≌△DEF
对应边:AB和DE, AC和DF, BC和EF；
对应角:∠A和∠D, ∠B和∠E, ∠C和∠F.
规律四：最长的边是对应边，最短的边是对应边;
规律五：最大的角是对应角，最小的角是对应角.
3.有公共角的，公共角一定是对应角。
4.对应角所对的边是对应边， 对应边所对的角是对应角．
5.在两个全等三角形中 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角。
1.有公共边的，公共边一定是对应边。
2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。
规律总结
6.根据书写规范,按对应顶点找对应边(角)。
1、有公共边
2、有公共顶点
典型图例
写出下列全等三角形中相等的边和角：
课堂练习
△ABD≌△CBD
(1)
AB=CB, AD=CD, BD=BD;
∠A=∠C, ∠ABD=∠CBD, ∠ADB=∠CDB.
(2)
△OAB≌△OCD
OA=OC, OB=OD, AB=CD;
∠A=∠C,∠B=∠D, ∠AOB=∠COD.
△ABC≌△ADE
(3)
AB=AD, AC=AE, BC=DE;
∠B=∠D, ∠C=∠E, ∠BAC=∠DAE.
(4)
△ADE≌△CBF
AD=CB, AE=CF, DE=BF;
∠A=∠C, ∠ADE=∠CBF, ∠AED=∠CFB.
△ABN≌△ACM
(5)
AB=AC, AN=AM, BN=CM;
∠B=∠C, ∠ANB=∠AMC, ∠BAN=∠CAM.
(6)
△AOB≌△DOC
AB=DC, AO=DO, BO=CO;
∠A=∠D, ∠AOB=∠DOC, ∠ABO=∠DCO.
O
△ABC≌△DCB
AB=DC, AC=DB, BC=CB;
∠A=∠D, ∠ABC=∠DCB, ∠ACB=∠DBC.
1、若△AOC≌△BOD， 则AC= ，∠A＝ .
A
B
O
C
D
2、若△ABD≌△ACE， 则BD= ,∠BDA= .
3、若△ABC≌△CDA, 则AB= ，∠BAC= .
填空：
BD
∠B
CE
∠CEA
CD
∠DCA
公共点
公共角
公共边
(2)已知△ABC≌△CDA，则AC边的对应边为 .
(1)已知△ABC≌△ADE，则∠A的对应角为 .
(3)已知△ABC≌△DEF，则AB边的对应边为 ,∠C的对应角为 .
CA
∠A
DE
∠F
填一填：
1、如图,已知△AOC≌△BOD, 求证：AC∥BD.
拓展提高
证明：
∵△AOC≌△BOD,
(已知)
∴∠A=∠B,
(全等三角形的对应角相等)
∴AC∥BD.
(内错角相等，两直线平行)
2、如图,已知△ABD≌△ACE,且∠C=50º, ∠A=30º，AC= 8，AE = 5，求∠ADB及DC.
解：
∵△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠C=50°
？
(全等三角形的对应角相等)
∵∠A=30°,
∴∠ADB=180°-∠A-∠B =100°.
∵△ABD≌△ACE,
∴AD=AE=5.
(全等三角形的对应边相等)
∵AC= 8,
∴DC=AC-AD=3.
5
5
3
3、如图, △EFG≌△NMH.
(2)如果EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm, 求NM、HG的长.
(1)请找出对应边和对应角。
(3)在(2)的条件下,若FG=4cm, 求△NMH的周长.
2.1
1.1
3.3
2.1
2.2
(4)这两个三角形的面积相等吗？
互相重合的角叫做 .
互相重合的边叫做 ，
其中：互相重合的顶点叫做 ，
2. 叫全等三角形.
1.能够重合的两个图形叫做 。
全等形
4.全等三角形的 和 相等.
对应边
对应角
对应顶点
课堂小结
能够完全重合的两个三角形
3.“全等”用符号“ ”来表示， 读作“ ”.
对应边
对应角
5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上.
全等于
≌
2.2全等三角形 的判定条件
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
1. 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫全等三角形。
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④∠A=∠D
⑤∠B=∠E
⑥∠C=∠F
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④∠A=∠D
⑤∠B=∠E
⑥∠C=∠F
我们知道：若两个三角形的三条边与三个角都分别对应相等，那么这两个三角形一定可以互相重合，即全等。如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗？
1.一个条件可以吗？
(1)有一条边相等的两个三角形
不一定全等
探究活动
(2)有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论:只有一条边或一个角对应相等 的两个三角形不能保证一定全等.
(1)两边；
(3)两角。
(2)一边一角；
2. 如果满足两个条件，有哪几种可能？
如三角形的两边分别为4cm，6cm时:
4cm
6cm
6cm
4cm
结论:两条边对应相等的两个三角形 不一定全等.
探究活动
4cm
4cm
30◦
30◦
如三角形的一边为4cm,一内角为30°时:
结论:一条边一个角对应相等的 两个三角形不一定全等.
如三角形的两个内角分别为30º,45º时:
结论:两个角对应相等的两个三角形 不一定全等.
两个条件：①两角；②两边；③一边一角。
综上可得：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。
一个条件：①一角；②一边；
你能得到什么结论？
3.满足三个条件，有哪几种可能的情况？
(1)三角；
(2)三边；
(3)两边一角；
(4)两角一边.
如：一个三角板上的大小两个三角形的三个内角分别为30°、60°、90°，它们显然不全等.这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180°,已知两个角时，则第三个角可确定。故三内角对应相等的两个三角形不一定全等.
只有一条边相等的两个三角形 ；
通过本节课的探索，我们得到以下信息：
不全等
课堂小结
只有一个角相等的两个三角形 ；
有两条边对应相等的两个三角形 ；
不全等
不一定全等
有两个角对应相等的两个三角形 ；
不一定全等
有三个角对应相等的两个三角形 ；
不一定全等
课后思考作业
我们由一角、一边、两角、两边甚至 三角的相等都不能保证三角形全等. 那么，要判定两个三角形的全等究竟 至少要哪些边角相等的条件呢？ 请大家课后用作图的方法继续探索， 和同学积极交流自己的发现。
2.3全等三角形的判定 ---边角边(SAS)
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
若△AOC≌△BOD，对应边: AC= ， AO= ， CO= ；对应角: ∠A= ， ∠C= ， ∠AOC= .
温故知新：全等三角形的性质
BD
BO
DO
∠B
∠D
∠BOD
思考：如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？这时，这两个三角形一定会全等吗？
上节课给大家留了这样一个思考题，你们想好了吗？
有以下的四种情况：1、三角；2、两边一角；3、两角一边；4、三边．
本节课我们探索：2、两角一边
探索：如果已知两个三角形有两边一角对应相等时，应分为几种情形讨论？
第一种：
边--角--边
第二种：
边--边--角
作图
画一个三角形，使它的一个内角为45°,夹这个角的一条边为３厘米，另一条边长为４厘米.
步骤：1.画一线段AB,使它等于4cm；
△ABC就是所求作的三角形.
4cm
2.画∠MAB=45°；
M
3.在射线AM上截取AC=3cm；
C
4.连结BC.
比较：你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
实践检验
全等!
同桌两个同学自行约定：各画一个三角形，使它们具有相同的两条边和一个夹角，比较一下，可以得出什么结论？
实践与探索
在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等(简记为S.A.S)
结论：
温馨提示:
这是一个公理
全等三角形判定公理“S.A.S”的几何表示：
在△ABC与△DEF中，
∵
AB=DE，
∠A＝∠D，
AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（S.A.S.）
例1:如图,在△ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC. 求证：△ABD≌△ACD．
证明:
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC，(已知) ∠BAD＝∠CAD，(已证) AD＝AD，(公共边)
∴△ABD≌△ACD（S.A.S.）
∵
A
B
C
D
巩固练习1.在下列图中找出全等三角形：
2、如图，已知AB和CD相交于O, OA=OB, OC=OD.说明 △OAD与△OBC全等的理由.
∴△OAD≌△OBC (S.A.S)
解：在△OAD 和△OBC中
∵
3、如图所示, 根据题目条件，判断下面的 三角形是否全等．（1）AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF；（2）BC＝BD， ∠ABC＝∠ABD．
例２：小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？
解：在△EDH和△FDH中： ED＝FD （已知） ∠EDH=∠FDH（已知） DH＝DH（公共边）
∴△EDH≌△FDH（S.A.S）
∴EH=FH(全等三角形对应边相等)
链接生活：
小明不小心打翻了墨水，将自己所画的三角形涂黑了，你能帮小明想想办法，画一个与原来完全一样的三角形吗？
∵ AB = A’B’ ，∠B =∠B’ ，BC =B’C’
∴ △ ABC≌ △A’B’C’（S.A.S）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ａ’
Ｂ’
Ｃ’
做一做：以3cm、4cm为三角形的两边，长度3cm的边所对的角为45° ，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
边边角对应相等的情况又会怎样呢？
探索：
A
B
C
3cm
4cm
45°
3cm
M
B'
步骤：1.画一线段AC,使它等于4cm ；
显然： △ABC与△AB’C不全等！
4.连结CB、CB' .
2.画∠CAM= 45º；
3.以C为圆心, 3cm长为半径画弧, 交AM于点B和点B'；
△ABC与AB'C就是所求作的三角形.
结论：两边及其一边所对的角相等， 两个三角形不一定全等.
课堂小结
1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应 相等的两个三角形全等。（S.A.S）
2、边角边公理的应用中所用到的数学方法: 转化法——要证明线段(或角)相等， 证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
课后作业： 1、已知：如图，AB=AC，AD = AE . 求证：△ABE≌△ACD.
2、如图:己知AD∥BC，AE=CF，AD=BC， E、F都在直线AC上，试说明DE∥BF。
3、如图1:若AB=AC，则添加什么条件可得 △ABD≌△ACD?
4、如图2:若AB=AD，∠1=∠2，则添加什么 条件可得△ABC≌△ADE?
2.4全等三角形的判定 ---角边角(A.S.A)
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
回顾: 三角形全等判定方法1
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
AB=DE∠B=∠EBC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“S.A.S”
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
议一议
如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？
这时应该有两种不同的情况：
（1）两个角及两角的夹边；
（2）两个角及其中一角的对边
问题导入
如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.
做一做
把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？
A
A
B
B
40º
60º
4.5cm
全等三角形的判定方法2:
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.
在△ABC和△ A'B'C'中
∠A= ∠A'
AB= A'B'
∠B= ∠B'
(A.S.A)
例题：如图，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明△ABC≌△DCB.
解:
∵ ∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，(已知)
又∵ BC为公共边且对应相等，
∴△ABD≌△ACD.
（A.S.A.）
思考:如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否全等?
全等三角形的判定方法3:
如果两个三角形的两个角及一角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等.
在△ABC和△ A'B'C'中
∠B= ∠B'
AB= A'B'
∠C= ∠C'
(A.A.S)
练 习 1. 根据题目条件，判别下面的两个 三角形是否全等，并说明理由.
D
2.要使下列各对三角形全等，需要增加什么条件？（1） （2）
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
3.如图，已知AB与CD 相交于O，∠A＝∠D，CO＝BO，说明△AOC与△DOB全等的理由.
4. 已知：如图，△ABC ≌△A’B’C’，AD、A’D’ 分别是△ABC 和△A’B’C’的高。试说明AD＝ A’D’ ，并用一句话说出你的发现。
思考题:
全等三角形对应边上的高也相等。
5、△ABC是等腰三角形，AD、BE 分别是∠A、∠B 的角平分线，△ABD和△BAE 全等吗？试说明理由.
∵ △ABC是等腰三角形
∴ AC=BC ∠A＝∠B
又∵ AD、BE 分别是∠A、∠B 的角平分线
解
∴ ∠BAD＝0.5∠A ∠ABE＝0.5∠B
∴ ∠BAD =∠ABE
∴△ABD≌△BAE (A.S.A)
课堂小结
1、角边角定理：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.（A.S.A.）
2、角角边定理：如果两个三角形的两个角及一角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等.（A.A.S.）
1、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE 和△ACD全等吗？为什么？
课后作业
（ASA）
∴ △ABE ≌△ACD
（已知）
AB=AC
∠B=∠C
∠A= ∠A
（公共角）
∵在△ABE与△ACD中
证明:
(已知)
2、如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等么？为什么？
（全等三角形对应边相等）
∴ BE=CD
（AAS）
∴ △ABE ≌△ACD
（已知）
AE=AD
∠B=∠C
∠A= ∠A
（公共角）
在△ABE与△ACD中
证明:
答:BE =CD
(已知)
3、已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D 求证：AC=AD.
证明：
2.5全等三角形的判定 ---边边边(S.S.S)
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm,它们一定全等吗？
三条边
探索三角形全等的条件:
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A'B'C',使A'B'= AB ,B'C' =BC, A'C'=AC.把画好△A'B'C'的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？
画法: 1.画线段 B'C'=BC;
2.分别以B' 、C'为圆心，BA、BC为半径画弧，两弧交于点A';
3. 连接线段 A'B'， A'C' .
A
B
C
A'
三边对应相等的两个三角形全等。简写为“边边边”或“S.S.S.”
边边边公理：
注： 这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原因。
在△ABC与△DEF中
AB=DEAC=DFBC=EF
∴△ABC≌△DEF(S.S.S.)
如何用符号语言来表达边边边公理呢?
A
C
B
D
证明：∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD与△ACD中
AB=AC（已知）
BD=CD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（S.S.S.）
例1 如图, △ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架,求证:△ABD≌△ACD.
求证：∠B=∠C.
∴∠B=∠C.
归纳
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
证明的书写步骤：
练习: 1.已知如图，AB=AD，BC=DC， 求证：△ABC≌ △ADC.
A
B
C
D
AC=AC
AB=AD ( )BC=DC ( )
∴ △ABC≌△ADC(S.S.S.)
证明：在△ABC和△ADC中
已知
已知
(公共边)
解： △ABC≌△DCB. 理由如下： AB = CD AC = BD .
2.如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
BC = CB
∴ △ABC≌ ( )
△DCB
S.S.S.
BF=CD
或BD=CF
证明：∵ AD=FB ∴ AB=FD（等式性质） 在△ABC和△FDE 中
AC=FE（已知）BC=DE（已知）AB=FD（已证）∴△ABC≌△FDE（S.S.S.）
=
=
∴ ∠C=∠E(全等三角形的对应角相等)
例2: 已知如图，AC=FE，AD=FB，BC=DE. 求证：△ABC≌△FDE.
求证：∠C=∠E.
求证：AC∥EF；DE∥BC
∴∠A=∠F,∠ABC=∠FDE,
∴AC∥EF，DE∥BC.
(内错角相等，两直线平行)
例3: 已知:如图，AB=AC,DB=DC, 请说明∠B=∠C成立的理由.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC (已知）
DB=DC （已知）
AD=AD （公共边）
∴△ABD≌△ACD (S.S.S.)
解：连接AD.
∴ ∠B =∠C (全等三角形的对应角相等）
例4: 已知: 如图, 四边形ABCD中， AD=CB,AB=CD，求证：∠A＝∠C.
A
C
D
B
分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。
构造公共边是常添的辅助线
解：连接BD. 在△ABD和△CDB中， ∵ AD=CB, AB=CD, BD=DB, ∴△ABD≌△CDB(S.S.S.) ∴∠A＝∠C.
例4: 已知: 如图, 四边形ABCD中， AD=CB,AB=CD，求证：∠A＝∠C.
A
C
D
B
1
2
3
4
(法二)：连接AC. 在△ABC和△CDA中， ∵ AB=CD, BC=DA, AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(S.S.S.) ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 ∴∠2+∠3＝∠1+∠4 即∠A＝∠C.
1.有三边对应相等的两个三角形全等. 简写成“边边边”（S.S.S.）
2.边边边公理发现过程中用到的数学方法（包括画图、猜想、分析、归纳等.)
3.边边边公理在应用中用到的数学方法: 证明线段(或角)相等转化为 证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
两个三角形全等的注意点：
1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
小结:
3. 有时需添辅助线(如:造公共边)
1、已知：AC=AD,BC=BD, 求证：AB是∠DAC的平分线.
课后作业
2、已知：四边形ABCD中,对角线相交于点O,AD=BC,AC=BD. 求证：(1)∠ADB=∠BCA;(2)△AOD≌△BOC ;(3)AB∥CD.
2.6斜边直角边H.L.
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
1、判定两个三角形全等方法： ， ， ， 。
S.S.S.
A.S.A.
A.A.S.
S.A.S.
3、如上图2，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
2、如图，Rt∆ABC中，直角边是 、 ，斜边是 。
BC
AC
AB
(1)若∠A=∠D，AB=DE，则根据 (用简写法)，可得∆ABC与∆DEF .(填“全等”或“不全等”)
全 等
A.S.A
知识回顾
(2)若∠A=∠D，BC=EF，则根据 (用简写法)，可得∆ABC与∆DEF .(填“全等”或“不全等”)
A.A.S.
全 等
(3)若AB=DE，BC=EF，则根据 (用简写法)，可得∆ABC与∆DEF .(填“全等”或“不全等”)
S.A.S.
全 等
(4)若AB=DE，BC=EF，BC=EF，则根据 (用简写法)，可得∆ABC与∆DEF .(填“全等”或“不全等”)
S.S.S.
全 等
如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (A.A.S.)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应 的锐角. (A.S.A.)或(A.A.S.)
⑵ 如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？
下面让我们一起来验证这个结论。
做一做
如图，已知线段a、c(a＜c)，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=90°，CB=a，AB=c.
想一想，怎样画呢？
按照下面的步骤做一做：
⑴ 作∠MCN=90°;
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
⑶ 以B为圆心,c为半径画弧,交射线CN于点A;
⑷ 连接AB.
a
c
和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“H.L.”.
直角三角形全等的条件：
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.、S.S.S.，还有直角三角形特殊的判定方法:H.L.
想一想：
例1 如图,AC=AD，∠C、∠D是直角,将上述条件标注在图中,你能说明BC与BD相等吗？
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (H.L.)
∴BC=BD.
H.L.判定法只能用于直角三角形.表达时必须使用符号Rt△.
例2 如图,两根相同长度的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明你的理由.
解：BD=CD ∵∠ADB=∠ADC=90° AB=AC AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(H.L.)∴BD=CD
即两个木桩离旗杆底部 的距离相等.
例3 如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
∠ABC+∠DFE=90°
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (H.L.)
∴ ∠ABC=∠DEF
又∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
课堂小结
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“H.L.”.
2、H.L.判定法只能用于直角三角形. 表达时必须使用符号Rt△.
1、已知，如图，在四边形ABCD中， AB=AD，AB⊥BC，AD⊥DC。 求证：DC=CB.
课后作业
2、已知：如图，AB=CD，DE⊥AC， BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF. 求证：（1）AE=CF；（2）AB∥CD.
课后作业
3.1等腰三角形的性质
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识回顾
一、基本概念
1.定义：
两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图：AB=AC，∆ABC就是等腰三角形.
2.等腰三角形的基本要素：
相等的两边叫做腰
另一边叫做底(边)
底
两腰的夹角叫做顶角
顶角
腰和底边的夹角叫做底角
底角
底角
腰：底边：顶角：底角：
找一找
BC、AC
AB
∠C
∠A、∠B
腰：底边：顶角：底角：
AB、CB
AC
∠B
∠A、∠C
二、等腰三角形性质的探索
A
B
C
操作：将∆ABC对折，使两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.
D
观察：你发现了什么？
重合的线段：
AB=AC
BD=CD
∠B=∠C
∠BAD=∠CAD
重合的角：
∠ADB=∠ADC
思考：除了两腰相等， 等腰三角形还 有哪些性质？
归纳：
1、等腰三角形是轴对称图形， AD所在直线是对称轴;
2、∠B=∠C;
3、BD=CD，AD是底边的中线;
4、∠BAD=∠CAD，AD是顶角平分线;
5、∠ADB=∠ADC=90°，AD是底边上的高.
其中，“∠B=∠C”用文字如何表述？
等腰三角形的两底角相等.(简称为“等边对等角”)
已知：如图，∆ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
D
证明：过点A作AD⊥BC于点D,
则∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中,
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC (H.L.)
∴ ∠B=∠C.
定理：
分析：要证明两角相等，通常先证明这两个角所在的两个三角形全等，此题需要添加辅助线构造全等三角形.
已知：如图，∆ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
E
法二：作∠BAC的平分线AE交BC点E,
则∠BAE=∠CAE.
在△AEB和△AEC中,
∴ △AEB≌△AEC (S.A.S.)
∴ ∠B=∠C.
已知：如图，∆ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
F
法三：作BC的中线AF交BC点F,
则BF=CF.
在△AFB和△AFC中,
∴ △AFB≌△AFC (S.S.S.)
∴ ∠B=∠C.
归纳：
1、等腰三角形是轴对称图形， AD所在直线是对称轴;
2、∠B=∠C;
3、BD=CD，AD是底边的中线;
4、∠BAD=∠CAD，AD是顶角平分线;
5、∠ADB=∠ADC=90°，AD是底边上的高.
其中3、4、5用一句话可以归纳为什么？
等边对等角
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边的中线互相重合.(简称“三线合一”)
注意
“等腰三角形”是三线合一的大前提；
一定要明确是哪三线.
用几何语言表示等腰三角形的性质
在∆ABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C.(等边对等角)
在∆ABC中，AB=AC时，
(1) ∵AD是BC的高，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.(三线合一)
(2) ∵AD是BC的中线，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.(三线合一)
(3) ∵AD是∠BAC的平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC.(三线合一)
判断下列命题是否正确：
1、等腰三角形的角平分线、中线和高 互相重合. ( )
2、有一个角是60°的等腰三角形，其余 两个内角也是60°. ( )
3、等腰三角形的底角都是锐角. ( )
4、钝角三角形不可能是等腰三角形. ( )
错
对
错
对
及时反馈
1、等腰三角形的一个角是70°，它的另外两个角为 .
2、等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角为 .
3、等腰三角形有两边长是4和7，则它的周长为 .
70°,40°或55°,55°
35°,35°
15或18
4、等腰三角形有两边长是3和7，则它的周长为 .
17
及时反馈
1.已知在∆ABC中，AB=AC， ∠C=80°，求∠A和∠B的度数.
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=80°. (等边对等角)
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-80°-80°=20°
例题解析
2.如图，在∆ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，∠B=30°，求∠ADC和∠1的度数.
解：∵AB=AC且D是BC边的中点，
∴AD是∠BAC的平分线及BC边的高. (三线合一)
∵∠1+∠B=∠ADC，
∴∠ADC=90°
∠B=30°，
∴∠1=90°-30°=60°
三、等边三角形
1、定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形).
如图，∠A=∠B=∠C=60°.
如图，AB=BC=AC，∆ABC是等边三角形.
三条边都相等.
2、等边三角形的性质：
三个角都相等，都等于60°.
如图，AB=BC=AC.
1、等腰三角形的性质：
(1)等边对等角.
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边的中线互相重合.(简称“三线合一”)
“三线合一”性质在实际应用中，只要其中一个结论成立，另外两个一定成立。
2、等边三角形的性质：
三条边相等；三个角都是60°.
知识小结
1、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于E， DF⊥ AC于F。求证：DE=DF.
课后作业
F
2、如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD.
3.2等腰三角形的判定
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
等腰三角形有什么性质？
1、等腰三角形的两底角相等. (简称为“等边对等角”)
如图，∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边的中线互相重合.(简称“三线合一”)
∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=CD，AD⊥BC
3、等腰三角形是轴对称图形.
请问：等腰三角形的对称轴是什么？
探索等腰三角形的判定定理
1、命题“等腰三角形的两底角相等”的 题设和结论是什么？
题设：一个三角形中有两条边相等
结论：这两条边所对的角相等
2、这个命题的证明方法是什么？
添加辅助线构造全等三角形.
3、如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边有什么关系？
你能类比性质定理的证明方法进行证明吗？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称为“等角对等边”)
已知：如图，∆ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
D
证明：过点A作AD⊥BC于点D,
则∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADB和△ADC中,
∵∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD
∴ △ADB≌△ADC (A.A.S.)
∴ AB=AC.
已知：如图，∆ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
E
证明：作∠BAC的平分线AE交BC点E,
则∠BAE=∠CAE.
在△AEB和△AEC中,
∴ △AEB≌△AEC (A.A.S.)
∴ AB=AC.
已知：如图，∆ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
F
证明：作BC的中线AF交BC点F,
则BF=CF.
在△AFB和△AFC中,
∴ △AFB≌△AFC (S.S.A.)
∴ ∠B=∠C.
课堂练习
1、如图，∠A=36º,∠DBC=36º,∠C=72º,图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明.
2、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图：证明：
3、已知：如图，DE∥BC，∠1=∠2. 求证：BD=CE.
4、如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
5、如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E是BC边上的两点，且BD=CE，求证：∠ADE=∠AED.
探索等边三角形的判定定理
1、三个角相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，△ABC中，∠A=∠B=∠C.求证：AB=AC=BC.
证明：∵在△ABC中，∠A=∠B ∴BC=AC. 同理，AC=AB， ∴AB=AC=BC.
探索等边三角形的判定定理
2、有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=60º.求证：AB=AC=BC.
证明：∵在△ABC中，AB=AC ∴∠C=∠B. ∵∠A=60º， ∴∠C=∠B=60º， ∴AB=AC=BC.
第一种情况：顶角是60º；
探索等边三角形的判定定理
2、有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=60º.求证：AB=AC=BC.
证明：∵在△ABC中，AB=AC ∴∠C=∠B. ∵∠B=60º， ∴∠C=60º， ∴∠A=60º， ∴AB=AC=BC.
第二种情况：一个底角是60º.
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=60º，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB.则图中一共有 个等腰三角形.
O
课堂练习
1、等腰三角形的判定：
等角对等边.
*如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等 腰三角形.
2、等边三角形的判定：
(1)三个角相等的三角形是等边三角形.
知识小结
(2)有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形.
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，则△ABO和△ACO全等吗？试证明.
课后作业
2、如图∠PDA=135º，∠C=45º，BD平分∠ABC，求证：AB=AD.
D
P
3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36º，D、E是BC边上的两点，∠ADE=∠AED=2∠BAD，求∠EAC的度数.
4、求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
5、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD.
6、如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G，求证：DG=EG.
4.尺规作图
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
情境导入
上数学课的时候，老师说：“任意一个三角形的三条内角平分线都会交于同一个点，三边中线、三边上的高也有相同的性质。我们不仅可以证明，还可以用作图的方法来验证。”
怎么能准确地作出需要的图形呢？我们这节课就来学习一个重要的作图方式——尺规作图。
学习目标
1、掌握五种基本尺规作图的方法及一般步骤， 并能熟练掌握基本作图语言；
2、通过动手操作、合作探究，培养作图能力、 语言表达能力、逻辑思维和推理能力；
3、认识到尺规作图与实际生活的紧密联系， 激发学习兴趣。
了解：
1、根据需要，几何作图分为作草图和尺规作图两种方式。作草图一般用于分析图形问题，要求准确度不高的时候。
2、尺规作图是用不带刻度的直尺(或三角尺)和圆规进行准确的作图。直尺的主要作用是连结两个点、作直线、线段等；圆规的主要作用是作弧线。
3、最基本、最常用的尺规作图通常称为基本作图，一些复杂的尺规作图都是由基本作图组合的。
1、作一条线段等于已知线段。
已知：线段a，求作：线段MN，使MN=a.
a
作法：
基本作图
(1)作射线MP；
(2)以点M为圆心，线段a的长为半径作弧，交MP于点N.
N
则线段MN为所求。
任意画出两条线段AB和CD，再作一条线段，使它等于AB+2CD.
已知：线段AB、CD，求作：线段MN，使MN=AB+2CD.
作法：
及时反馈
(1)作射线MP；
(2)在射线MP上截取ME=AB；
E
则线段MN为所求。
(3)在射线EP上截取EF=CD；
F
G
(4)在射线FP上截取FG=CD.
2、作一个角等于已知角。
已知：∠AOB，求作：∠A'O'B'， 使∠A'O'B'=∠AOB.
作法：
基本作图
(1)作射线O'B'；
(2)以点O为圆心，任意长度为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
(3)以点O'为圆心，ON的长为半径作弧，交O'B'于点N'.
(4)以点N'为圆心，MN的长为半径作弧，交前弧于点A'.
N'
A'
(5)连接O'A'，并延长.
则∠A'O'B'为所求。
2、任意画出两个角α、β(α＞β)，再作一个角，使它等于(1)α+β；(2)α-β.
及时反馈
1、为什么两个角相等？你会证明吗？
3、作已知线段的垂直平分线.
已知：线段AB，求作：直线MN，使MN垂直平分AB.
A B
作法：
基本作图
(1)分别以点A、B为圆心，大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；
(2)连接MN并双向延长.
N
则直线MN为所求。
M
2、已知线段AB，请作出该线段的四等分点.
及时反馈
1、为什么用这样的方法作出的直线MN是AB的垂直平分线？你能证明吗？
A B
4、作已知角的角平分线.
已知：∠AOB.求作：射线OP， 使∠AOP=∠BOP.
作法：
基本作图
(1)以点O为圆心，任意长度为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M、N为圆心，大于MN长的一半为半径作弧，两弧交于点P.
P
(3)连接OP，并延长.
则射线OP为所求。
及时反馈
1、为什么两个角相等？你会证明吗？
5、过一点作已知直线的垂线.
已知：直线AB和线上一点P.求作：直线MN，使MN经过点P且MN⊥AB.
作法：
基本作图
(1)以点P为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C、D；
(2)分别以点C、D为圆心，大于CD的一半长为半径作弧，两弧交于点M；
N
则直线MN为所求。
M
(1)点在直线上.
(3)连接MP，作直线MN.
5、过一点作已知直线的垂线.
已知：直线l和线外一点P.求作：直线MN，使MN经过点P且MN⊥l.
作法：
基本作图
(1)以点P为圆心，以大于P点到直线l的距离为半经画弧，交l于点A、B；
(2)分别以点A、B为圆心，大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M；
N
则直线MN为所求。
M
(1)点在直线外.
(3)连接MP，作直线MN.
P
及时反馈
1、如图，过点P画∠O两边的垂线.
2、如图，已知线段m、n，求作Rt△ABC,使∠B=90º，AB=m，BC=n.
1、如图，已知线段m、n、∠β，求作△ABC, 使∠A=β，AB=m，AC=n.
应用提升
2、如图，已知线段m、∠α、∠β，求作 △ABC,使∠A=α，AB=m，∠B=β.
3、如图，已知线段m、n、l，求作△ABC, 使AB=m，AC=n，BC=l.
应用提升
4、如图，已知线段m、n，求作 等腰△ABC,使底边BC=m，BC的高AD=n.
今天我们主要学习了尺规作图.
五种基本(尺规)作图：
知识小结
1、作一条线段等于已知线段。
2、作一个角等于已知角。
3、作已知线段的垂直平分线.
4、作已知角的角平分线.
5、过一点作已知直线的垂线.
(1)点在直线上；(2)点在直线外.
用尺规作图分别作出锐角三角形三边的中线、三边的高、三内角平分线.观察图形，写出你得到的结论.
课后作业
5.1互逆命题与互逆定理
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
1、命题的概念：
可以判断正确或错误的句子叫做命题。
2、命题都有两部分：
题设和结论
例如：命题“对顶角相等”。题设：两个角是对顶角，结论：这两个角相等。完整地说：如果两个角是对顶角， 那么这两个角相等。
温故知新
3、正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题。
判断下列命题真假并说出下列命题的题设和结论：1、平行四边形的对边互相平行；2、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；3、等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
及时反馈
观察下面三组命题,你发现了什么?
1、(1)两直线平行,内错角相等； (2)内错角相等,两直线平行.
探索发现
2、(1)全等三角形对应角相等； (2)对应角相等的三角形全等.
3、(1)平行四边形的对边互相平行； (2)对边互相平行的四边形是平行四边形.
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
归纳：
例1：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。
1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余.
题设：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
2、等边三角形的每个角都等于60°
题设：一个三角形是等边三角形.
结论：它的每个角都等于60°
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°， 那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等.
题设：两个三角形是全等三角形.
结论：它们的对应角相等.
逆命题：如果两个三角形的对应角相等， 那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
题设：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上.
逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等.
题设：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
例2：写出下列命题的逆命题，并判断其真假.
1、同旁内角互补，两直线平行.
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.
3、如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
真
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.
真
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
假
4、如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.
假
讨论交流：
在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明。
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理。
注意： 1、逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题！
2、不是所有的定理都有逆定理.
其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
归纳：
例3：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。②自然数必为有理数；③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形。 ——真命题
逆命题：有理数必为自然数。——假命题
逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车。——假命题。
知识小结
这节课我们学到了什么？
①逆命题、逆定理的概念。②能写出一个命题的逆命题。③知道互逆命题和互逆定理之间 的关系。
1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。
(1) 如果x=y,那么x2 =y2；
(2) 如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的 另外两个角是锐角；
(3) 如果a=b,那么a-b=0；
(4) 如果a>b,则ac2>bc2；
(5) 菱形的两条对角线互相垂直；
(6) 三角形的一条中线平分三角形的面积.
课后作业
2、举例说明下列定理的逆命题是假命题。 (先写出下列定理的逆命题)
(1)全等三角形的对应角相等。
(2)互为邻补角的两个角的和为180°。
(3) 矩形的两条对角线相等。
(4) 对顶角相等。
3、如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、 CD上两点，连接AE，BF.请你再从下面四个 反映图中边角关系的式子(1)AB=BC;(2)BE=CF; (3)AE=BF;(4)∠AEB=∠BFC中选两个作为已知 条件，选一个作为结论，组成一个真命题， 并证明这个命题。
A
B
D
C
E
F
5.2线段的垂直平分线
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
1、线段垂直平分线的定义是什么？
如果一条直线垂直平分已知线段，那么该直线是已知线段的垂直平分线(简称“中垂线”)。
如图，直线l⊥AB于点O且OA=OB,
则直线l是AB的垂直平分线。
l
O
已知：线段AB，求作：直线MN，使MN垂直平分AB.
A B
作法：
(1)分别以点A、B为圆心，大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；
(2)连接MN并双向延长.
N
则直线MN为所求。
M
2、如何用尺规作图作出已知线段的垂直平分线？
温故知新
探索发现：
在l上任取一点P，连结PA、PB；量一量PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得出什么规律?
如图，直线l是AB的垂直平分线。
P
发现规律：
已知:如图,直线l⊥AB，垂足是O， 且OA=OB，点P在直线l上.
线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。
求证:PA=PB.
证明：∵直线l⊥AB，∴∠AOP=∠BOP=90°.
在△AOP和△BOP中,
∵OA=OB,∠AOP=∠BOP, OP=OP
∴ △AOP≌△BOP (S.A.S.)
∴ PA=PB.
逆命题:到一条线段两端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。
证明：如图,过点P作PH⊥AB于点H.
∵PA=PB，且PH⊥AB∴AH=BH.
∴ PH垂直平分AB,
已知：如图,PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
即点P在线段AB的垂直平分线上.
H
观察比较：
线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。
点P在线段AB的垂直平分线上.
PA=PB
线段垂直平分线的性质定理
到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的判定定理
比较：
线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。
线段垂直平分线的性质定理
到一条线段两端点的距离相等的点在该线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的判定定理
结论：线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。
已知：如图，△ABC中，直线PD、PE分别垂直平分AB、BC，点P为PD、PE的交点.
求证：点P在AC的垂直平分线上.
证明：连接PA、PB、PC.
∵直线PD垂直平分AB，
∴PA=PB.
例1：求证：三角形三边的垂直平分线交于一点。
同理可得PB=PC.
∴PA=PC,
∴点P在AC的垂直平分线上.
及时总结：
三角形三边的垂直平分线交于一点。
了解：三角形三边中垂线的交点叫 这个三角形的外心。
三角形三边的中线交于一点(重心)。
三角形三边的高线交于一点(垂心)。
已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.求证:点C在AD的垂直平分线上.
证明：
∵BD=BC+AC，
∴AC=DC,
例2：
∴点C在AD的垂直平分线上.
又∵BD=BC+DC，
课堂练习
1、如图在△ABC中,AB＝AC，ED垂直平分AB.(1)若∠A=50º,则∠ABD= º,∠DBC= º.(2)若BD＝10，则AD= .(3)若AB＝14，△BCD的周长为24，则BC= .
课堂练习
2、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系不成立的是( ) A．∠B=∠CAE B．∠DEA=∠CEA C．∠B=∠BAE D．AC=2EC
1、线段垂直平分线的性质定理: 线段垂直平分线上的点到该线段 两端点的距离相等。
知识小结
2、线段垂直平分线的判定定理: 到一条线段两端点的距离相等的点 在该线段的垂直平分线上。
3、线段垂直平分线的性质定理 和判定定理是互逆定理。
1、如图，在直线l上找出一点P，使得点P 到已知点A、B的距离相等。
课后作业
2、如图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线 交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm， BD=6cm，求△ABC的周长．
D
E
A
B
l
3、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，求∠BCD的度数。
课后作业
D
M
4、如图，MN垂直平分线段AB、CD，垂足分别为E、F，求证：AC=BD，∠ACD=BDC。
课后作业
5、如图，已知AE=CE，BD⊥AC， 求证：DA+BA=BC+DC.
课后作业
E
5.3角的平分线
华师版八年级上学期第13章 《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
温故知新
1、角平分线的定义是什么？
如果一条射线平分已知角，那么该射线是已知角的平分线。
则射线OP是∠AOB的平分线。
P
1 2
2、如何用尺规作图作已知角的角平分线.
已知：∠AOB.求作：射线OP， 使∠AOP=∠BOP.
作法：
(1)以点O为圆心，任意长度为半径作弧， 交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M、N为圆心，大于MN长的一半 为半径作弧，两弧交于点P.
P
(3)连接OP，并延长.
则射线OP为所求。
温故知新
探索发现：
在OC上任取一点P，过点P作PG⊥OA，PH⊥OB；
如图，射线OC是∠AOB的平分线.
P
C
量一量PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得出什么规律?
G
H
发现规律：
已知:如图,OP平分∠AOB， PG⊥OA，PH⊥OB.
角平分线上的点 到这个角两边的距离相等。
求证:PG=PH.
证明:∵OP平分∠AOB， ∴∠AOP=∠BOP.
∵∠AOP=∠BOP, ∠OGP=∠OHP,OP=OP
∴ △OGP≌△OHP (A.A.S.)
∴ PG=PH.
P
G
H
∵PG⊥OA，PH⊥OB，∴∠OGP=∠OHP=90º.
透过现象看本质：
在一张白纸上画出一条线段或一个角，然后按如图所示方式进行对折.
通过观察、测量，我们能得出很多组相等的线段、相等的角.
所以，线段中垂线的性质和角平分线的性质，本质上都是图形的轴对称性。
逆命题:到一个角两边的距离相等的点 在这个角的平分线上。
角的平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
证明：
∵PG⊥OA，PH⊥OB，∴∠OGP=∠OHP=90º.
∴Rt△OGP≌Rt△OHP (H.L.)
已知：如图，PG⊥OA，PH⊥OB，PG=PH.求证：点P在∠AOB的平分线上.
∴点P在∠AOB的平分线上.
∵PG=PH，OP=OP，
观察比较：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
点P在∠AOB的平分线上.
PG=PH
角平分线的性质定理
到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
角平分线的判定定理
比较：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
角平分线的性质定理
到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
角平分线的判定定理
结论：角平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。
已知：如图△ABC中，BD、AE分别平分∠ABC、∠BAC，点P为BD、AE的交点.
求证：点P在∠ACB的平分线上.
证明：过点P作PG⊥AB于点G、PH⊥BC于点H、PI⊥AC于点I.
∵BD平分∠ABC，
∴PG=PH.
例1：求证：三角形三内角的平分线交于一点。
同理可得PG=PI.
∴PH=PI,
∴点P在∠ACB的平分线上.
G
H
I
及时总结：
三角形三内角的平分线交于一点。
了解：三角形三内角平分线的交点叫 这个三角形的内心。
三角形三边的中线交于一点(重心)。
三角形三边的高线交于一点(垂心)。
三角形三边的垂直平分线交于一点(外心)。
已知：如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
∵CF平分∠ECB，
∴FG=FH.
例2：
过点F作FG⊥AE于点G、FH⊥BC于点H、FI⊥AD于点I.
G
H
I
同理可得FH=HI.
∴FG=FI，
∴点F在∠DAE的平分线上.
了解：
三角形三内角平分线交于一点(内心)。
三角形三边的中线交于一点(重心)。
三角形三边的高线交于一点(垂心)。
三角形三边的垂直平分线交于一点(外心)。
三角形两外角平分线的交点叫这个三角形的旁心(只有旁心才是三个)。
课堂练习
1、如图，已知点C是∠AOB平分线上一点，点P、P′分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP′ ，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 .①∠OCP= ∠OCP′ ;②∠OPC= ∠OP′C;③PC= P′C;④PP′⊥OC.
课堂练习
2、如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是( )袋. A.1号 B.2号 C.3号 D.4号
课堂练习
3、如图，Rt△ABC中，∠C=90º，∠B=30º，AE平分∠BAC交BC于点E，求证：AB=2AC.
1、角平分线的性质定理: 角平分线上的点到这个角两边 的距离相等。
知识小结
2、角平分线的判定定理: 到一个角两边的距离相等的点 在这个角的平分线上。
3、角平分线的性质定理和判定定理 是互逆定理。
1、求证：在直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半。【用两种不同的方法证明】
课后作业
2、如图:△ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。求证：MD=ME.
3、如图，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。求证： ∠BDP= ∠CDP.
课后作业
D
P
4、如图，在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2. 求证：AB=AC+CD.
课后作业
章末复习
华师版八年级上学期第13章《全等三角形》
学而不疑则怠，疑而不探则空
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(1)在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角 对应相等，那么这两个三角形全等. (简记为S.A.S)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
∴△ABC≌△DEF（S.A.S）
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(2)如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应 相等，那么这两个三角形全等. (简记为A.S.A)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
∴△ABC≌△DEF（A.S.A）
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(3)如果两个三角形的两个角及一角的对边分别 对应相等,那么这两个三角形全等. (简记为A.A.S)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
∴△ABC≌△DEF（A.A.S）
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(4)在两个三角形中,如果有三条边对应相等， 那么这两个三角形全等. (简记为S.S.S)
在△ABC与△DEF中，
应用格式：
∴△ABC≌△DEF（S.S.S）
知识要点
1、全等三角形的判定定理：
(5)如果两个直角三角形的一条直角边及斜边 分别对应相等,那么这两个直角三角形全等. (简记为H.L)
在Rt△ABC与Rt△DEF中，
应用格式：
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（H.L）
知识要点
2、全等三角形的性质定理：
如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等.
应用格式：
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF； ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
应用举例
例1：已知：如图，AB=CD，AD=CB. 求证：AD∥BC.
A
B
C
D
点拨：由题意先证△ABC≌△CDA，再由全等三角形的性质得对应角的相等，进而得证.
变式1：已知：如图，AB∥DE，AB=DE， AF=CD. 求证：BC=EF.
点拨：由题意先证△ABC≌△DEF， 再由全等三角形的性质得证.
变式2：已知在△ABC和△ADC中，AB=CD. 若不添加任何字母和辅助线，要使△ABC≌△CDA，则还需增加一个条件是 .
点拨：相当于已知两组边对应相等，要得到全等，可用“边角边”或“边边边”.
变式3：如图，在△ABD中，AB=BD. 要使BE=BC，需增加一个条件是 .
解法：(1)AE=DC;
(3)AC=DE;
(2)∠ABE＝∠DBC;
(4)∠ABC＝∠DBE;
(5)∠AEB＝∠DCB;
(6)∠ACB＝∠DEB.
变式1：已知：如图，AB∥DE，AB=DE， AF=CD. 求证：BC=EF.
点拨：由题意先证△ABC≌△DEF， 再由全等三角形的性质得证.
应用举例
例2：如图，在等边△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA上一点(不是中点)，且AD=BE=CF. 则图中全等的三角形共有 对.
A
F
H
D
N
提醒：全等有传递性.
15
应用举例
例3：求证：(1)全等三角形对应边上的高相等。 (2)全等三角形对应边的中线相等。 (3)全等三角形对应角的平分线相等。 (4)全等三角形的周长相等。 (5)全等三角形的面积相等。
点拨：应用全等三角形的判定和性质进行转换.
例4: 如图所示，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证: AC＝AB。
证明：
连结AP.∵∠PDA=∠PEA=90º，PD=PE，PA=PA，∴△PDA≌△PEA（HL）∴AD＝AE∵∠CAE=∠BAD∴△ACE≌△ABD（ASA）∴AC＝AB
D
P
例5：求证：三角形一边上的中线小于其他 两边之和的一半。
E
证明步骤：
延长AD到E，使DE＝AD，连结CE.
已知：如图，AD是△ABC 的中线，求证：AB+AC＞2AD.
证△DCE≌△DBA.
在△ACE中用三角形的三边关系得到结果.
例6：
N
证法一：作MN⊥AD于D.
已知：如图，∠B=∠C=90º，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
证法二：在AD上截取DN=DC，连接MN.
证法三：延长DM，交AB的延长线于点E.
E
例7： 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
思路提示：利用全等变换中的“旋转”
证明：延长CB到G，使BG=DF. ∵BG=DF，∠ABG=∠D=90°，AB=AD, ∴△ADF≌△ABG （SAS） ∴∠GAB=∠FAD,AG=AF. 又∵BE+DF=EF，∴EF=EG. ∵EF=EG，AG=AF，AE=AE, ∴△AEF≌△AEG （SSS） ∴∠GAE=∠FAE ∵∠BAF+∠FAD=∠BAF+∠GAB=∠GAF=90°， ∴∠EAF=1/2∠GAF=45°.
G
一、判断题：1.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 2.有两条边对应相等的两个直角三角形全等. 3.有一个角与一条边对应相等的两个三角形全等. 4.只有一条高在三角形内部的三角形是直角三角形. 5.已知一条直角边和一条斜边不能做一个直角三角形.6.有一边对应相等的两个等腰三角形全等.
巩固练习
1、已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 .
二、填空题：
2、如图△ABC≌△EBD，若∠ABE=68º，则∠CBD= º.
三、解答题：
1、如图所示，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：(1)BD=DE+CE；(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE.
2、如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90º，BC与DE相交于点F，连接CD、EB. (1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF=EF.
知识要点
3、等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形的两底角相等.(简称“等边对等角”)
应用格式：
∵ AB=AC，
∴∠B＝∠C.
D
(2)等腰三角形的顶角平分线、 底边上的高、底边的中线互相重合. (简称“三线合一”)
应用格式：
∵ AB=AC，AD⊥BC
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.
(3)等边三角形的三条边都相等.
或
∵ AB=AC，BD＝CD
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
或
∵ AB=AC，∠BAD＝∠CAD
∴AD⊥BC，BD＝CD.
(4)等边三角形的三个角都相等，都等于60°.
应用格式：
∵ △ABC中，AB=AC=BC
∴∠A＝∠B＝∠C=60°.
知识要点
4、等腰三角形的判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称为“等角对等边”)
应用格式：
∵ ∠B＝∠C，
∴ AB=AC.
应用格式：
∵ ∠A＝∠B＝∠C，
∴ AB=AC=BC.
(2)三个角相等的三角形是等边三角形.
应用格式：
∵ AB=AC，∠A=60º
∴△ABC是等边三角形.
(3)有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形.
或
∵ AB=AC，∠B=60º
∴△ABC是等边三角形.
学习小结：有三种等腰三角形大家要多注意探索特殊性——顶角分别是60º、90º、36º.
1.一次数学实践活动的内容是测量河宽.如图，即测量A、B之间的距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发沿着与直线AB成60º角的AC方向前进至C，在C处测得∠C=30º .量出AC的长,它就是河的宽度(即A、B之间的距离). 这个方法正确吗?请说明理由.
巩固练习
2.如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E． 判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由．
3. 如图，AB=BC=CD=DE=EF=FG， 且GF⊥AF于F，求∠A的度数.
4.如图，在△ABC中，AB=AC，直线DE交AB、BC于点D、F，交AC延长线于E.若DF=EF，求证：BD=CE.
5.在△ABC中,BG平分∠ABC,CG平分∠ACB.过点G作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.（1）图中有多少个等腰三角形?说明理由. （2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有是什么关系?
知识要点
5、尺规作图.
五种基本作图：
(1)作一条线段等于已知线段.
a
N
(2)作一个角等于已知角.
N'
A'
五种基本作图：
(3)作已知线段的垂直平分线.
(4)作已知角的角平分线.
A B
N
M
P
五种基本作图：
(5)过一点作已知直线的垂线.
②点在直线外.
①点在直线上.
N
M
P
N
M
知识要点
6、互逆命题和互逆定理.
(1)一般来说，在两个命题中，如果第一个命题 的题设是第二个命题的结论，而第一个命题 的结论是第二个命题的题设，那么这两个命 题叫做互逆命题。
(2)互逆定理一定是互逆命题， 互逆命题不一定是互逆定理.
知识要点
7、线段的垂直平分线.
(1)性质：线段垂直平分线上的点 到该线段两端点的距离相等。
(2)判定：到一条线段两端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。
知识要点
8、角的平分线.
(1)性质：角平分线上的点 到这个角两边的距离相等。
(2)判定：到一个角两边的距离相等的点 在这个角的平分线上。
角平分线的性质定理和判定定理是互逆定理。
例：如图，要在P区建一个加工厂，使它到AB、BC两条公路的距离相等，且工厂到两路的交叉点B的实际距离为5千米.比例尺为1:200000，则工厂应建在 ，且到点B的图上距离是 厘米.
A
B
C
P区
5千米=500000厘米
500000÷200000=2.5
2.5厘米
∠ABC的角平分线上
2.5
1、如图，AB∥CD，O为∠BAC和∠ACD的 平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE=4， 则两平行线之间的距离为 .
巩固练习
2、如图所示，在△ABC中，∠C=90º，AD平分 ∠BAC，交BC于点D，若AB=10cm，CD= 3cm，则△ABD的面积为 .
巩固练习
3、如图所示，△ABC的三边AB、BC、CA的长 分别为12、10、6，其三条角平分线的交点为 O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= .
巩固练习
4、如图所示，在△ABC中，∠C=90º，AD平分 ∠BAC，BC=30，BD:CD=3:2，则点D到AB 的距离为 .
巩固练习
5、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于 点D，则下列结论中，正确的是 . ①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE； ③D在∠BAC的平分线上.
巩固练习
6、如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90º，沿着 过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰 好落在AB边的中点D处，则∠A等于 º.
巩固练习
7、如图，在△ABC中，∠B=90º，AB=7， BC=24，AC=25. (1)△ABC内是由有一点P到各边的距离相等？ 如果有，作出这一点，并说明理由； (2)求出这个距离.
巩固练习
在三角形中辅助线的作法
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
相关课件
华师大版八年级上册1 全等三角形作业课件ppt： 这是一份华师大版八年级上册1 全等三角形作业课件ppt，共21页。
华师大版八年级上册1 全等三角形复习ppt课件： 这是一份华师大版八年级上册1 全等三角形复习ppt课件，共21页。PPT课件主要包含了知识回顾，完全重合，对应相等，SSS，SAS，ASA，AAS，直角边，全等三角形，能够完全重合的三角形等内容，欢迎下载使用。
华师大版八年级上册第13章 全等三角形13.2 三角形全等的判定1 全等三角形教学课件ppt： 这是一份华师大版八年级上册第13章 全等三角形13.2 三角形全等的判定1 全等三角形教学课件ppt，共18页。PPT课件主要包含了①②④等内容，欢迎下载使用。
