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初中数学华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试同步达标检测题
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这是一份初中数学华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试同步达标检测题，共16页。试卷主要包含了锐角三角函数tan30°的值是等内容，欢迎下载使用。
满分120分
姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．锐角三角函数tan30°的值是（ ）
A．1B．C．D．
2．已知在直角三角形中30°角所对的直角边为2，则斜边的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（ ）
A．25°B．30°C．45°D．60°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6B．2C．2D．9
5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6mB．3mC．9mD．6m
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．CD2＝AD•BD
C．AC•BC＝AB•CDD．BC2＝AD•AB
7．某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A．2～3B．3～4C．4～5D．5～6
8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，交AB于点E．若AC＝m，BC＝n，则△BDE的周长为（ ）
A．m+nB．2m+2nC．m+2nD．2m+n
9．一个等腰三角形的顶角是120°，底边上的高是1cm，那么它的周长是（ ）
A．（2）cmB．2（2）cmC．cmD．2cm
10．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（ ）
A．60mB．40mC．30mD．60m
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则csA的值是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝ ．
13．计算：＝ ．
14．如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为 ．
15．如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为 m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，点E为AC上任意一点（不与点A、C重合），连结EB，分别过点A、B作BE、AE的平行线交于点F，则EF的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（7分）计算：2sin30°+cs60°﹣tan60°tan30°+cs245°﹣sin234°﹣cs234°
18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
19．（7分）某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°（即∠DCA＝60°，∠DCB＝45°）．求隧道AB的长．（结果保留根号）
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D作DE⊥DC交AC于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF与EG的数量关系，并说明理由．
21．（8分）嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
22．（9分）如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP＝30海里．
（1）求船P到海岸线MN的距离；
（2）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．（10分）阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sinA、csA表示sin2A．
解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于D，
则CE＝AB＝，∠CED＝2A，CD＝ACsinA，AC＝ABcsA＝csA
在Rt△CED中，sin2A＝sin∠CED＝＝2ACsinA＝2csAsinA
根据以上阅读，请解决下列问题：
（1）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sinA，sin2A的值；
（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或csA表示cs2A．
24．（10分）在学习人教版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的三角函数值和它的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一般研究．
（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA＝ 2tan（∠A）（填“＝”或“≠”）
（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan（∠A）的值；小明想构造包含∠A的直角三角形，延长CA到D，使DA＝AB，连接BD，所以得∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值，请按小明的思路进行余下的求解：
（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
①tan2A＝ ；
②求tan3A的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：tan30°＝．
故选：B．
2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
故选：B．
3．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DC＝AC，
∴AD＝CD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故选：B．
4．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝2，
故选：B．
5．解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴＝，即＝，
解得，AC＝3，
由勾股定理得，AB＝＝6（m），
故选：A．
6．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD•BD，B正确，不符合题意；
由三角形的面积公式得，•AC•BC＝AB•CD，
∴AC•BC＝AB•CD，C正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴BC2＝BD•AB，D错误，符合题意；
故选：D．
7．解：使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
8．解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAE，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠CAD＝∠BAD，
∴∠B＝∠CAD＝∠BAD，
∵∠B+∠CAD+∠BAD＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，
∴BE＝AE＝m，
∵BE＝m，BC＝n，
∴△BDE的周长为BE+DE+DB＝BE+CD+BD＝BC+BE＝m+n，
故选：A．
9．解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝2，
∴CD＝，
则BC＝2，
∴三角形的周长为2+2+2＝2（2）cm，
故选：B．
10．解：过A作AD⊥BC，垂足为D
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，
∴BD＝AD•tan30°＝30×＝10（m），
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，
∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），
∴BC＝BD+CD＝10+30＝40（m），
即这栋高楼高度是40m．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：在Rt△ABC中，csA＝＝，
故答案为：．
12．解：由射影定理得，BC2＝BD•AB，
∴BD＝＝9，
故答案为：9．
13．解：原式＝
＝
＝3+．
故答案为：3+．
14．解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
由题图知：AB＝2，BC＝＝2，
AC＝＝2．
∵S△ABC＝AB×CE＝AC×BD，
∴×2×2＝×2×BD，
∴BD＝．
在Rt△BCD中，
sin∠ACB＝＝
＝．
故答案为：．
15．解：过点A作水平面的平行线AH，作BH⊥AH于H，
由题意得，∠BAH＝α＝20°，
在Rt△BAH中，cs∠BAH＝，
∴AH＝AB•cs∠BAH≈5×≈4.7（m），
故答案为：4.7．
16．解：如图，过点B作BH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝4，BC＝AB•cs30°＝2，
∵∠BHC＝90°，
∴BH＝BC＝，
∵BF∥AC，
∵当EF⊥AC时，EF的值最小，最小值＝BH＝，
故答案为
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．解：原式＝
＝1﹣1
＝0．
18．解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，
则sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
19．解：由题意得∠CAO＝60°，∠CBO＝45°，
∵OA＝1800×tan30°＝1800×＝600，OB＝OC＝1800，
∴AB＝（1800﹣600）（m）．
答：隧道AB的长为（1800﹣600）m．
20．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵D为AB边的中点，
∴CD＝BD＝AD，
∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，
∵∠CDE＝90°，
∴∠CED＝60°，
∴∠EDA＝30°；
（2）解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，
∴tan30°＝，
∴＝，
∵∠FDG＝∠CDE＝90°，
∴∠FDC＝∠GDE，
∴∠FCD＝∠GED＝60°，
∴△FCD∽GED，
∴＝，
∴FC＝GE．
21．解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；
（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
22．解：（1）如图所示：过点P作PE⊥AB于点E．
由题意得，∠PAE＝30°，AP＝30海里，
在Rt△APE中，PE＝APsin∠PAE＝APsin30°＝15海里；
（3）在Rt△PBE中，PE＝15海里，∠PBE＝53°，
则BP＝＝海里，
A船需要的时间为：＝1.5小时，B船需要的时间为：＝1.25小时，
∵1.5＞1.25，
∴B船先到达．
23．解：（1）如图3中，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝1，∠C＝90°，
∴AC＝＝2，
∴sinA＝＝，csA＝，
∴sin2A＝2csA•sinA＝
（2）如图2中，cs2A＝cs∠CED＝＝＝2AC•csA﹣1＝2（csA）2﹣1．
24．解：（1）tan60°＝，tan30°＝，
发现结论：tanA≠2tan（∠A），
故答案为：，，≠；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
延长CA至D，使得DA＝AB，
∴AD＝AB＝，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，
∴tan（∠A）＝tan∠D＝＝＝﹣2；
（3）①作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE．
则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
∴BC＝1，AB＝
设AE＝x，则EC＝3﹣x
在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，
解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝
∴tan2A＝tan∠BEC＝＝．
故答案为：．
②如图，作BM交AC于点M，使∠MBE＝∠EBA，
则∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．
设EM＝y，则MC＝EC﹣EM＝﹣y
∵∠MBE＝∠EBA，
设点E到边BM的距离为m，到边AB的距离为n，
∴m＝n．
∴S△ABE＝AB•n，S△MBE＝BM•m，
∴，
∵（同高的两三角形的面积的比等于底的比），
∴＝，即＝，
∴BM＝y
在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2
即（y）2＝（﹣y）2+1，
整理，得117y2+120y﹣125＝0，
解得，y1＝，y2＝﹣（不合题意，舍去）
即EM＝，CM＝﹣＝．
∴tan3A＝tan∠BMC＝
＝＝．
题号
一
二
三
总分
得分
满分120分
姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．锐角三角函数tan30°的值是（ ）
A．1B．C．D．
2．已知在直角三角形中30°角所对的直角边为2，则斜边的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（ ）
A．25°B．30°C．45°D．60°
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．6B．2C．2D．9
5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6mB．3mC．9mD．6m
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）
A．∠ACD＝∠BB．CD2＝AD•BD
C．AC•BC＝AB•CDD．BC2＝AD•AB
7．某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A．2～3B．3～4C．4～5D．5～6
8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE垂直平分AB，交AB于点E．若AC＝m，BC＝n，则△BDE的周长为（ ）
A．m+nB．2m+2nC．m+2nD．2m+n
9．一个等腰三角形的顶角是120°，底边上的高是1cm，那么它的周长是（ ）
A．（2）cmB．2（2）cmC．cmD．2cm
10．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（ ）
A．60mB．40mC．30mD．60m
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则csA的值是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝ ．
13．计算：＝ ．
14．如图，△ABP的顶点都在边长为1的方格纸上，则sin∠ACB的值为 ．
15．如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5m，则这两棵树的水平距离约为 m（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，点E为AC上任意一点（不与点A、C重合），连结EB，分别过点A、B作BE、AE的平行线交于点F，则EF的最小值为 ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（7分）计算：2sin30°+cs60°﹣tan60°tan30°+cs245°﹣sin234°﹣cs234°
18．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
19．（7分）某高速公路建设中，需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1800m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A，B两点处的俯角分别为60°和45°（即∠DCA＝60°，∠DCB＝45°）．求隧道AB的长．（结果保留根号）
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D作DE⊥DC交AC于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF与EG的数量关系，并说明理由．
21．（8分）嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
22．（9分）如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP＝30海里．
（1）求船P到海岸线MN的距离；
（2）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．（10分）阅读下列材料：
题目：如图1，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C＝90°，AB＝1，请用sinA、csA表示sin2A．
解：如图2，作AB边上的中线CE，CD⊥AB于D，
则CE＝AB＝，∠CED＝2A，CD＝ACsinA，AC＝ABcsA＝csA
在Rt△CED中，sin2A＝sin∠CED＝＝2ACsinA＝2csAsinA
根据以上阅读，请解决下列问题：
（1）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，求sinA，sin2A的值；
（2）上面阅读材料中，题目条件不变，请用sinA或csA表示cs2A．
24．（10分）在学习人教版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的三角函数值和它的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一般研究．
（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA＝ 2tan（∠A）（填“＝”或“≠”）
（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan（∠A）的值；小明想构造包含∠A的直角三角形，延长CA到D，使DA＝AB，连接BD，所以得∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值，请按小明的思路进行余下的求解：
（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
①tan2A＝ ；
②求tan3A的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：tan30°＝．
故选：B．
2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
故选：B．
3．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DC＝AC，
∴AD＝CD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
故选：B．
4．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝2，
故选：B．
5．解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴＝，即＝，
解得，AC＝3，
由勾股定理得，AB＝＝6（m），
故选：A．
6．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD2＝AD•BD，B正确，不符合题意；
由三角形的面积公式得，•AC•BC＝AB•CD，
∴AC•BC＝AB•CD，C正确，不符合题意；
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴BC2＝BD•AB，D错误，符合题意；
故选：D．
7．解：使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
8．解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAE，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠CAD＝∠BAD，
∴∠B＝∠CAD＝∠BAD，
∵∠B+∠CAD+∠BAD＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2m，
∴BE＝AE＝m，
∵BE＝m，BC＝n，
∴△BDE的周长为BE+DE+DB＝BE+CD+BD＝BC+BE＝m+n，
故选：A．
9．解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠C＝30°，
∴AC＝2AD＝2，
∴CD＝，
则BC＝2，
∴三角形的周长为2+2+2＝2（2）cm，
故选：B．
10．解：过A作AD⊥BC，垂足为D
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，
∴BD＝AD•tan30°＝30×＝10（m），
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，
∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），
∴BC＝BD+CD＝10+30＝40（m），
即这栋高楼高度是40m．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．解：在Rt△ABC中，csA＝＝，
故答案为：．
12．解：由射影定理得，BC2＝BD•AB，
∴BD＝＝9，
故答案为：9．
13．解：原式＝
＝
＝3+．
故答案为：3+．
14．解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
由题图知：AB＝2，BC＝＝2，
AC＝＝2．
∵S△ABC＝AB×CE＝AC×BD，
∴×2×2＝×2×BD，
∴BD＝．
在Rt△BCD中，
sin∠ACB＝＝
＝．
故答案为：．
15．解：过点A作水平面的平行线AH，作BH⊥AH于H，
由题意得，∠BAH＝α＝20°，
在Rt△BAH中，cs∠BAH＝，
∴AH＝AB•cs∠BAH≈5×≈4.7（m），
故答案为：4.7．
16．解：如图，过点B作BH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝4，BC＝AB•cs30°＝2，
∵∠BHC＝90°，
∴BH＝BC＝，
∵BF∥AC，
∵当EF⊥AC时，EF的值最小，最小值＝BH＝，
故答案为
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．解：原式＝
＝1﹣1
＝0．
18．解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，
则sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
19．解：由题意得∠CAO＝60°，∠CBO＝45°，
∵OA＝1800×tan30°＝1800×＝600，OB＝OC＝1800，
∴AB＝（1800﹣600）（m）．
答：隧道AB的长为（1800﹣600）m．
20．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵D为AB边的中点，
∴CD＝BD＝AD，
∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，
∵∠CDE＝90°，
∴∠CED＝60°，
∴∠EDA＝30°；
（2）解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，
∴tan30°＝，
∴＝，
∵∠FDG＝∠CDE＝90°，
∴∠FDC＝∠GDE，
∴∠FCD＝∠GED＝60°，
∴△FCD∽GED，
∴＝，
∴FC＝GE．
21．解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；
（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
22．解：（1）如图所示：过点P作PE⊥AB于点E．
由题意得，∠PAE＝30°，AP＝30海里，
在Rt△APE中，PE＝APsin∠PAE＝APsin30°＝15海里；
（3）在Rt△PBE中，PE＝15海里，∠PBE＝53°，
则BP＝＝海里，
A船需要的时间为：＝1.5小时，B船需要的时间为：＝1.25小时，
∵1.5＞1.25，
∴B船先到达．
23．解：（1）如图3中，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝1，∠C＝90°，
∴AC＝＝2，
∴sinA＝＝，csA＝，
∴sin2A＝2csA•sinA＝
（2）如图2中，cs2A＝cs∠CED＝＝＝2AC•csA﹣1＝2（csA）2﹣1．
24．解：（1）tan60°＝，tan30°＝，
发现结论：tanA≠2tan（∠A），
故答案为：，，≠；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝，
延长CA至D，使得DA＝AB，
∴AD＝AB＝，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，
∴tan（∠A）＝tan∠D＝＝＝﹣2；
（3）①作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE．
则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．
∴BC＝1，AB＝
设AE＝x，则EC＝3﹣x
在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，
解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝
∴tan2A＝tan∠BEC＝＝．
故答案为：．
②如图，作BM交AC于点M，使∠MBE＝∠EBA，
则∠BMC＝∠A+∠MBA＝3∠A．
设EM＝y，则MC＝EC﹣EM＝﹣y
∵∠MBE＝∠EBA，
设点E到边BM的距离为m，到边AB的距离为n，
∴m＝n．
∴S△ABE＝AB•n，S△MBE＝BM•m，
∴，
∵（同高的两三角形的面积的比等于底的比），
∴＝，即＝，
∴BM＝y
在Rt△MBC中，BM2＝CM2+BC2
即（y）2＝（﹣y）2+1，
整理，得117y2+120y﹣125＝0，
解得，y1＝，y2＝﹣（不合题意，舍去）
即EM＝，CM＝﹣＝．
∴tan3A＝tan∠BMC＝
＝＝．
题号
一
二
三
总分
得分
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