初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定第2课时综合训练题

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定第2课时综合训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是( )


A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD


B.AD∥BC,∠A=∠C


C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD


D.AO=CO,BO=DO,AB=BC


2.如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明( )


A.AB=BD且AC⊥BD


B.∠A=∠B且AB=AD


C.∠A=∠B且AC=BD


D.AC和BD互相垂直平分


3.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为( )





A.6 cmB.4 cm


C.3 cmD.2 cm


4.关于一个四边形是不是正方形,有如下条件:①对角线互相垂直且相等的平行四边形;②对角线互相垂直的矩形;③对角线相等的菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形.以上条件,能判定四边形是正方形的是( )


A.①②③B.②③④


C.①③④D.①②③④


5.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,则下列结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③AE+DF=AF+DE;④当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形.


其中一定正确的结论是( )


A.①②③B.②③④


C.①③④D.①②③④


二、填空题


6.如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相等且互相平分,再添加一个条件,使得四边形ABCD是正方形,可添加的条件是 .(写出一个条件即可)


7.如图,▱ABCD的对角线互相垂直,要使四边形ABCD成为正方形,还需添加的一个条件是 .(只需添加一个即可)





8.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,CF⊥AD于点F,∠B=60°,当边AD∶AB= 时,四边形AECF是正方形.








三、解答题


9.如图,已知D是△ABC的边AB的中点,四边形BCED是平行四边形.





(1)求证:四边形ADCE是平行四边形;


(2)若AC=BC,AC⊥BC,求证:四边形ADCE是正方形.























10.如图,已知E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,并且AF=BP=CQ=DE.


求证:(1)EF=FP=PQ=QE;


(2)四边形EFPQ是正方形.




















11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.求证:四边形CEDF是正方形.





























12.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,过点E作EF⊥AD于点F,连接BF交AE于点P,连接PD.求证:四边形ABEF是正方形.





























13.如图,已知在等边△ABC中,过边AB上一点D作DE⊥BC,垂足为E,过边AC上一点G作GF⊥BC,垂足为F,BE=CF,连接DG.


(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;


(2)连接AF,当∠BAF=3∠FAC时,求证:四边形DEFG是正方形.























14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.


(1)求证:CE=AD.


(2)填空:


①当AB= BD时,四边形BECD是菱形;


②在①的基础上,当∠A的度数为 时,四边形BECD是正方形.








参考答案


一、选择题


二、填空题


6. AB=BC(答案不唯一)


7. ∠ABC=90°或AC=BD


8. (3+1)∶2


三、解答题


9.证明:(1)∵四边形BCED是平行四边形,


∴BD∥CE,BD=CE.


∵D是AB的中点,∴AD=BD,∴AD=CE.


又∵AD∥CE,∴四边形ADCE是平行四边形.


(2)∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°.


∵在Rt△ABC中,D是AB的中点,


∴CD=AD=12AB.


∵在△ABC中,AC=BC,D是AB的中点,


∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,


∴平行四边形ADCE是正方形.


10.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD.


∵AF=BP=CQ=DE,∴DF=CE=BQ=AP,


∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS),


∴EF=FP=PQ=QE.


(2)∵EF=FP=PQ=QE,


∴四边形EFPQ是菱形.


∵△APF≌△BQP,∴∠AFP=∠BPQ.


∵∠AFP+∠APF=90°,


∴∠APF+∠BPQ=90°,


∴∠FPQ=90°,∴四边形EFPQ是正方形.


11.证明:过点D作DG⊥AB于点G.


∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,∴DF=DG.


同理DE=DG,∴DF=DE.


易知∠C=∠DFC=∠DEC=90°,∴四边形CEDF是矩形.


又∵DF=DE,∴矩形CEDF是正方形.


12.证明:∵四边形ABCD是矩形,


∴∠FAB=∠ABE=90°,AF∥BE.


∵EF⊥AD,∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°,


∴四边形ABEF是矩形.


∵AE平分∠BAD,AF∥BE,


∴∠FAE=∠BAE,∠FAE=∠AEB,


∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,


∴矩形ABEF是正方形.


13.证明:(1)∵DE⊥BC,GF⊥BC,


∴∠DEF=∠GFC=90°,∴DE∥GF.


∵∠B=∠C=60°,BE=CF,∠DEB=∠GFC=90°,


∴△BDE≌△CGF,∴DE=GF,


∴四边形DEFG是平行四边形.


(2)∵∠DEF=90°,∴▱DEFG是矩形.


∵∠BAC=60°,∠BAF=3∠FAC,∴∠GAF=15°.


在△CGF中,∵∠C=60°,∠GFC=90°,


∴∠CGF=30°,∴∠GFA=15°,


∴∠GAF=∠GFA,∴GA=GF.


∵DG∥BC,∴∠ADG=∠B=60°,


∴△DAG是等边三角形,∴GA=GD,


∴GD=GF,∴矩形DEFG是正方形.


14.解:(1)∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.


∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.


∵MN∥AB,即CE∥AD,


∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.


(2)① 2


② 45°





题号
1
2
3
4
5
答案
C
B
D
D
B