初二数学上册秋季班培优讲义 第8讲 等腰三角形和垂直平分线

  等腰三角形和垂直平分线               模块一  等腰三角形和等边三角形    模块二  垂直平分线   
模块一  等腰三角形1．等腰三角形等腰三角形解    释定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边．性质（1）两腰相等、两底角相等．（2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．（3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形．（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．2．等边三角形和等腰直角三角形等边三角形等腰直角三角形1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形．2．性质：三边都相等，三角都是．3．判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形．1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是的三角形叫做等腰直角三角形．2．性质：两个底角为．3．判定：有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形．模块二  垂直平分线垂直平分线解释示例定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线．如图，若，，则直线DE就是线段AB的垂直平分线．性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，已知直线是线段的垂直平分线，则．判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．如图，若，则点在线段的垂直平分线上．
 （1）（2015—2016年七育周练）等腰三角形的一边长为10，另一边长为4，则这个等腰三角形的周长是__________． （2）等腰三角形的一边长为6cm，且周长为16cm，则这个三角形的底边为_________． （3）等腰三角形两内角的度数之比为，则该三角形底角的度数为__________． （4）等腰三角形一个角为，则这个三角形腰上的高与底边所夹角的度数为_____． （5）等腰三角形一腰上的中线将三角形的的周长分为两部分，分别是12与15，则腰长为__________． 【解析】（1）24；（2）4cm或6cm；（3）或；（4）或；（5）①；，腰长为10；②；，腰长为8．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的定义，腰或底角不确定．（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． （2）已知BD是等腰一腰上的高，且，则的底角为_______． 【解析】（1）或（提示：等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形）；（2）或或；若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为，，；若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为，，；若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为，，．【教师备课提示】这道题主要考查分类讨论，锐角等腰和钝角等腰．
 （1）如图3-1，在第1个中，，，在上取一点C，延长到，使得在第2个中，；在上取一点D，延长到，使得在第3个中，；……，按此做法进行下去，第n个三角形中以为顶点的内角的度数为_____________． （2）如图3-2的钢架中，焊上13根钢条来加固钢架．若，则C的度数是___________．           图3-1                                          图3-2 【解析】（1）；（2）．【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的性质结合外角倒角找规律．（1）如图4-1，中，，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且，，G是EF的中点，求证：. （2）（14—15年嘉祥期末）如图4-2，在中，，，点M、N分别在边AB、AC上，，点D是BC的中点，连接AD． ①求证：；②求证：，且．                      图4-1                                图4-2 【解析】（1）连接ED、DF，，，在和中，，是EF的中点，∴．（2）①，， 点D是BC的中点，，，②由①知在和中，，，，．【教师备课提示】这两道小题主要考查等腰三角形三线合一的性质结合全等．（1）如图，中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：是等腰三角形．（2）如图，中，AD是的角平分线，AD是BC边上的高，求证：是等腰三角形．（3）如图，中，AD是的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：是等腰三角形．                          【解析】（1）AD为BC中垂线，所以，所以是等腰三角形（2）和中，∴，∴，∴是等腰三角形（3）过点D作于点F，作于点E，∵AD是的角平分线，，，∴，∵AD为中线，∴，∵，，∴，∴是等腰三角形．【教师备课提示】这道题主要考查三线合一的性质倒过来推等腰三角形．（1）如图6-1，P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点，于点E，于点F，于点D，求证：． （2）如图6-2，如果P为等腰三角形ABC的底边BA延长线上的任意一点，其余条件保持不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；不成立，请求出PE，PF和AD三边满足的关系． （3）如果P为等腰三角形ABC的底边AB延长线上的任意一点，请直接写出PE，PF和AD三边满足的关系． （4）如图6-3，如果是等边三角形，点P为三角形ABC内任意一点，于点E，于点F，于点G，于点D．PE、PF、PG、AD之间存在怎样的数量关系，并说明理由．             图6-1                     图6-2                      图6-3 【解析】（1）连接CP．∵，即，而，∴；（2）连接CP，由，得：又∵，∴；（3）；（4）连接CP、AP、BP，∴，∴，而，∴．             【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的一个常见题型，面积法．（1）如图7-1，，，DE垂直平分AB交AC于E，垂足为D，周长为28cm，，则的周长为__________，__________． （2）如图7-2，的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若，则的度数为___________．               图7-1                                  图7-2 【解析】（1）18cm，；（2）．【教师备课提示】这道题主要考查垂直平分线的性质．（1）如图8-1，已知：在中，，边AB的垂直平分线交BC于D，于F，交BC边上的高于G．求证：． （2）如图8-2，中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将沿EFCE在BC上，F在AC上折叠，点C与点O恰好重合，则为____________．         【解析】（1）连接AD，∵D为AB的垂直平分线上一点，∴，，∴，∴，，∴，∴，，，又∵，∴，在和中，∴．（2）如图，连接OB、OC，∵，AO为的平分线，∴，又∵，∴,∵DO是AB的垂直平分线，∴，∴，∴，∵DO是AB的垂直平分线，AO为的平分线，∴点O是的外心，∴，∴，∵将沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴，∴，在中，．证明：三角形三边的垂直平分线交于一点． 【解析】如图，在中，设AB、AC的垂直平分线相交于点O，连接OA、OB、OC，由垂直平分线的性质可知：，，∴，∴点O在BC的垂直平分线上，∴三角形三边的垂直平分线交于一点．
  （1）已知一个等腰三角形的两条边分别为3cm和4cm，则这个三角形的周长为______． （2）等腰三角形的一个外角为，则顶角为__________． （3）等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为6和12两部分，则腰长为________． （4）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角为______． 【解析】（1）10cm或11cm；（2）或；（3）8；（4）或．（1）（武侯区期末）如图，在下列三角形中，若，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的有（    ）A．1个               B．2个               C．3个               D．4个 （2）如图，是一个钢架，且，为了使钢架更加牢固，需要在内部添加一些钢管EF、FG、GH、HI，且有，则__________． （3）如图，AD是等边三角形ABC的中线，，则（　　）度．A．30   B．20   C．25   D．15 【解析】（1）C；（2）；（3）D．
 如图，在中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．（1）求证：是等腰三角形；（2）当时，求的度数． 【解析】（1），，在和中：，，是等腰三角形．（2），，，由（1）知，，．（1）如图4-1：已知等边中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：M是BE的中点． （2）如图4-2，等边三角形ABC中，E，D分别在AC，BC上，且，求AD与BE所夹锐角的度数．      图4-1                                   图4-2 【解析】（1）连接BD，∵为等边三角形，D为AC中点，∴，∵，∴，又∵等边中，∴,∴，∴，又∵，∴M为BE中点．（2）．
 （1）（15年育才期末）如图5-1，在中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若的周长为7，，则BC的长为（　　）．A．4cm　　　　　　　　B．5cm　　　　　　　C．3cm　　　　　D．以上答案都不对 （2）（15年嘉祥半期）如图5-2，，AD垂直平分线段BC于点D，的平分线BE交AD于点E，连接EC，则的度数是______________．       图5-1                                 图5-2 【解析】（1）B；（2）．如图，在中，D为BC中点，交的平分线于点E，于F，的延长线于G．求证：．        【解析】连接BE、CE．垂直平分BC，，平分，，，，又，，．