初二数学上册秋季班培优讲义 第7讲 母子型和辅助线添加初步

  K字型全等和母子型                模块一  K字型全等    模块二  母子型   
模块一  K字型全等如图，，，，且，则有．     模块二  母子型1．等边三角形     2．正方形（等腰直角三角形）      （15—16年成华期末）在中，，，直线l经过点C，且于点D，于点E．（1）当直线l绕点C旋转到图1-1位置时，求证：①，②；（2）当直线l绕点C旋转到图1-2位置时，求证：；（3）当直线l绕点C旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD、BE、DE之间满足的等量关系．               图1-1                       图1-2                       图1-3 【解析】（1）①∵，，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．②∵，∴，．∵，∴．（2）∵，，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴，．∵，∴．（3）．【教师备课提示】这道题主要让孩子们熟悉模型并熟练过程．（15—16年嘉祥期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，AE交BD于F，过F作交BC于H，连接AH．（1）过点F分别作AB、BC的垂线，垂足分别为M、N，求证：； （2）过点H作，垂足为G，试求FG和BD的数量关系． 【解析】（1）证明，∴．（2）作于点T，则，∴．（嘉祥）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，EG与HA的延长线交于点M，求证：AM是的中线．        【解析】过点E作的延长线于P，过点G作于Q，，，，，在和中，，，，同理可得，，在和中，，，，是的中线．【教师备课提示】例题2和例题3主要讲解构造K字型全等，让孩子们熟悉模型．如图，CD是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线CD上两点，且．（1）若直线CD经过的内部，且E、F在直线CD上，请解决下面两个问题：①如图4-1，若，，则BE_____CF；EF_____（填“＞”、“＜”、“=”）；②如图4-2，若，请添加一个关于与关系的条件_______，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．（2）如图4-3，若直线CD经过的外部，，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图4-1                      图4-2                     图4-3 【解析】（1）①=；=；②，先证明，再证明．（2）．【教师备课提示】这道题主要讲解K字型全等的变式题．
 如图，点C为线段AB上一点，、是等边三角形．请你证明：（1）；（2）；（3）；（4）为等边三角形；（5）． 【解析】（1）、是等边三角形，，，又，，．（2）由（1）得，，．（3）过点C作AF和BF的垂线，利用角平分线的判定，即可．（4）由易推得，所以，又，进而可得为等边三角形．（5）由（4）得，为等边三角形，，．【教师备课提示】这道题主要考查等边三角形的母子型．（14—15年成外）已知，在中，，．（1）如图6-1，若EC，DB分别平分、，交AD，AE于点C、B，连接BC．请判断AB、AC是否相等，并说明理由；（2）的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图6-2的位置，线段CD和BE相交于O，请判断线段BE与CD的位置关系与数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若，试求四边形CEDB的面积．　         图6-1                               图6-2 【解析】（1），在和中∴(ASA)，∴．（2），且．母子型，得到，通过倒边倒角得到，且．（3）18（提示：对角线互相垂直的四边形的面积可以为对角线乘积的一半）．【教师备课提示】这道题主要考查等腰直角三角形的母子型．如图7-1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有，．（1）当正方形GFED绕D旋转到如图7-2的位置时，，是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED绕D旋转到B、D、G在一条直线（如图7-3）上时，连接CE，设CE分别交AG、AD于P、H，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．             图7-1                  图7-2                       图7-3 【解析】（1），成立．四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，，，．．，，延长CE交AG于点T，则，，又，，即．（2）同（1）可得，，，，，，．．，即．【教师备课提示】这道题主要考查正方形的母子型，在正方形母子型当中最重要的就是垂直相等结论．
 （15年西川半期）如图8-1，在和中，，，，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，点M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：；（2）求证：是等腰三角形；（3）在图8-1的基础上，将绕点A按顺时针方向旋转，使D点落在线段AB上，其他条件不变，得到图8-2所示的图形，（1）（2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接写出你的结论．　　  　       图8-1                               图8-2 【解析】（1）∵，∴，在和中，∴(SAS)∴．（2）由（1）得，(SAS)∴，即．又点M，N分别为BE，CD的中点，　　∴．在和中，∴(SAS)　　∴．∴是等腰三角形．（3）仍成立，有，是等腰三角形（同理可得）【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的母子型，看看孩子们是否理解母子型全等的本质．
  在中，，直线l经过点A.（1）如图1-1，，，，垂足分别为D、E．探究BD、CE、DE三者之间的数量关系，直接写出你的结论．（2）如图1-2，将（1）中“，，”改为“”，探究BD、CE、DE三者之间的数量关系，证明你的结论．图1-1         图1-2 【解析】（1）；（2），证明即可．如图，在中，，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且，．图中是否存在和全等的三角形？说明理由． 【解析】，理由如下：∵，，∴，又∵，，∴．
 如图，B、C、E三点在一条直线上，和都为等边三角形，连接AE、DB．（1）试说出的理由．（2）如果把绕C点顺时针旋转一个角度，使B、C、E不在一条直线上，（1）中的结论还成立吗？（只回答，不说理由）（3）在（2）中若AE、BD相交于P，求的度数．       【解析】（1）∵、都为等边三角形，∴，，，∴，即，∵在与中： ∴，∴；（2）仍然成立；（3）∵，∴，∵是等边三角形，∴，∴，即．
 以点A为顶点作两个等腰直角三角形（，），如图4-1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）说明；（2）延长BD，交CE于点F，求的度数；（3）若如图4-2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．         图4-1                                  图4-2 【解析】（1）∵、是等腰直角三角形，∴，，，∵在和中，，∴，∴；（2）∵，∴，而在中，，又∵，∴；（3）成立，且两线段所在直线互相垂直，即．理由如下：∵、是等腰直角三角形∴，，，∵，∴，∵在和中，，∴∴，，∴．
 如图5-1，等边中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边，连接AE．（1）求证：AE//BC；（2）如图5-2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．       图5-1                                   图5-2 【解析】（1）∵，∴，即，∵和是等边三角形，∴，，在与中，，∴，∴，∴，∴AE//BC；（2）成立，证明如下：同（1）可得，，∴，∴，∴AE//BC．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：（1）；（2）．【解析】，，在和中，，设AE分别与DG、CG交于M、N则，，．