初二数学上册秋季班培优讲义 第9讲 中位线和斜边中线

  中位线和斜边中线                 模块一  三角形中位线    模块二  直角三角形斜边中线    模块三  中点辅助线综合  
模块一：三角形中位线1．定义：连接三角形两边中点的线段．2．定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．若DE为的中位线，则DE//BC，且．3．三角形中位线里隐含重要性质：①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．EF、GE、GF是的三条中位线，则有：①②，②三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形的周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一．模块二：直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．若AD为斜边上的中线，则．相关结论：（1）；（2），为等腰三角形（3），拓展：在由两个直角三角形组成的图中，M为中点．相关结论：（1）；（2）．模块三：中点辅助线综合
 （1）如图1-1，在中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若的周长为20cm，则的周长为__________． （2）如图1-2，在中，，，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为__________．                    图1-1                                  图1-2 （3）如图1-3，中，，，AE平分交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则的周长是__________． （4）如图1-4，在四边形中，E、F分别为AB、CD的中点．求证：．                     图1-3                                    图1-4 【解析】（1）10cm．（2）1．（3）10．（4）证明：取AD的中点M，连结EM和FM．∵E、F是AB、CD中点，∴，．又∵，∴．【教师备课提示】考察中位线产生的线段长度关系．第（4）题利用中位线构造出长为，的线段并将线段集中；也可以求证，方法是取AC或BD的中点．
 （1）如图2-1，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，，，则的度数是__________度． （2）如图2-2，已知四边形ABCD的对角线，E、F分别是AD、BC的中点，连结EF分别交AC、BD于M、N，求证：． （3）已知，如图2-3四边形ABCD中，，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长线分别交于M、N两点．求证：．          图2-1                  图2-2                       图2-3 【解析】（1）18．（2）设AB的中点为G，连结GE、GF，容易证得：GE//BD，，GF//AC，，从而，，∴．（构造中位线来利用对角线相等的条件，也可以取或的中点．）（3）连接AC，取AC中点H，连接FH、EH．∵，，∴FH//AD，，同理，，EH//BC，∵，∴，∴，∵FH//AM，EH//BC，∴，，∴．【教师备课提示】考察中位线的性质，学会通过构造中位线去利用已知的条件．
 如图，在中，D、G分别为AB、AC上的点，且，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：．                      【解析】连DG，找DG的中点E，连ME、NE，∵M、N分别是BG与CD的中点．∴ME//AB，，NE//AC，．∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【教师备课提示】还可以取中点．总结：已知四边形对角线中点，则取一边中点，可出两条中位线，学会构造出中位线去利用题目中给出的等量关系．已知：在中，，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM、DM．（1）如图4-1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及与所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图4-2，若点E在BA延长线上，你（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明．图4-1                                    图4-2 【解析】（1），；（2）结论不变，由题意知，∴，，两式相减，得．
 如图，，中，，，，在上滑动，求的最大值．                 【解析】取AB的中点D，连结OD、DC，则，，可得，即OC的最大值为（O、D、C三点共线时）．在中，，，、、分别是、、的中点，是的中点，求证：．               【解析】连结DF、EG，可证，，，则，得证．如图，在五边形ABCDE中，，，F为CD的中点．求证：． 【解析】方法一：如图1，取AC中点M，取AD中点N，连BM，MF，NF，EN．∵，，∴，∴，方法二：如图2，延长CB到M，使得，延长DE到N，使得，连接AM，AN，MD，CN．由，，是等腰三角形，F是CD中点，则BF//MD，，EF//CN，，，，∴，此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：
  （1）如图1-1，在中，点D是BC中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，延长BE交AC于F．若AB=10厘米，AC=16厘米，则DE的长度为__________． （2）如图1-2，已知，在四边形ABCD中，，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，，．求度数．                          图1-1                                      图1-2 【解析】（1）3厘米；（2）∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，M、N分别是AB、CD的中点，∴NP，PM分别是与的中位线，∴，，PN//BC，PM//AD，∴，，∴；∴，∵；∴，故是等腰三角形．∵，∴．
 （1）如图2-1,中，过点A分别作、的外角平分线的垂线AD、AE，垂足为D、E．求证：①；②． （2）（四川省中考题）如图2-2,已知：AD是的中线，AE是的中线，且，求证：．       图2-1                                图2-2 【解析】（1）①分别延长AD、AE与直线BC交于点F、G，∵BD⊥AD，且BD为的角平分线∴，且（等腰三角形的三线合一）同理可得，，∴DE为的中位线，∴EDBC，且．②由（1）知，且，，∴．（2）取AC的中点F，连结DF，易得DF//AB，，，而，故．再证，∴，∴．
 （1）如图3-1，四边形ABCD中，，取AC中点O，BC中点E，连接OD、OE、DE，，则__________． （2）如图3-2所示，中，于H，点E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，，则ED的长度是__________．                  图3-1                                 图3-2 【解析】（1）．（2）10cm．（1）如图4-1，在中，，M是BC中点，于D．求证：． （2）如图4-2，已知：和都是直角三角形，且，．连接DE，设M为DE的中点．求证：．                                   【解析】（1）法一：取中点，连结、，则，．则．而，由于，所以．∴．法二：同理可以取AC的中点N，连接DN，MN．（2）如图，分别取AD、AE的中点P、Q，连接PB、PM、QC、QM，由P、M、Q分别是AD、DE、AE的中点，∴PM//AE，，QM//AD，，∵、是直角三角形，∴，， ∴，， ∵，∴，∴，由AD//QM，AE//PM，∴，∴，∴，∴．